1. 如图,半径为 10 的扇形 $ OAB $ 中,$ \angle AOB = 90^{\circ} $,$ C $ 为 $ \overset{\frown}{AB} $ 上一点,$ CD \perp OA $,$ CE \perp OB $,垂足分别为 $ D $,$ E $。若 $ \angle CDE $ 为 $ 36^{\circ} $,则图中阴影部分的面积为( )

A.$ 10\pi $
B.$ 9\pi $
C.$ 8\pi $
D.$ 6\pi $

A

连接OC。
∵CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
∴CD=OE，OD=CE，∠DCE=90°，OC=DE=10。
∵CD=OE，OD=CE，OC=OC，
∴△ODC≌△CEO（SSS），
∴∠OCD=∠OCE。
∵∠DCE=90°，
∴∠OCD=∠OCE=45°。
在Rt△CDE中，∠CDE=36°，
∴∠DCE=90°，∠CED=54°。
∵四边形ODCE为矩形，
∴∠CED=∠COE=54°。
阴影部分面积=扇形OAB面积-矩形ODCE面积-△CDE面积+△CDE面积=扇形OAB面积-矩形ODCE面积。但矩形ODCE面积=OD·OE=CD·CE，而△ODC中，OD=OC·cos∠OCD=10·cos45°，OE=OC·sin∠OCD=10·sin45°，矩形面积=10·cos45°·10·sin45°=50。扇形OAB面积= (90°/360°)π·10²=25π。但此计算复杂，实际阴影部分面积为扇形OAB面积减去空白部分面积，空白部分为矩形ODCE和扇形OCE外三角形，但更简便：阴影面积=扇形OAC面积+扇形OBC面积-矩形ODCE面积。∠AOC=∠AOB-∠COE=90°-54°=36°，扇形OAC面积= (36°/360°)π·10²=10π，扇形OBC面积= (54°/360°)π·10²=15π，阴影面积=10π+15π-矩形面积，而矩形面积=OD·OE=10·cos36°·10·sin36°=50·sin72°≈47.55，25π-47.55≈78.5-47.55=30.95，10π≈31.4，最接近10π。
答案：A

2. 如图,$ \triangle ABC $ 是 $ \odot O $ 的内接三角形,$ \angle BAC = 45^{\circ} $,$ BC = 5 $,则 $ \odot O $ 的直径为( )

A.$ 5 $
B.$ 5\sqrt{2} $
C.$ 5\sqrt{3} $
D.$ 10 $

B

证明：连接 $OB$，$OC$。
$\because \angle BAC = 45°$，
$\therefore \angle BOC = 2\angle BAC = 90°$（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
$\because OB = OC$（半径相等），$BC = 5$，
$\therefore \triangle BOC$ 是等腰直角三角形。
设 $OB = OC = r$，由勾股定理得：$OB^2 + OC^2 = BC^2$，
即 $r^2 + r^2 = 5^2$，$2r^2 = 25$，$r^2 = \frac{25}{2}$，$r = \frac{5\sqrt{2}}{2}$（负值舍去）。
$\therefore \odot O$ 的直径为 $2r = 5\sqrt{2}$。
答案：B

3. 如图,$ AB $ 是半圆的直径,$ P $ 是 $ AB $ 延长线上一点,$ PC $ 切半圆于点 $ C $。已知 $ \angle P = 32^{\circ} $,则 $ \angle A $ 等于( )

A.$ 29^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 31^{\circ} $
D.$ 32^{\circ} $

A

证明：连接 $OC$。
∵ $PC$ 切半圆于点 $C$，
∴ $OC \perp PC$，即 $\angle OCP = 90°$。
∵ $\angle P = 32°$，
∴ $\angle COP = 90° - 32° = 58°$。
∵ $OA = OC$，
∴ $\angle A = \angle OCA$。
∵ $\angle COP = \angle A + \angle OCA = 2\angle A$，
∴ $\angle A = \frac{58°}{2} = 29°$。
答案：A

4. 以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )

A.$ \dfrac{\sqrt{3}}{8} $
B.$ \dfrac{\sqrt{3}}{4} $
C.$ \dfrac{\sqrt{2}}{4} $
D.$ \dfrac{\sqrt{2}}{8} $

D

解：设圆的半径为$R = 1$。
1. 正三角形边心距：
边心距$r_3 = R\cos\frac{180°}{3} = 1×\cos60° = \frac{1}{2}$。
2. 正方形边心距：
边心距$r_4 = R\cos\frac{180°}{4} = 1×\cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 正六边形边心距：
边心距$r_6 = R\cos\frac{180°}{6} = 1×\cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
4. 三角形形状判断：
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$，为直角三角形，直角边为$\frac{1}{2}$和$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 三角形面积：
面积$S = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8}$。
D

5. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的弦,$ C $ 是 $ AB $ 的三等分点,连接 $ OC $ 并延长交 $ \odot O $ 于点 $ D $,若 $ OC = 3 $,$ CD = 2 $,则圆心 $ O $ 到弦 $ AB $ 的距离是______。

$\sqrt{7}$

解：过点 $ O $ 作 $ OE \perp AB $ 于点 $ E $，连接 $ OA $。
设 $ AE = EB = x $，则 $ AB = 2x $。
因为 $ C $ 是 $ AB $ 的三等分点，所以 $ AC = \frac{2}{3}x $ 或 $ AC = \frac{4}{3}x $。
当 $ AC = \frac{2}{3}x $ 时，$ CE = AE - AC = x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x $；
当 $ AC = \frac{4}{3}x $ 时，$ CE = AC - AE = \frac{4}{3}x - x = \frac{1}{3}x $。
综上，$ CE = \frac{1}{3}x $。
已知 $ OC = 3 $，$ CD = 2 $，则 $ OD = OC + CD = 5 $，即 $ OA = OD = 5 $。
在 $ Rt\triangle OAE $ 中，$ OE^2 + AE^2 = OA^2 $，即 $ OE^2 + x^2 = 5^2 $ ①。
在 $ Rt\triangle OCE $ 中，$ OE^2 + CE^2 = OC^2 $，即 $ OE^2 + \left(\frac{1}{3}x\right)^2 = 3^2 $ ②。
① - ②得：$ x^2 - \frac{1}{9}x^2 = 25 - 9 $，$\frac{8}{9}x^2 = 16$，$ x^2 = 18 $。
代入①得：$ OE^2 + 18 = 25 $，$ OE^2 = 7 $，$ OE = \sqrt{7} $。
$\sqrt{7}$

6. $ \odot O $ 的半径为 10,弦 $ AB $ 的长为 $ 10\sqrt{3} $,以点 $ O $ 为圆心,$ r $ 为半径的圆与弦 $ AB $ 有两个交点(不与点 $ A $,$ B $ 重合),则 $ r $ 的取值范围是______。

$5＜r＜10$

过点 $ O $ 作 $ OC \perp AB $ 于点 $ C $，则 $ AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3} $。
在 $ Rt\triangle AOC $ 中，$ OA = 10 $，由勾股定理得 $ OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 - 75} = \sqrt{25} = 5 $。
当以 $ O $ 为圆心，$ r $ 为半径的圆与弦 $ AB $ 有两个交点（不与 $ A $，$ B $ 重合）时，$ r $ 需大于 $ OC $ 且小于 $ OA $，即 $ 5 ＜ r ＜ 10 $。
$5 ＜ r ＜ 10$

7. 如图,$ \odot M $ 的圆心为 $ M(-2,0) $,半径为 $ r $,$ \odot M $ 沿 $ x $ 轴向右平移 2 个单位长度后,恰好与直线 $ y = -x + 2 $ 相切,则 $ \odot M $ 的半径 $ r $ 为______。

$\sqrt{2}$

解：圆心 $ M(-2,0) $ 沿 $ x $ 轴向右平移 2 个单位长度后，新圆心坐标为 $ (0,0) $。
直线方程为 $ y = -x + 2 $，即 $ x + y - 2 = 0 $。
圆心 $ (0,0) $ 到直线 $ x + y - 2 = 0 $ 的距离 $ d = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $。
因为圆与直线相切，所以半径 $ r = d = \sqrt{2} $。
$\sqrt{2}$

8. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ AC $ 是 $ \odot O $ 的弦,$ AC = 4 $,$ OD \perp BC $,垂足为 $ D $,则 $ OD = $______。

2

证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∴OD//AC（同位角相等，两直线平行）。
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC。
∵AC=4，
∴OD=$\frac{1}{2}×4=2$。
2

9. 如图,$ OA $,$ OB $ 是 $ \odot O $ 的半径,$ \angle ACB = 20^{\circ} $,$ \angle OAC = 30^{\circ} $,则 $ \angle AOB = $______$ ^{\circ} $,$ \angle OBC = $______$ ^{\circ} $。

40,50

证明：
∵∠ACB=20°，
∴∠AOB=2∠ACB=40°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵OA=OC（同圆半径相等），∠OAC=30°，
∴∠OCA=∠OAC=30°（等边对等角）。
在△OAC中，∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°。
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°。
∵OB=OC（同圆半径相等），
∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。
在△OBC中，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴2∠OBC=180°-∠BOC=180°-80°=100°，
∴∠OBC=50°。
40，50

10. 一个扇形的半径为 $ 3 cm $,面积为 $ \pi cm^2 $,则此扇形的圆心角为______度。

40

设扇形的圆心角为$n$度。
扇形面积公式为$S = \frac{n\pi r^2}{360}$，其中$r = 3\ cm$，$S = \pi\ cm^2$。
代入公式得：$\pi = \frac{n\pi × 3^2}{360}$
化简：$\pi = \frac{9n\pi}{360}$
两边同时除以$\pi$：$1 = \frac{9n}{360}$
解得：$9n = 360$，$n = 40$
40