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5.（1）一个角的余角比这个角大$20°$，求这个角的度数。
（2）一个角的补角比这个角的余角的3倍大$10°$，求这个角的度数。
（2）一个角的补角比这个角的余角的3倍大$10°$，求这个角的度数。
答案
5. (1) $35°$ (2) $50°$
解析
【分析】
（1）首先回忆余角的定义：若两个角的和为$90°$，则这两个角互为余角。我们可以设这个角的度数为$x°$，那么它的余角就为$(90-x)°$，根据“余角比这个角大$20°$”的数量关系，列一元一次方程即可求解。
（2）回忆补角的定义：若两个角的和为$180°$，则这两个角互为补角。同样设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$，根据“补角比余角的3倍大$10°$”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
（1）解：设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$。
根据题意列方程：
$\begin{aligned}(90-x)-x&=20\\90-2x&=20\\-2x&=-70\\x&=35\end{aligned}$
（2）解：设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$。
根据题意列方程：
$\begin{aligned}180-x&=3(90-x)+10\\180-x&=270-3x+10\\2x&=100\\x&=50\end{aligned}$
【答案】
(1) $35°$ (2) $50°$
【知识点】
1.余角的定义 2.补角的定义 3.一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角、补角相关计算的基础题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的概念，能根据题目给出的数量关系建立方程求解。
【难度系数】
0.8
（1）首先回忆余角的定义：若两个角的和为$90°$，则这两个角互为余角。我们可以设这个角的度数为$x°$，那么它的余角就为$(90-x)°$，根据“余角比这个角大$20°$”的数量关系，列一元一次方程即可求解。
（2）回忆补角的定义：若两个角的和为$180°$，则这两个角互为补角。同样设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$，根据“补角比余角的3倍大$10°$”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
（1）解：设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$。
根据题意列方程：
$\begin{aligned}(90-x)-x&=20\\90-2x&=20\\-2x&=-70\\x&=35\end{aligned}$
（2）解：设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$。
根据题意列方程：
$\begin{aligned}180-x&=3(90-x)+10\\180-x&=270-3x+10\\2x&=100\\x&=50\end{aligned}$
【答案】
(1) $35°$ (2) $50°$
【知识点】
1.余角的定义 2.补角的定义 3.一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角、补角相关计算的基础题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的概念，能根据题目给出的数量关系建立方程求解。
【难度系数】
0.8
6. 若∠α和∠β互余，则下列式子中，不能表示∠α补角的是（
A.$180° - ∠α$
B.$∠α + 2∠β$
C.$∠β + 90°$
D.$2∠α + ∠β$
D
）。A.$180° - ∠α$
B.$∠α + 2∠β$
C.$∠β + 90°$
D.$2∠α + ∠β$
答案
6. D
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心概念：1. 互余的两个角之和为90°，因此由∠α和∠β互余可得∠α+∠β=90°；2. 补角的定义是两个角之和为180°时，其中一个角是另一个角的补角，因此∠α的补角可表示为180°-∠α。接下来我们只需利用∠α+∠β=90°的关系，对四个选项逐一变形，判断是否能等价于180°-∠α即可。
【解析】
解：
∵∠α和∠β互余，
∴∠α + ∠β = 90°。
∠α的补角为180° - ∠α，逐一分析选项：
A选项：180° - ∠α直接符合补角的定义，可以表示∠α的补角，不符合题意；
B选项：∠α + 2∠β = (∠α + ∠β) + ∠β = 90° + ∠β，又
∵∠α=90°-∠β，代入补角表达式得180° - ∠α = 180° - (90° - ∠β) = 90° + ∠β，和B选项表达式相等，可以表示∠α的补角，不符合题意；
C选项：由上述推导可知∠α的补角=90°+∠β，因此C可以表示∠α的补角，不符合题意；
D选项：2∠α + ∠β = ∠α + (∠α + ∠β) = ∠α + 90°，仅当∠α=45°时该式等于180°-∠α，不具有普遍性，不能表示∠α的补角，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义；代数式化简
【点评】
本题侧重考查基础定义的灵活应用，需要结合已知的余角关系对代数式进行等价变形，逐个验证选项即可得出答案，是余角补角板块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确两个核心概念：1. 互余的两个角之和为90°，因此由∠α和∠β互余可得∠α+∠β=90°；2. 补角的定义是两个角之和为180°时，其中一个角是另一个角的补角，因此∠α的补角可表示为180°-∠α。接下来我们只需利用∠α+∠β=90°的关系，对四个选项逐一变形，判断是否能等价于180°-∠α即可。
【解析】
解：
∵∠α和∠β互余，
∴∠α + ∠β = 90°。
∠α的补角为180° - ∠α，逐一分析选项：
A选项：180° - ∠α直接符合补角的定义，可以表示∠α的补角，不符合题意；
B选项：∠α + 2∠β = (∠α + ∠β) + ∠β = 90° + ∠β，又
∵∠α=90°-∠β，代入补角表达式得180° - ∠α = 180° - (90° - ∠β) = 90° + ∠β，和B选项表达式相等，可以表示∠α的补角，不符合题意；
C选项：由上述推导可知∠α的补角=90°+∠β，因此C可以表示∠α的补角，不符合题意；
D选项：2∠α + ∠β = ∠α + (∠α + ∠β) = ∠α + 90°，仅当∠α=45°时该式等于180°-∠α，不具有普遍性，不能表示∠α的补角，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义；代数式化简
【点评】
本题侧重考查基础定义的灵活应用，需要结合已知的余角关系对代数式进行等价变形，逐个验证选项即可得出答案，是余角补角板块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
7. 如图，已知$∠ AOC=∠ BOE=90°$，$∠ COD=30°$，OC是$∠ BOD$的平分线。
（1）写出图中与$∠ COD$互余的角；
（2）写出图中与$∠ AOE$互补的角。
（1）写出图中与$∠ COD$互余的角；
（2）写出图中与$∠ AOE$互补的角。
答案
7. 因为$∠COD=30°$,OC是$∠BOD$的角平分线,所以$∠BOC=30°$。
因为$∠AOC=∠BOE=90°$,所以$∠AOB=60°$,$∠DOE=30°$。
与$∠COD$互余的角有$∠AOB$,$∠BOD$,$∠COE$(图中度数为$60°$的角)；
与$∠AOE$互补的角有$∠COD$,$∠BOC$,$∠DOE$(图中度数为$30°$的角)。
因为$∠AOC=∠BOE=90°$,所以$∠AOB=60°$,$∠DOE=30°$。
与$∠COD$互余的角有$∠AOB$,$∠BOD$,$∠COE$(图中度数为$60°$的角)；
与$∠AOE$互补的角有$∠COD$,$∠BOC$,$∠DOE$(图中度数为$30°$的角)。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确余角、补角的定义：和为90°的两个角互余，和为180°的两个角互补。解题时先根据已知条件计算出图中各小角的度数，再结合定义筛选符合要求的角即可：第一步利用角平分线的性质，由∠COD=30°得到∠BOC的度数；第二步结合∠AOC=90°、∠BOE=90°的条件，计算出剩余未知角的度数；最后分别找与∠COD和为90°、与∠AOE和为180°的角。
【解析】
先计算各角的度数：
1. 因为OC是∠BOD的平分线，∠COD=30°，所以$∠ BOC=∠ COD=30°$，$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=30°+30°=60°$；
2. 因为$∠ AOC=90°$，所以$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=90°-30°=60°$；
3. 因为$∠ BOE=90°$，所以$∠ DOE=∠ BOE-∠ BOD=90°-60°=30°$，$∠ COE=∠ COD+∠ DOE=30°+30°=60°$，同时$∠ AOE=∠ AOC+∠ COE=90°+60°=150°$。
（1）找与∠COD互余的角：需满足两角和为90°，$90°-∠ COD=60°$，即找度数为60°的角，符合条件的是$∠ AOB、∠ BOD、∠ COE$；
（2）找与∠AOE互补的角：需满足两角和为180°，$180°-∠ AOE=30°$，即找度数为30°的角，符合条件的是$∠ COD、∠ BOC、∠ DOE$。
【答案】
（1）与$∠ COD$互余的角：$\boldsymbol{∠AOB,∠BOD,∠COE}$；
（2）与$∠ AOE$互补的角：$\boldsymbol{∠COD,∠BOC,∠DOE}$。
【知识点】
余角与补角，角平分线的性质，角的和差运算
【点评】
本题是余角、补角的基础应用题，解题关键是先利用已知条件算出各角的度数，再结合定义筛选对应角，注意不要漏记符合度数要求的角。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确余角、补角的定义：和为90°的两个角互余，和为180°的两个角互补。解题时先根据已知条件计算出图中各小角的度数，再结合定义筛选符合要求的角即可：第一步利用角平分线的性质，由∠COD=30°得到∠BOC的度数；第二步结合∠AOC=90°、∠BOE=90°的条件，计算出剩余未知角的度数；最后分别找与∠COD和为90°、与∠AOE和为180°的角。
【解析】
先计算各角的度数：
1. 因为OC是∠BOD的平分线，∠COD=30°，所以$∠ BOC=∠ COD=30°$，$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=30°+30°=60°$；
2. 因为$∠ AOC=90°$，所以$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=90°-30°=60°$；
3. 因为$∠ BOE=90°$，所以$∠ DOE=∠ BOE-∠ BOD=90°-60°=30°$，$∠ COE=∠ COD+∠ DOE=30°+30°=60°$，同时$∠ AOE=∠ AOC+∠ COE=90°+60°=150°$。
（1）找与∠COD互余的角：需满足两角和为90°，$90°-∠ COD=60°$，即找度数为60°的角，符合条件的是$∠ AOB、∠ BOD、∠ COE$；
（2）找与∠AOE互补的角：需满足两角和为180°，$180°-∠ AOE=30°$，即找度数为30°的角，符合条件的是$∠ COD、∠ BOC、∠ DOE$。
【答案】
（1）与$∠ COD$互余的角：$\boldsymbol{∠AOB,∠BOD,∠COE}$；
（2）与$∠ AOE$互补的角：$\boldsymbol{∠COD,∠BOC,∠DOE}$。
【知识点】
余角与补角，角平分线的性质，角的和差运算
【点评】
本题是余角、补角的基础应用题，解题关键是先利用已知条件算出各角的度数，再结合定义筛选对应角，注意不要漏记符合度数要求的角。
【难度系数】
0.7
