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5. 千垛景区菜籽油现榨坊内有一种油菜籽榨油机,它的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成(如图)。底面周长是18.84分米,圆柱和圆锥的高都是6分米。($π$取3.14)
(1) 这个漏斗的容积是多少立方分米?(漏斗的厚度忽略不计)(3分)
(2) 张阿姨家的垛田去年共收获油菜籽800千克,如果这批油菜籽的出油率是42%至46%,这批油菜籽最少可以榨出多少千克菜籽油?(3分)
(1) 这个漏斗的容积是多少立方分米?(漏斗的厚度忽略不计)(3分)
(2) 张阿姨家的垛田去年共收获油菜籽800千克,如果这批油菜籽的出油率是42%至46%,这批油菜籽最少可以榨出多少千克菜籽油?(3分)
答案
5. (1) $18.84÷3.14÷2=3$(分米) $3.14×3^{2}×6+3.14×3^{2}×6÷3=226.08$(立方分米)
(2) $800×42\% =336$(千克)
(2) $800×42\% =336$(千克)
解析
【分析】
这道题分为两个小问，第一问求组合漏斗的容积，因为漏斗厚度忽略不计，容积就等于内部圆柱和圆锥的体积之和。首先已知底面周长，我们第一步要先通过圆的周长公式算出底面半径，之后分别代入圆柱体积公式、圆锥体积公式算出两部分的体积，相加就得到总容积。第二问求最少榨油量，题目给出出油率范围是42%至46%，要得到最少的出油量，就需要选取最低的出油率42%，用油菜籽总质量乘最低出油率就能得到结果。
【解析】
(1) 先计算底面半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径：
$r = 18.84÷3.14÷2=3$（分米）
再分别计算圆柱和圆锥的体积：
圆柱体积公式为$V_{柱}=π r^2 h$，代入高$h=6$分米：
$V_{柱}=3.14×3^2×6=169.56$（立方分米）
圆锥体积公式为$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入高$h=6$分米：
$V_{锥}=3.14×3^2×6÷3=56.52$（立方分米）
总容积为两部分体积之和：
$V_{总}=169.56+56.52=226.08$（立方分米）
(2) 要得到最少榨油量，选取最低出油率42%计算：
可榨出油的质量 = 油菜籽总质量 × 最低出油率
即$800×42\%=336$（千克）
【答案】
(1) 226.08立方分米；(2) 336千克
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，百分率应用
【点评】
本题是结合生活实际的基础应用题，将立体图形体积计算和百分率问题结合，易错点是计算圆锥体积时容易忘记乘$\frac{1}{3}$，第二问要注意“最少榨油量”对应选取最低出油率，不要误选最高出油率。
【难度系数】
0.8
这道题分为两个小问，第一问求组合漏斗的容积，因为漏斗厚度忽略不计，容积就等于内部圆柱和圆锥的体积之和。首先已知底面周长，我们第一步要先通过圆的周长公式算出底面半径，之后分别代入圆柱体积公式、圆锥体积公式算出两部分的体积，相加就得到总容积。第二问求最少榨油量，题目给出出油率范围是42%至46%，要得到最少的出油量，就需要选取最低的出油率42%，用油菜籽总质量乘最低出油率就能得到结果。
【解析】
(1) 先计算底面半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径：
$r = 18.84÷3.14÷2=3$（分米）
再分别计算圆柱和圆锥的体积：
圆柱体积公式为$V_{柱}=π r^2 h$，代入高$h=6$分米：
$V_{柱}=3.14×3^2×6=169.56$（立方分米）
圆锥体积公式为$V_{锥}=\frac{1}{3}π r^2 h$，代入高$h=6$分米：
$V_{锥}=3.14×3^2×6÷3=56.52$（立方分米）
总容积为两部分体积之和：
$V_{总}=169.56+56.52=226.08$（立方分米）
(2) 要得到最少榨油量，选取最低出油率42%计算：
可榨出油的质量 = 油菜籽总质量 × 最低出油率
即$800×42\%=336$（千克）
【答案】
(1) 226.08立方分米；(2) 336千克
【知识点】
圆柱体积计算，圆锥体积计算，百分率应用
【点评】
本题是结合生活实际的基础应用题，将立体图形体积计算和百分率问题结合，易错点是计算圆锥体积时容易忘记乘$\frac{1}{3}$，第二问要注意“最少榨油量”对应选取最低出油率，不要误选最高出油率。
【难度系数】
0.8
6. 研学结束后,48名队员都提交了研学报告。老师根据队员的研学报告作出评价,并绘制了以下两个不完整的统计图。
请根据以上提供的信息解答下列问题。(两幅不完整的统计图仅供数据分析,不需补充完整。)
(1) 获A等级的人数占总人数的(
(2) 如果获C等级的人数比获D等级的多$\frac{1}{3}$,获D等级的有多少人?(3分)
请根据以上提供的信息解答下列问题。(两幅不完整的统计图仅供数据分析,不需补充完整。)
(1) 获A等级的人数占总人数的(
45.8
)%(百分号前保留一位小数),获B等级的有(12
)人。(2分)(2) 如果获C等级的人数比获D等级的多$\frac{1}{3}$,获D等级的有多少人?(3分)
答案
6. (1) 45.8 12
(2) $48-22-12=14$(人) $14÷(1+\frac{1}{3}+1)=6$(人)
(2) $48-22-12=14$(人) $14÷(1+\frac{1}{3}+1)=6$(人)
解析
【分析】
首先梳理已知条件：总共有48名队员提交报告，从条形图可知A等级人数为22，从扇形图能看到B等级对应的圆心角是90°。
第一问求A等级人数占总人数的百分比，直接用A的人数除以总人数再乘100%，按要求保留一位小数即可；求B等级人数，圆心角90°占整个圆周360°的1/4，说明B等级人数占总人数的25%，用总人数乘25%就能算出B的人数。
第二问先算出C和D等级的总人数，用全部总人数减去A、B等级的人数即可；接下来把D等级的人数看作单位“1”，那么C等级人数就是D的$(1+\frac{1}{3})$，C和D的总人数对应的分率和就是$(1+\frac{1}{3}+1)$，用C、D的总人数除以对应的分率，就能求出单位“1”也就是D等级的人数。
【解析】
(1) 计算A等级占比：
获A等级人数为22，总人数为48，占比为：
$22÷48×100\%\approx45.8\%$
观察扇形图，B等级对应圆心角为$90°$，占整个圆的比例为$90°÷360°=\frac{1}{4}$，因此B等级人数为：
$48×\frac{1}{4}=12$（人）
(2) 先计算C、D等级的总人数：
$48-22-12=14$（人）
把获D等级的人数看作单位“1”，则获C等级的人数是D等级的$1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，C、D总人数对应的分率和为$1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$，因此D等级人数为：
$14÷(1+\frac{1}{3}+1)=14÷\frac{7}{3}=6$（人）
答：获D等级的有6人。
【答案】
(1) 45.8，12；(2) 6人
【知识点】
扇形统计图，百分数运算，分数应用题
【点评】
本题是条形统计图与扇形统计图结合的综合题型，需要学生从两个统计图中提取隐藏信息（B等级圆心角为90°），同时结合分数应用题的单位“1”思路求解，既考察了统计图表的读图能力，也考察了分数百分数的运算应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：总共有48名队员提交报告，从条形图可知A等级人数为22，从扇形图能看到B等级对应的圆心角是90°。
第一问求A等级人数占总人数的百分比，直接用A的人数除以总人数再乘100%，按要求保留一位小数即可；求B等级人数，圆心角90°占整个圆周360°的1/4，说明B等级人数占总人数的25%，用总人数乘25%就能算出B的人数。
第二问先算出C和D等级的总人数，用全部总人数减去A、B等级的人数即可；接下来把D等级的人数看作单位“1”，那么C等级人数就是D的$(1+\frac{1}{3})$，C和D的总人数对应的分率和就是$(1+\frac{1}{3}+1)$，用C、D的总人数除以对应的分率，就能求出单位“1”也就是D等级的人数。
【解析】
(1) 计算A等级占比：
获A等级人数为22，总人数为48，占比为：
$22÷48×100\%\approx45.8\%$
观察扇形图，B等级对应圆心角为$90°$，占整个圆的比例为$90°÷360°=\frac{1}{4}$，因此B等级人数为：
$48×\frac{1}{4}=12$（人）
(2) 先计算C、D等级的总人数：
$48-22-12=14$（人）
把获D等级的人数看作单位“1”，则获C等级的人数是D等级的$1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，C、D总人数对应的分率和为$1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$，因此D等级人数为：
$14÷(1+\frac{1}{3}+1)=14÷\frac{7}{3}=6$（人）
答：获D等级的有6人。
【答案】
(1) 45.8，12；(2) 6人
【知识点】
扇形统计图，百分数运算，分数应用题
【点评】
本题是条形统计图与扇形统计图结合的综合题型，需要学生从两个统计图中提取隐藏信息（B等级圆心角为90°），同时结合分数应用题的单位“1”思路求解，既考察了统计图表的读图能力，也考察了分数百分数的运算应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
六、自由选择,自我挑战。(共15分)
1. 《数学百草园》是一本传播知识、激发兴趣、启迪智慧的科普读物。笑笑已看的页数与剩下页数的比是$1:3$,笑笑再看62页,这时已看与剩下的页数比是$3:1$,这本书一共有多少页?(5分)
1. 《数学百草园》是一本传播知识、激发兴趣、启迪智慧的科普读物。笑笑已看的页数与剩下页数的比是$1:3$,笑笑再看62页,这时已看与剩下的页数比是$3:1$,这本书一共有多少页?(5分)
答案
1. $62÷(\frac{3}{1+3}-\frac{1}{1+3})=124$(页)
解析
【分析】
这道题的核心隐藏条件是这本书的总页数始终不变，我们可以把总页数看作单位“1”来解题。首先第一步，根据一开始已看页数和剩下页数的比是1:3，算出此时已看页数占总页数的几分之几；第二步，根据再看62页之后已看和剩下的比是3:1，算出此时已看页数占总页数的几分之几；第三步，两个占比的差值，对应的就是笑笑后来看的62页，用量率对应关系，用62除以这个分率差，就能求出作为单位“1”的总页数了。
【解析】
解：
1. 初始状态下，已看页数占总页数的比例：
$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$
2. 再看62页后，已看页数占总页数的比例：
$\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$
3. 62页对应的占总页数的分率：
$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
4. 计算全书总页数：
$62÷\frac{1}{2}=124$（页）
答：这本书一共有124页。
【答案】124页
【知识点】比的应用，分数除法，量率对应
【点评】本题是典型的不变量类分数比应用题，解题关键是跳出分别表示已看、剩下页数的惯性思路，抓住总页数不变的特点，将比的关系转化为已看页数占总页数的分率，直接通过量率对应快速求解，避免了复杂的设未知数计算，能有效锻炼学生的数量关系转化能力。
【难度系数】0.6
这道题的核心隐藏条件是这本书的总页数始终不变，我们可以把总页数看作单位“1”来解题。首先第一步，根据一开始已看页数和剩下页数的比是1:3，算出此时已看页数占总页数的几分之几；第二步，根据再看62页之后已看和剩下的比是3:1，算出此时已看页数占总页数的几分之几；第三步，两个占比的差值，对应的就是笑笑后来看的62页，用量率对应关系，用62除以这个分率差，就能求出作为单位“1”的总页数了。
【解析】
解：
1. 初始状态下，已看页数占总页数的比例：
$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$
2. 再看62页后，已看页数占总页数的比例：
$\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$
3. 62页对应的占总页数的分率：
$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
4. 计算全书总页数：
$62÷\frac{1}{2}=124$（页）
答：这本书一共有124页。
【答案】124页
【知识点】比的应用，分数除法，量率对应
【点评】本题是典型的不变量类分数比应用题，解题关键是跳出分别表示已看、剩下页数的惯性思路，抓住总页数不变的特点，将比的关系转化为已看页数占总页数的分率，直接通过量率对应快速求解，避免了复杂的设未知数计算，能有效锻炼学生的数量关系转化能力。
【难度系数】0.6
2. 一个长方体储水桶里完全浸没着一段底面直径是4厘米的圆柱形钢材。把这段钢材竖着拉出水面6厘米,水面下降了2厘米。继续把这段钢材全部拉出水面,这时水面又下降了6厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米?(5分)
答案
2. $(2+6)÷2×6=24$(厘米) $3.14×(4÷2)^{2}×24=301.44$(立方厘米)
解析
【分析】
这道题的核心是利用排水法的等量关系解题：拉出水面的圆柱形钢材的体积，等于储水桶中对应下降部分的水的体积。首先储水桶的底面积是固定的，因此水面下降的高度和减少的水的体积成正比。第一步先梳理水面下降的总高度：第一次拉钢材水面降2厘米，全部拉完又降6厘米，总下降高度是8厘米。已知拉出6厘米长的钢材对应水面下降2厘米，我们可以通过比例关系，算出总下降8厘米对应的整段钢材的总长度。得到钢材总长度后，再代入圆柱体积公式，用底面积乘总长就能算出钢材的总体积。
【解析】
1. 求圆柱形钢材的总长度
储水桶底面积固定，下降的水的体积与水面下降高度成正比，拉出6厘米钢材对应水面下降2厘米，钢材全部取出时水面总下降高度为2+6=8厘米，因此钢材总长度为：
$(2+6)÷2×6=24$（厘米）
2. 求钢材的底面积
已知钢材底面直径为4厘米，半径为$4÷2=2$厘米，底面积为：
$3.14×(4÷2)^2=12.56$（平方厘米）
3. 求钢材的总体积
根据圆柱体积公式$V=Sh$，代入底面积和总长度得：
$12.56×24=301.44$（立方厘米）
【答案】
301.44立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算，排水法求体积，正比例应用
【点评】
本题没有直接给出钢材的总长度，需要学生跳出硬算储水桶底面积的惯性思路，灵活利用“下降水的体积和高度成正比”的特点，通过比例快速推导钢材总长，重点考察对排水法原理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.4
这道题的核心是利用排水法的等量关系解题：拉出水面的圆柱形钢材的体积，等于储水桶中对应下降部分的水的体积。首先储水桶的底面积是固定的，因此水面下降的高度和减少的水的体积成正比。第一步先梳理水面下降的总高度：第一次拉钢材水面降2厘米，全部拉完又降6厘米，总下降高度是8厘米。已知拉出6厘米长的钢材对应水面下降2厘米，我们可以通过比例关系，算出总下降8厘米对应的整段钢材的总长度。得到钢材总长度后，再代入圆柱体积公式，用底面积乘总长就能算出钢材的总体积。
【解析】
1. 求圆柱形钢材的总长度
储水桶底面积固定，下降的水的体积与水面下降高度成正比，拉出6厘米钢材对应水面下降2厘米，钢材全部取出时水面总下降高度为2+6=8厘米，因此钢材总长度为：
$(2+6)÷2×6=24$（厘米）
2. 求钢材的底面积
已知钢材底面直径为4厘米，半径为$4÷2=2$厘米，底面积为：
$3.14×(4÷2)^2=12.56$（平方厘米）
3. 求钢材的总体积
根据圆柱体积公式$V=Sh$，代入底面积和总长度得：
$12.56×24=301.44$（立方厘米）
【答案】
301.44立方厘米
【知识点】
圆柱体积计算，排水法求体积，正比例应用
【点评】
本题没有直接给出钢材的总长度，需要学生跳出硬算储水桶底面积的惯性思路，灵活利用“下降水的体积和高度成正比”的特点，通过比例快速推导钢材总长，重点考察对排水法原理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.4
3. 右图四边形中$∠ 1$是(
135
)°,这个四边形的面积是多少平方厘米?(5分)答案
3. 135 $10×10÷2-4×4÷2=42$(平方厘米)
解析
【分析】
我们可以分步梳理解题思路：首先求∠1时，可直接利用四边形内角和的性质快速推导，也能结合图形特征辅助验证；求面积时直接拆分四边形计算边长非常繁琐，最优方法是用割补补形的思路：将四边形的两条不完整的边延长，补成一个完整的大等腰直角三角形——图形右下角是45°、左下角是直角，因此补出的大三角形两条直角边长度都为10厘米，属于等腰直角三角形；而左上角多出来的部分也恰好是直角边为4厘米的小等腰直角三角形，最终四边形的面积就等于大等腰直角三角形的面积减去小等腰直角三角形的面积，计算过程非常简便。
【解析】
1. 计算∠1的度数：
四边形的内角和为360°，已知该四边形包含2个90°的直角、1个45°的角，代入计算得：
∠1 = 360° - 90° - 90° - 45° = 135°
2. 计算四边形的面积：
补形得到直角边为10cm的大等腰直角三角形，和直角边为4cm的小等腰直角三角形，四边形面积为二者的面积差：
大等腰直角三角形面积：$10×10÷2 = 50$（平方厘米）
小等腰直角三角形面积：$4×4÷2 = 8$（平方厘米）
四边形面积：$50 - 8 = 42$（平方厘米）
【答案】
∠1是135°，这个四边形的面积是42平方厘米。
【知识点】
四边形内角和，等腰直角三角形，割补法求面积
【点评】
本题是小学几何拓展的经典题型，核心考察补形割补的转化思想，把难以直接计算的不规则四边形转化为两个规则图形的面积差，大幅降低了计算难度，同时也巩固了基础角度计算的相关性质。
【难度系数】
0.6
我们可以分步梳理解题思路：首先求∠1时，可直接利用四边形内角和的性质快速推导，也能结合图形特征辅助验证；求面积时直接拆分四边形计算边长非常繁琐，最优方法是用割补补形的思路：将四边形的两条不完整的边延长，补成一个完整的大等腰直角三角形——图形右下角是45°、左下角是直角，因此补出的大三角形两条直角边长度都为10厘米，属于等腰直角三角形；而左上角多出来的部分也恰好是直角边为4厘米的小等腰直角三角形，最终四边形的面积就等于大等腰直角三角形的面积减去小等腰直角三角形的面积，计算过程非常简便。
【解析】
1. 计算∠1的度数：
四边形的内角和为360°，已知该四边形包含2个90°的直角、1个45°的角，代入计算得：
∠1 = 360° - 90° - 90° - 45° = 135°
2. 计算四边形的面积：
补形得到直角边为10cm的大等腰直角三角形，和直角边为4cm的小等腰直角三角形，四边形面积为二者的面积差：
大等腰直角三角形面积：$10×10÷2 = 50$（平方厘米）
小等腰直角三角形面积：$4×4÷2 = 8$（平方厘米）
四边形面积：$50 - 8 = 42$（平方厘米）
【答案】
∠1是135°，这个四边形的面积是42平方厘米。
【知识点】
四边形内角和，等腰直角三角形，割补法求面积
【点评】
本题是小学几何拓展的经典题型，核心考察补形割补的转化思想，把难以直接计算的不规则四边形转化为两个规则图形的面积差，大幅降低了计算难度，同时也巩固了基础角度计算的相关性质。
【难度系数】
0.6
