1. $\sqrt{81}=$；$\sqrt{4}$的平方根是；$\sqrt[3]{-27}=$.

9；±√2；-3

2. 写出一个大于$5$的无理数：.

$\sqrt{26}$（答案不唯一）

3. 给出四个实数$0$，$-\sqrt{2}$，$-1$，$0.4$，其中最小的数是.

首先，我们列出这四个实数：$0$，$-\sqrt{2}$，$-1$，$0.4$，
根据实数的性质，负数总是小于正数和零，所以只需比较两个负数$-\sqrt{2}$和$-1$，
为了比较$-\sqrt{2}$和$-1$，我们先比较$\sqrt{2}$和$1$，
由于$\sqrt{2} \approx 1.414 ＞ 1$，
因此，$-\sqrt{2} ＜ -1$，
综合以上分析，四个实数中最小的数是$-\sqrt{2}$，
故答案为：$-\sqrt{2}$。

4. 若某数$M$的两个平方根分别是$a+3$和$2a-15$，则这个数$M=$.

因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以$a + 3 + 2a - 15 = 0$，
$3a - 12 = 0$，
$3a = 12$，
$a = 4$。
则$a + 3 = 4 + 3 = 7$，
所以$M = 7^2 = 49$。
49

5. 用“$*$”表示一种新运算：对于任意正实数$m$，$n$，都有$m*n=\sqrt{n}+m$，如$2*9=\sqrt{9}+2=5$.那么$6*81=$.

根据题中定义的新运算规则$m*n = \sqrt{n}+m$，对于$6*81$，其中$m = 6$，$n = 81$。
则$6*81=\sqrt{81}+6$
因为$\sqrt{81}=9$，所以$\sqrt{81}+6 = 9 + 6=15$。
故答案为$15$。

6. (1)若点$M$在数轴上与原点相距$\sqrt{5}$个单位长度，则点$M$表示的实数为；
(2)数轴上与表示$-\sqrt{3}$的点的距离为$\sqrt{3}$的点所表示的数是.

(1)
设点$M$表示的实数为$x$，则$\vert x\vert=\sqrt{5}$，解得$x = \pm\sqrt{5}$。
(2)
设所求点表示的实数为$x$，则$\vert x - (-\sqrt{3})\vert=\sqrt{3}$，即$\vert x + \sqrt{3}\vert=\sqrt{3}$。
根据绝对值的性质，$x+\sqrt{3}=\sqrt{3}$或$x + \sqrt{3}=-\sqrt{3}$。
当$x+\sqrt{3}=\sqrt{3}$时，$x = 0$；当$x+\sqrt{3}=-\sqrt{3}$时，$x=-2\sqrt{3}$。
综上，答案依次为：(1)$\pm\sqrt{5}$；(2)$0$或$-2\sqrt{3}$。

7. 提升题如图所示，长方形内两个正方形的面积分别为$3\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$和$1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$，则这个长方形的面积为$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$.

因为正方形面积等于边长的平方，所以面积为$1\,\mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{1}=1\,\mathrm{cm}$，面积为$3\,\mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$。
由图形可知，长方形的长为两个正方形边长之和，即$\sqrt{3}+1\,\mathrm{cm}$，宽为面积为$3\,\mathrm{cm}^2$的正方形边长$\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$。
所以长方形面积为长乘宽：$(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}=3+\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$。
$3+\sqrt{3}$

8. 若$m$，$n$为实数，且$(m+3)^{2}+\sqrt{n-4}=0$，则$(m+n)^{2026}$的值为.

因为$(m + 3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{n - 4} ≥ 0$，且$(m + 3)^2 + \sqrt{n - 4} = 0$，所以$m + 3 = 0$，$n - 4 = 0$。解得$m = - 3$，$n = 4$。则$m + n = - 3 + 4 = 1$，所以$(m + n)^{2026} = 1^{2026} = 1$。
1

9. 计算：
(1)$|-3|-\sqrt{9}+1$；
(2)$\sqrt[3]{-8}-|2-\sqrt{3}|$；
(3)$\sqrt{(-2)^{2}}-(-3)-|\sqrt{5}-3|$.

(1)
解：
首先计算绝对值 $|-3|$，由绝对值的定义，$|-3| = 3$。
接着计算平方根 $\sqrt{9}$，由平方根的定义，$\sqrt{9} = 3$。
最后进行加减运算，$3 - 3 + 1 = 1$。
所以，$|-3|-\sqrt{9}+1 = 1$。
(2)
解：
首先计算立方根 $\sqrt[3]{-8}$，由立方根的定义，$\sqrt[3]{-8} = -2$。
接着计算绝对值 $|2-\sqrt{3}|$，由于 $2 ＞ \sqrt{3}$，所以 $|2-\sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$。
最后进行减法运算，$-2 - (2 - \sqrt{3}) = -4 + \sqrt{3}$。
所以，$\sqrt[3]{-8}-|2-\sqrt{3}| = -4 + \sqrt{3}$。
(3)
解：
首先计算平方根下的平方 $\sqrt{(-2)^{2}}$，由平方和平方根的定义，$\sqrt{(-2)^{2}} = 2$。
接着考虑单项式 $-(-3)$，得 $3$。
再考虑绝对值 $|\sqrt{5}-3|$，由于 $\sqrt{5} ＜ 3$，所以 $|\sqrt{5}-3| = 3 - \sqrt{5}$。
最后进行加减运算，$2 + 3 - (3 - \sqrt{5}) = 2 + \sqrt{5}$。
所以，$\sqrt{(-2)^{2}}-(-3)-|\sqrt{5}-3| = 2 + \sqrt{5}$。

10. 小华解方程$(x+6)^{2}-9=0$的过程如下表所示：

小华的解答从第步开始出错.请写出正确的解答过程.

二
解：移项，得$(x + 6)^2 = 9$。
根据平方根的意义，得$x + 6 = 3$或$x + 6 = -3$。
当$x + 6 = 3$时，$x = 3 - 6 = -3$；
当$x + 6 = -3$时，$x = -3 - 6 = -9$。
所以$x_1 = -3$，$x_2 = -9$。