8. (2026·深圳校级月考) 如图,四边形 $OABC$ 是长方形,点 $A$ 的坐标为 $(8,0)$,点 $C$ 的坐标为 $(0,4)$,把长方形$OABC$ 沿 $OB$ 折叠,点 $C$ 落在点 $D$ 处,则点 $D$ 的坐标为.

8. $(\dfrac{16}{5},-\dfrac{12}{5})$ 解析:如图,过点$D$作$DF ⊥ OA$于点$F$,设$BD$与$x$轴交于点$E$,由折叠可得$∠ CBO=∠ DBO$.$\because$ 四边形$OABC$是长方形,$\therefore BC // OA$,$\therefore ∠ CBO=∠ BOA$,$\therefore ∠ DBO=∠ BOA$,$\therefore BE=OE$.在$△ ODE$和$△ BAE$中,$\begin{cases} ∠ ODE=∠ BAO=90°, \\ ∠ OED=∠ BEA, \\ OE=BE, \end{cases}$$\therefore △ ODE ≌ △ BAE(\mathrm{AAS})$,$\therefore AE=DE$.设$DE=AE=x$,则有$OE=BE=8-x$,在$\mathrm{Rt}△ ODE$中,根据勾股定理得$4^2+x^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,$\therefore DE=3$,$OE=5$.$\because S_{△ OED}=\dfrac{1}{2}OD · DE=\dfrac{1}{2}OE · DF$,$\therefore DF=\dfrac{12}{5}$,$\therefore OF=\sqrt{4^2-(\dfrac{12}{5})^2}=\dfrac{16}{5}$,$\therefore D(\dfrac{16}{5},-\dfrac{12}{5})$.

9. 在某河流的北岸有 A , B 两个村子, A 村距河北岸的距离为 1 千米, B 村距河北岸的距离为4 千米,且两村相距 5 千米,B 村在 A 村的右边,现以河北岸为 x 轴,A 村在 y 轴正半轴上(单位:千米).
(1)请在图中建立平面直角坐标系,并描出 A,B 两村的位置,写出其坐标.(图中每个小正方形的边长代表 1 千米)
(2)A,B 两村商议,共同在河北岸修一个水泵站,分别向两村各铺一条水管,要使所用水管最短,水泵站应修在什么位置?在图中标出水泵站的位置,并求出所用水管的长度.

9. (1)建立平面直角坐标系并描出$A$,$B$两村的位置,如图所示.$A(0,1)$,$B(4,4)$.(坐标系的位置不唯一)
(2)如图,作点$A$关于$x$轴的对称点$A'$,连接$A'B$交$x$轴于点$P$,则点$P$即为水泵站的位置(两点之间线段最短).$PA+PB=PA'+PB=A'B$,$A'B$的长度即为所用水管的最短长度.过$B$,$A'$分别作$x$轴、$y$轴的垂线交于点$E$.$\because$ 点$A$的坐标为$(0,1)$,点$B$的坐标为$(4,4)$,$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(0,-1)$.$\because A'E=4$,$BE=5$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ A'BE$中,$A'B=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$.故所用水管的最短长度为$\sqrt{41}$千米.

10. (2025·重庆期中) 如图,在长方形 $ OABC $ 中, $ O $ 为平面直角坐标系的原点,点 $ A $ 的坐标为 $ (a,0) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (0,b) $,且 $ a,b $ 满足 $ \sqrt{a - 4} + |b - 6| = 0 $,点 $ B $ 在第一象限内,点 $ P $ 从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着 $ O-C-B-A-O $ 的线路移动.
(1) 点 $ B $ 的坐标为; 当点 $ P $ 移动3.5秒时,点 $ P $ 的坐标为.
(2) 在移动过程中,当点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为4个单位长度时,求点 $ P $ 移动的时间.
(3) 在移动过程中,当 $ △ OBP $ 的面积是10时,求点 $ P $ 移动的时间.

10. (1)$(4,6)$ $(1,6)$ 解析:$\because a,b$满足$\sqrt{a-4}+|b-6|=0$,$\therefore a-4=0$,$b-6=0$,解得$a=4$,$b=6$,$\therefore$ 点$B$的坐标是$(4,6)$.$\because$ 点$P$从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着$O-C-B-A-O$的线路移动,$\therefore 2 × 3.5=7$.$\because OA=4$,$OC=6$,$\therefore$ 当点$P$移动3.5秒时,在线段$CB$上,离点$C$的距离是$7-6=1$,$\therefore$ 点$P$的坐标是$(1,6)$.
(2)由题意可得,在移动过程中,当点$P$到$x$轴的距离为4个单位长度时,存在两种情况.
第一种情况,当点$P$在$OC$上时,点$P$移动的时间是$4 ÷ 2=2$(秒);
第二种情况,当点$P$在$BA$上时,点$P$移动的时间是$(6+4+2) ÷ 2=6$(秒).故在移动过程中,当点$P$到$x$轴的距离为4个单位长度时,点$P$移动的时间是2秒或6秒.
(3)如图①所示,$\because △ OBP$的面积为10,$\therefore \dfrac{1}{2}BC · OP=10$,即$\dfrac{1}{2} × 4 × OP=10$,解得$OP=5$,$\therefore$ 此时点$P$移动的时间是$5 ÷ 2=\dfrac{5}{2}$(秒).


如图②所示,$\because △ OBP$的面积为10,$\therefore \dfrac{1}{2}OC · PB=10$,即$\dfrac{1}{2} × 6 × PB=10$,解得$BP=\dfrac{10}{3}$,$\therefore CP=\dfrac{2}{3}$,$\therefore$ 此时点$P$移动的时间是$(6+\dfrac{2}{3}) ÷ 2=\dfrac{10}{3}$(秒).
如图③所示,$\because △ OBP$的面积为10,$\therefore \dfrac{1}{2}BC · BP=10$,即$\dfrac{1}{2} × 4 × PB=10$,解得$BP=5$,$\therefore$ 此时点$P$移动的时间是$(6+4+5) ÷ 2=\dfrac{15}{2}$(秒).


如图④所示,$\because △ OBP$的面积为10,$\therefore \dfrac{1}{2}AB · OP=10$,即$\dfrac{1}{2} × 6 × OP=10$,解得$OP=\dfrac{10}{3}$,$\therefore AP=\dfrac{2}{3}$,$\therefore$ 此时点$P$移动的时间是$(6+4+6+\dfrac{2}{3}) ÷ 2=\dfrac{25}{3}$(秒).
综上所述,当$△ OBP$的面积是10时,点$P$移动的时间是$\dfrac{5}{2}$秒或$\dfrac{10}{3}$秒或$\dfrac{15}{2}$秒或$\dfrac{25}{3}$秒.