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1. 某中学准备建一个面积为375 m²的长方形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m. 设游泳池的长为x m，则可列方程(
A.$x(x-10)=375$
B.$x(x+10)=375$
C.$2x(2x-10)=375$
D.$2x(2x+10)=375$
A
)A.$x(x-10)=375$
B.$x(x+10)=375$
C.$2x(2x-10)=375$
D.$2x(2x+10)=375$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆长方形面积的计算公式，再结合题目给出的长和宽的关系、面积大小来列方程。第一步先明确已知的未知数设定：题目已经设长为x m，第二步根据“宽比长短10m”的条件表示出宽的长度，第三步利用“长方形面积=长×宽”这个核心等量关系，把长、宽、面积代入公式就能列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
已知设游泳池的长为x m，因为宽比长短10 m，所以宽为$(x-10)$m。
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知游泳池面积为$375\ \mathrm{m}^2$，将长、宽、面积代入公式可得：
$x(x-10)=375$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元二次方程 2. 长方形面积计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的式子表示出未知量，代入等量关系即可快速得到正确方程。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆长方形面积的计算公式，再结合题目给出的长和宽的关系、面积大小来列方程。第一步先明确已知的未知数设定：题目已经设长为x m，第二步根据“宽比长短10m”的条件表示出宽的长度，第三步利用“长方形面积=长×宽”这个核心等量关系，把长、宽、面积代入公式就能列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
已知设游泳池的长为x m，因为宽比长短10 m，所以宽为$(x-10)$m。
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知游泳池面积为$375\ \mathrm{m}^2$，将长、宽、面积代入公式可得：
$x(x-10)=375$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元二次方程 2. 长方形面积计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的式子表示出未知量，代入等量关系即可快速得到正确方程。
【难度系数】
0.9
2. 某商店今年3月份的销售额是2万元，5月份的销售额是4.5万元.则从3月到5月，该店每月销售额的平均增长率是(
A.20%
B.25%
C.50%
D.62.5%
C
)A.20%
B.25%
C.50%
D.62.5%
答案
2. C
解析
【分析】
这是平均增长率类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步，设每月销售额的平均增长率为x；第二步，明确增长规律：从3月到5月共增长2次，增长后的量=增长前的量×(1+增长率)的增长次数次方，因此5月销售额=3月销售额×(1+x)²；第三步，代入已知数据列方程求解，最后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合的根，得到正确结果。
【解析】
解：设该店每月销售额的平均增长率为x。
根据题意列方程得：$\displaystyle 2(1+x)^2 = 4.5$
方程两边同时除以2，得：$\displaystyle (1+x)^2 = 2.25$
开平方得：$\displaystyle 1+x = \pm1.5$
①当$\displaystyle 1+x=1.5$时，解得$\displaystyle x=0.5=50\%$，符合实际意义；
②当$\displaystyle 1+x=-1.5$时，解得$\displaystyle x=-2.5$，增长率不能为负，不符合实际，舍去。
因此每月销售额的平均增长率为50%。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均增长率计算 2. 一元二次方程求解 3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型基础题，核心是掌握平均增长率的等量关系，求解后注意结合实际场景排除不合理的根就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
这是平均增长率类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步，设每月销售额的平均增长率为x；第二步，明确增长规律：从3月到5月共增长2次，增长后的量=增长前的量×(1+增长率)的增长次数次方，因此5月销售额=3月销售额×(1+x)²；第三步，代入已知数据列方程求解，最后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合的根，得到正确结果。
【解析】
解：设该店每月销售额的平均增长率为x。
根据题意列方程得：$\displaystyle 2(1+x)^2 = 4.5$
方程两边同时除以2，得：$\displaystyle (1+x)^2 = 2.25$
开平方得：$\displaystyle 1+x = \pm1.5$
①当$\displaystyle 1+x=1.5$时，解得$\displaystyle x=0.5=50\%$，符合实际意义；
②当$\displaystyle 1+x=-1.5$时，解得$\displaystyle x=-2.5$，增长率不能为负，不符合实际，舍去。
因此每月销售额的平均增长率为50%。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均增长率计算 2. 一元二次方程求解 3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型基础题，核心是掌握平均增长率的等量关系，求解后注意结合实际场景排除不合理的根就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
3. 电脑病毒的传播速度非常快,如果一台电脑被病毒感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.设每轮传染中平均一台电脑会感染x台电脑,则列方程为
$(1+x)^2=81$
.答案
3. $(1+x)^2=81$
解析
【分析】
解决这类传播问题，我们可以按轮次梳理被感染电脑的数量变化：首先明确初始只有1台被感染的电脑；第一轮传播时，1台电脑能感染x台，因此第一轮结束后总共有(1+x)台被感染的电脑；第二轮传播时，第一轮被感染的(1+x)台电脑每台都能感染x台，即每台电脑经过一轮后，对应(1+x)台被感染电脑，因此两轮结束后总被感染数为(1+x)乘(1+x)，也就是(1+x)²；最后结合两轮后共有81台被感染的条件，即可列出方程。
【解析】
1. 初始状态：被感染的电脑数量为1台。
2. 第一轮感染后：原本的1台电脑感染了x台，加上自身，总共有$1 + x$台被感染的电脑。
3. 第二轮感染时，已被感染的$(1+x)$台电脑每台都会感染x台新的电脑，因此第二轮结束后，总的被感染电脑数量为$(1+x) + x(1+x)$，提取公因式后可得$(1+x)(1+x)=(1+x)^2$。
4. 已知两轮感染后共有81台电脑被感染，因此可列方程为$(1+x)^2=81$。
【答案】
$(1+x)^2=81$
【知识点】
一元二次方程的应用；传播类问题等量关系
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是理清每轮传播前后感染源的数量变化，找准总感染数的计算规律，不要遗漏初始的感染源即可快速列出对应方程。
【难度系数】
0.8
解决这类传播问题，我们可以按轮次梳理被感染电脑的数量变化：首先明确初始只有1台被感染的电脑；第一轮传播时，1台电脑能感染x台，因此第一轮结束后总共有(1+x)台被感染的电脑；第二轮传播时，第一轮被感染的(1+x)台电脑每台都能感染x台，即每台电脑经过一轮后，对应(1+x)台被感染电脑，因此两轮结束后总被感染数为(1+x)乘(1+x)，也就是(1+x)²；最后结合两轮后共有81台被感染的条件，即可列出方程。
【解析】
1. 初始状态：被感染的电脑数量为1台。
2. 第一轮感染后：原本的1台电脑感染了x台，加上自身，总共有$1 + x$台被感染的电脑。
3. 第二轮感染时，已被感染的$(1+x)$台电脑每台都会感染x台新的电脑，因此第二轮结束后，总的被感染电脑数量为$(1+x) + x(1+x)$，提取公因式后可得$(1+x)(1+x)=(1+x)^2$。
4. 已知两轮感染后共有81台电脑被感染，因此可列方程为$(1+x)^2=81$。
【答案】
$(1+x)^2=81$
【知识点】
一元二次方程的应用；传播类问题等量关系
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是理清每轮传播前后感染源的数量变化，找准总感染数的计算规律，不要遗漏初始的感染源即可快速列出对应方程。
【难度系数】
0.8
4. 某校八年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队有
7
个。答案
4. 7
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的含义：每两队之间仅赛1场，无重复场次。设参赛球队有x个，每个球队需要和其余(x-1)个球队各赛1场，若直接计算x个球队的总场次会把每场比赛重复计算2次，因此实际总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总比赛场数21，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到结果。
【解析】
解：设参赛球队有x个。
根据单循环比赛总场数的计算逻辑，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
方程两边同时乘2，整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 42=0$
因式分解得：
$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$。
由于球队数量不能为负数，故舍去$x=-6$。
【答案】
7
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环场数计算
【点评】
本题是方程结合生活实际的典型基础题型，解题关键是准确理解单循环赛制的计数规则，求出方程的解后要注意检验解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环赛制的含义：每两队之间仅赛1场，无重复场次。设参赛球队有x个，每个球队需要和其余(x-1)个球队各赛1场，若直接计算x个球队的总场次会把每场比赛重复计算2次，因此实际总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总比赛场数21，即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到结果。
【解析】
解：设参赛球队有x个。
根据单循环比赛总场数的计算逻辑，列方程得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
方程两边同时乘2，整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - x - 42=0$
因式分解得：
$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$。
由于球队数量不能为负数，故舍去$x=-6$。
【答案】
7
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环场数计算
【点评】
本题是方程结合生活实际的典型基础题型，解题关键是准确理解单循环赛制的计数规则，求出方程的解后要注意检验解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
5. 连续两个正奇数的乘积为483,则这两个奇数分别是
21和23
.答案
5. 21和23
解析
【分析】
首先明确连续正奇数的特征：相邻两个正奇数的差为2。我们可以通过设未知数表示出这两个数，再根据“两个数的乘积为483”的等量关系列出一元二次方程，求解后结合正奇数的要求舍去不符合题意的解，即可得到答案。
【解析】
解：设较小的正奇数为$x$，则较大的正奇数为$x+2$。
根据题意列方程得：
$x(x+2)=483$
整理得：$x^2 + 2x - 483 = 0$
因式分解得：$(x - 21)(x + 23) = 0$
解得：$x_1=21$，$x_2=-23$
因为$x$是正奇数，所以$x=-23$不符合题意，舍去。
则较大的奇数为$21+2=23$。
【答案】
21和23
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的求解；奇数的性质
【点评】
本题是一元二次方程在数字问题中的基础应用，解题的核心是抓住连续奇数相差2的特点合理设未知数，找到等量关系列方程，同时要注意对求解结果进行检验，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
首先明确连续正奇数的特征：相邻两个正奇数的差为2。我们可以通过设未知数表示出这两个数，再根据“两个数的乘积为483”的等量关系列出一元二次方程，求解后结合正奇数的要求舍去不符合题意的解，即可得到答案。
【解析】
解：设较小的正奇数为$x$，则较大的正奇数为$x+2$。
根据题意列方程得：
$x(x+2)=483$
整理得：$x^2 + 2x - 483 = 0$
因式分解得：$(x - 21)(x + 23) = 0$
解得：$x_1=21$，$x_2=-23$
因为$x$是正奇数，所以$x=-23$不符合题意，舍去。
则较大的奇数为$21+2=23$。
【答案】
21和23
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的求解；奇数的性质
【点评】
本题是一元二次方程在数字问题中的基础应用，解题的核心是抓住连续奇数相差2的特点合理设未知数，找到等量关系列方程，同时要注意对求解结果进行检验，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
