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1. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（
A.①
B.②
C.③
D.④
B
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1. B 第②块玻璃碎片出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径，就能配到与原来大小一样的圆形玻璃.
解析
【分析】
要配到和原来大小完全一致的圆形玻璃，核心是要确定原圆形的圆心和半径。我们回忆确定圆的相关知识：不在同一直线上的三个点可以唯一确定一个圆，结合垂径定理的推论，弦的垂直平分线必然经过圆心，只要碎片上保留了一段足够长的完整圆弧，就可以在这段弧上任选三个点，连接得到两条不同的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意一点的距离就是原圆的半径，就能复原出完整的原圆。接下来观察四块碎片：只有第②块碎片带有一段完整的圆周弧，满足上述操作的要求，其余三块碎片都没有保留足够长的完整圆弧，无法通过作图确定圆心和半径，因此选择第②块即可。
【解析】
要复原原圆形玻璃，必须确定原圆的圆心和半径：
1. 根据垂径定理的推论：任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，只要存在一段完整的圆弧，就可以在弧上任意作两条不平行的弦，分别作出两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到圆弧上点的距离就是原圆的半径。
2. 观察四块碎片：只有碎片②保留了一段完整的圆弧，完全可以通过上述方法确定原圆的圆心和半径，其余①③④碎片都没有足够的完整弧段，无法完成圆心定位，因此小明只需要带第②块碎片即可。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理推论
【点评】
本题结合生活实际场景出题，考察几何知识的实际应用，解题关键是理解确定圆的核心是找到圆心和半径，只有带有完整弧段的碎片才能通过垂径定理的性质定位圆心，题目难度不高，能帮助学生把课本上的几何知识和生活场景结合起来，加深对确定圆的条件的理解。
【难度系数】
0.7
要配到和原来大小完全一致的圆形玻璃，核心是要确定原圆形的圆心和半径。我们回忆确定圆的相关知识：不在同一直线上的三个点可以唯一确定一个圆，结合垂径定理的推论，弦的垂直平分线必然经过圆心，只要碎片上保留了一段足够长的完整圆弧，就可以在这段弧上任选三个点，连接得到两条不同的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意一点的距离就是原圆的半径，就能复原出完整的原圆。接下来观察四块碎片：只有第②块碎片带有一段完整的圆周弧，满足上述操作的要求，其余三块碎片都没有保留足够长的完整圆弧，无法通过作图确定圆心和半径，因此选择第②块即可。
【解析】
要复原原圆形玻璃，必须确定原圆的圆心和半径：
1. 根据垂径定理的推论：任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，只要存在一段完整的圆弧，就可以在弧上任意作两条不平行的弦，分别作出两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到圆弧上点的距离就是原圆的半径。
2. 观察四块碎片：只有碎片②保留了一段完整的圆弧，完全可以通过上述方法确定原圆的圆心和半径，其余①③④碎片都没有足够的完整弧段，无法完成圆心定位，因此小明只需要带第②块碎片即可。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理推论
【点评】
本题结合生活实际场景出题，考察几何知识的实际应用，解题关键是理解确定圆的核心是找到圆心和半径，只有带有完整弧段的碎片才能通过垂径定理的性质定位圆心，题目难度不高，能帮助学生把课本上的几何知识和生活场景结合起来，加深对确定圆的条件的理解。
【难度系数】
0.7
2. 易错题 如图,A,O 在网格中小正方形的顶点处,每个小正方形的边长为 1,在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B,C,使点 O 为$△ ABC$的外心,则 BC 的长是（
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
A
）A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
答案
2. A 如图,连接 OA.
∵ 点 O 为△ABC 的外心,
∴ OA=OB=OC.
∴ 点 B 和点 C 在以点 O 为圆心,OA 为半径的圆上.
∴ 点 B 和点 C 的位置如图所示.
∴ BC = $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.
（第2题）
易错警示
不会根据隐含条件动手操作解决问题
解答这类问题时,往往需要合理利用题中隐含的条件,如本题的三角形的外心.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,只需以点O为圆心、OA为半径画出圆弧即可确定经过的格点,从而解决问题.
∵ 点 O 为△ABC 的外心,
∴ OA=OB=OC.
∴ 点 B 和点 C 在以点 O 为圆心,OA 为半径的圆上.
∴ 点 B 和点 C 的位置如图所示.
∴ BC = $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$.
（第2题）
易错警示
不会根据隐含条件动手操作解决问题
解答这类问题时,往往需要合理利用题中隐含的条件,如本题的三角形的外心.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,只需以点O为圆心、OA为半径画出圆弧即可确定经过的格点,从而解决问题.
解析
【分析】
解题时首先要紧扣三角形外心的核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。第一步先利用勾股定理算出OA的长度，接下来就可以转化为：在网格中寻找所有到点O的距离等于OA的格点，除点A外任选两个格点作为B、C，最后用勾股定理计算B、C两点间的距离，对照选项即可得到正确结果。思考过程中要注意，找符合条件的格点时，利用“两点距离的平方等于横纵坐标差的平方和”来筛选，避免漏找错找格点。
【解析】
解：① 计算OA的长度：已知每个小正方形边长为1，观察网格可得点O到点A的横向距离为1，纵向距离为4，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$
② 利用外心性质推导：因为点O是$△ ABC$的外心，根据外心定义，外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，因此可得$OA=OB=OC=\sqrt{17}$，即点B、C都在以O为圆心、$\sqrt{17}$为半径的圆上。
③ 筛选符合条件的格点：在网格中找出所有到O点距离为$\sqrt{17}$的格点，除点A外，剩余符合要求的格点中任选两个作为B、C，选取的两点横向差为3、纵向差为3，再次利用勾股定理计算BC的长度：
$BC=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
三角形外心性质，勾股定理，格点距离计算
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易忽略外心“到三顶点距离相等”的隐含条件，不知道将问题转化为找对应圆经过的格点。解题时要牢牢抓住外心的核心性质，结合网格的坐标特征用勾股定理筛选格点，就能快速排除干扰得到正确结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先要紧扣三角形外心的核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。第一步先利用勾股定理算出OA的长度，接下来就可以转化为：在网格中寻找所有到点O的距离等于OA的格点，除点A外任选两个格点作为B、C，最后用勾股定理计算B、C两点间的距离，对照选项即可得到正确结果。思考过程中要注意，找符合条件的格点时，利用“两点距离的平方等于横纵坐标差的平方和”来筛选，避免漏找错找格点。
【解析】
解：① 计算OA的长度：已知每个小正方形边长为1，观察网格可得点O到点A的横向距离为1，纵向距离为4，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$
② 利用外心性质推导：因为点O是$△ ABC$的外心，根据外心定义，外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，因此可得$OA=OB=OC=\sqrt{17}$，即点B、C都在以O为圆心、$\sqrt{17}$为半径的圆上。
③ 筛选符合条件的格点：在网格中找出所有到O点距离为$\sqrt{17}$的格点，除点A外，剩余符合要求的格点中任选两个作为B、C，选取的两点横向差为3、纵向差为3，再次利用勾股定理计算BC的长度：
$BC=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
三角形外心性质，勾股定理，格点距离计算
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易忽略外心“到三顶点距离相等”的隐含条件，不知道将问题转化为找对应圆经过的格点。解题时要牢牢抓住外心的核心性质，结合网格的坐标特征用勾股定理筛选格点，就能快速排除干扰得到正确结果。
【难度系数】
0.6
3. 在$△ ABC$中，$∠ C=90^{ \circ }$，$AB=10$，在同一平面内，点$O$到点$A$，$B$，$C$的距离均等于$a$（$a$为常数），则常数$a$的值为
5
.答案
3. 5
∵ 在同一平面内,点 O 到点 A,B,C 的距离均等于a(a 为常数),
∴ OA=OB=OC.
∵ ∠C=90°,AB=10,
∴ O 为 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点.
∴ OA=OB=OC=$\frac{1}{2}$AB=5.
∴ 常数 a 的值为 5.
∵ 在同一平面内,点 O 到点 A,B,C 的距离均等于a(a 为常数),
∴ OA=OB=OC.
∵ ∠C=90°,AB=10,
∴ O 为 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点.
∴ OA=OB=OC=$\frac{1}{2}$AB=5.
∴ 常数 a 的值为 5.
解析
【分析】
我们可以按以下思路推导：第一步，先根据“点O到A、B、C三点的距离都等于a”这个条件，判断点O是△ABC的外心，也就是三角形外接圆的圆心；第二步，结合已知△ABC是∠C=90°的直角三角形，回忆直角三角形外心的特殊位置：直角三角形的外心恰好是斜边的中点；第三步，利用直角三角形斜边中线等于斜边长度一半的性质，代入已知的斜边AB=10，就能直接计算出a的数值。
【解析】
解：
∵ 点O到点A，B，C的距离均等于a，
∴ OA=OB=OC，即点O是△ABC的外心。
又
∵ △ABC中，∠C=90°，
∴ 该直角三角形的外心O为斜边AB的中点，
∴ OA=OB=OC = $\frac{1}{2}$AB，
已知AB=10，代入得：a = $\frac{1}{2}$ × 10 = 5。
【答案】
5
【知识点】
三角形外心性质；直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于几何基础题，核心考察直角三角形外心的位置特征，只要牢记“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形外心，直角三角形的外心在斜边中点处”这一结论，结合斜边中线的性质即可快速求解，易错点是部分同学容易混淆不同类型三角形外心的位置。
【难度系数】
0.8
我们可以按以下思路推导：第一步，先根据“点O到A、B、C三点的距离都等于a”这个条件，判断点O是△ABC的外心，也就是三角形外接圆的圆心；第二步，结合已知△ABC是∠C=90°的直角三角形，回忆直角三角形外心的特殊位置：直角三角形的外心恰好是斜边的中点；第三步，利用直角三角形斜边中线等于斜边长度一半的性质，代入已知的斜边AB=10，就能直接计算出a的数值。
【解析】
解：
∵ 点O到点A，B，C的距离均等于a，
∴ OA=OB=OC，即点O是△ABC的外心。
又
∵ △ABC中，∠C=90°，
∴ 该直角三角形的外心O为斜边AB的中点，
∴ OA=OB=OC = $\frac{1}{2}$AB，
已知AB=10，代入得：a = $\frac{1}{2}$ × 10 = 5。
【答案】
5
【知识点】
三角形外心性质；直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于几何基础题，核心考察直角三角形外心的位置特征，只要牢记“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形外心，直角三角形的外心在斜边中点处”这一结论，结合斜边中线的性质即可快速求解，易错点是部分同学容易混淆不同类型三角形外心的位置。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在平面直角坐标系中,$A(0,3),B(2,1),C(2,-3)$,则经画图操作可知,$△ ABC$ 的外接圆的圆心坐标是
(-2,-1)
。答案
4. (-2,-1) 如图,分别作线段 AB,BC 的垂直平分线MN 和 EF,两条直线的交点 O' 即为△ABC 的外接圆的圆心. 由图可知,△ABC 的外接圆的圆心坐标是(-2,-1).
（第4题）
（第4题）
解析
【分析】
要确定△ABC外接圆的圆心，首先明确核心性质：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（也叫外心），该点到三角形三个顶点的距离相等。我们可以优先选择坐标特征明显的边计算垂直平分线：观察B、C两点横坐标相同，BC是竖直线段，很容易得到它的垂直平分线；再求出AB边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求的外接圆圆心，最终计算交点坐标即可得到结果。
【解析】
解：根据三角形外接圆圆心的定义，该点为三角形任意两条边的垂直平分线的交点，计算步骤如下：
1. 求线段BC的垂直平分线
已知$B(2,1)$，$C(2,-3)$，两点横坐标均为2，说明BC是平行于y轴的竖直线段。
BC的中点坐标为$(2,\frac{1+(-3)}{2})$，即$(2,-1)$，垂直于竖直线的直线为水平线，因此BC的垂直平分线为直线$y=-1$。
2. 求线段AB的垂直平分线
已知$A(0,3)$，$B(2,1)$，AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{3+1}{2})$，即$(1,2)$。
AB的斜率$k_{AB}=\frac{1-3}{2-0}=-1$，因此AB的垂直平分线的斜率为-1的负倒数，即$k=1$。
由点斜式可得AB的垂直平分线方程：$y-2 = 1·(x-1)$，整理得$y=x+1$。
3. 求两条垂直平分线的交点
将$y=-1$代入$y=x+1$，得$-1=x+1$，解得$x=-2$，因此两条垂直平分线的交点坐标为$(-2,-1)$，也就是△ABC外接圆的圆心。
【答案】$(-2,-1)$
【知识点】
三角形外心性质，垂直平分线方程，平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础题，利用坐标中线段的特征可以大幅简化垂直平分线的计算，也可以直接在网格中通过尺规作图画出两条边的垂直平分线直接得到交点，最后验证该点到A、B、C三点距离相等即可确认结果正确。
【难度系数】
0.7
要确定△ABC外接圆的圆心，首先明确核心性质：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（也叫外心），该点到三角形三个顶点的距离相等。我们可以优先选择坐标特征明显的边计算垂直平分线：观察B、C两点横坐标相同，BC是竖直线段，很容易得到它的垂直平分线；再求出AB边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求的外接圆圆心，最终计算交点坐标即可得到结果。
【解析】
解：根据三角形外接圆圆心的定义，该点为三角形任意两条边的垂直平分线的交点，计算步骤如下：
1. 求线段BC的垂直平分线
已知$B(2,1)$，$C(2,-3)$，两点横坐标均为2，说明BC是平行于y轴的竖直线段。
BC的中点坐标为$(2,\frac{1+(-3)}{2})$，即$(2,-1)$，垂直于竖直线的直线为水平线，因此BC的垂直平分线为直线$y=-1$。
2. 求线段AB的垂直平分线
已知$A(0,3)$，$B(2,1)$，AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{3+1}{2})$，即$(1,2)$。
AB的斜率$k_{AB}=\frac{1-3}{2-0}=-1$，因此AB的垂直平分线的斜率为-1的负倒数，即$k=1$。
由点斜式可得AB的垂直平分线方程：$y-2 = 1·(x-1)$，整理得$y=x+1$。
3. 求两条垂直平分线的交点
将$y=-1$代入$y=x+1$，得$-1=x+1$，解得$x=-2$，因此两条垂直平分线的交点坐标为$(-2,-1)$，也就是△ABC外接圆的圆心。
【答案】$(-2,-1)$
【知识点】
三角形外心性质，垂直平分线方程，平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础题，利用坐标中线段的特征可以大幅简化垂直平分线的计算，也可以直接在网格中通过尺规作图画出两条边的垂直平分线直接得到交点，最后验证该点到A、B、C三点距离相等即可确认结果正确。
【难度系数】
0.7
5. 某根圆柱形输水管道破裂，为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示为水平放置的破裂输水管道中有水部分的截面.
(1) 用无刻度的直尺和圆规补全这根输水管道的圆形截面(不写作法，保留作图痕迹).
(2) 若这根输水管道有水部分的水面宽$AB = 16\ \mathrm{cm}$，水面最深处的高度为$4\ \mathrm{cm}$，求这个圆形截面的半径.
(1) 用无刻度的直尺和圆规补全这根输水管道的圆形截面(不写作法，保留作图痕迹).
(2) 若这根输水管道有水部分的水面宽$AB = 16\ \mathrm{cm}$，水面最深处的高度为$4\ \mathrm{cm}$，求这个圆形截面的半径.
答案
5. (1) 如图所示. (2) 如图,记 AB 的垂直平分线交⊙O 于点 E,交 AB 于点 D,连接 OB.
∵ OE⊥AB,
∴ BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×16=8$(cm). 由题意可知,ED=4 cm. 设这个圆形截面的半径为 x cm,则 OB=x cm,OD=(x-4)cm. 在Rt△BOD中,由勾股定理,得 OD²+BD²=OB²,即(x-4)²+8²=x²,解得 x=10.
∴ 这个圆形截面的半径为 10 cm.
（第5题）
∵ OE⊥AB,
∴ BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×16=8$(cm). 由题意可知,ED=4 cm. 设这个圆形截面的半径为 x cm,则 OB=x cm,OD=(x-4)cm. 在Rt△BOD中,由勾股定理,得 OD²+BD²=OB²,即(x-4)²+8²=x²,解得 x=10.
∴ 这个圆形截面的半径为 10 cm.
（第5题）
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问补全圆形截面，我们依据不在同一直线上的三点确定一个圆的原理，只需在已知的弧AB上任意选取两个点，分别作出这两个点与A、B所连弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，确定圆心后以圆心到A点的长度为半径画圆即可补全截面。第二问求圆形截面的半径，首先联想到垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，这条垂线会平分AB，同时结合已知的水面最大深度，就可以构造出包含半径的直角三角形，设半径为未知数，利用勾股定理列出方程求解，就能算出半径的长度。
【解析】
(1) 在弧AB上任取两个不同于A、B的点，分别作任意两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以O为圆心，OA长为半径作圆，保留作图痕迹，即可得到完整的圆形截面。
(2) 过圆心O作OE⊥AB于点D，交弧AB于点E，连接OB。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$
由题意可知，水面最深处的高度$ED=4\ \mathrm{cm}$。
设圆形截面的半径为$x\ \mathrm{cm}$，则$OB=x\ \mathrm{cm}$，$OD=(x-4)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理$OD^2+BD^2=OB^2$，代入数值得：
$(x-4)^2+8^2=x^2$
展开化简得：$x^2-8x+16+64=x^2$，解得$x=10$。
【答案】
(1) 作出完整的符合要求的圆形截面即可；(2) 这个圆形截面的半径为10 cm。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，确定圆的条件
【点评】
本题是圆的实际应用经典题型，第一问考察尺规作圆找圆心的方法，核心是利用弦的垂直平分线过圆心的性质；第二问将垂径定理和勾股定理结合，通过设未知数列方程求解半径，是圆中弦长相关计算的常规考法，需要注意不要搞错圆心到弦的距离的表达式，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，第一问补全圆形截面，我们依据不在同一直线上的三点确定一个圆的原理，只需在已知的弧AB上任意选取两个点，分别作出这两个点与A、B所连弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，确定圆心后以圆心到A点的长度为半径画圆即可补全截面。第二问求圆形截面的半径，首先联想到垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，这条垂线会平分AB，同时结合已知的水面最大深度，就可以构造出包含半径的直角三角形，设半径为未知数，利用勾股定理列出方程求解，就能算出半径的长度。
【解析】
(1) 在弧AB上任取两个不同于A、B的点，分别作任意两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以O为圆心，OA长为半径作圆，保留作图痕迹，即可得到完整的圆形截面。
(2) 过圆心O作OE⊥AB于点D，交弧AB于点E，连接OB。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$
由题意可知，水面最深处的高度$ED=4\ \mathrm{cm}$。
设圆形截面的半径为$x\ \mathrm{cm}$，则$OB=x\ \mathrm{cm}$，$OD=(x-4)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理$OD^2+BD^2=OB^2$，代入数值得：
$(x-4)^2+8^2=x^2$
展开化简得：$x^2-8x+16+64=x^2$，解得$x=10$。
【答案】
(1) 作出完整的符合要求的圆形截面即可；(2) 这个圆形截面的半径为10 cm。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，确定圆的条件
【点评】
本题是圆的实际应用经典题型，第一问考察尺规作圆找圆心的方法，核心是利用弦的垂直平分线过圆心的性质；第二问将垂径定理和勾股定理结合，通过设未知数列方程求解半径，是圆中弦长相关计算的常规考法，需要注意不要搞错圆心到弦的距离的表达式，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 平面内有4个点,它们不在同一直线上,过其中3个点作圆,可以作出不重复的圆$n$个,则$n$的值不可能为（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
6. C 分为三种情况:① 当四点都在同一个圆上时,如图①,此时 n=1. ② 当三点在一条直线上时,如图②,分别过点 A,B,C 或点 A,C,D 或点 A,B,D 作圆,共 3 个圆,即n=3. ③ 当 A,B,C,D 四点不共圆,且其中的任何三点都不共线时,如图③,分别过点 A,B,C 或点 B,C,D 或点 C,D,A 或点 D,A,B 作圆,共 4 个圆,即 n=4. 综上所述,n的值不可能是2.
（第6题）
（第6题）
解析
【分析】
我们首先回忆核心定理：不在同一直线上的三个点有且仅能确定一个圆，题目已知四个点不在同一直线上，我们只需要对这四个点的不同位置排布进行分类讨论，逐一计算每种情况下能作出的不重复的圆的数量，就能得到所有可能的n值，进而选出不可能的选项。我们可以把所有合法的四点排布分为三类：四点全部共圆、恰好有三个点共线剩余一个点在线外、任意三点都不共线且四点不共圆，计算这三类对应的圆数，就能覆盖所有符合题意的情况，找出不可能的n。
【解析】
解：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，对4个点的位置关系分类讨论：
1. 情况1：四点共圆，此时任意选取三个点作圆，得到的都是同一个公共外接圆，因此可作出的不重复圆数量n=1；
2. 情况2：四个点中恰好有三点共线，剩余1个点在这条直线外：共线的三个点无法作圆，剩余的有效组合是从共线三点中选2个搭配线外的点，一共可以作出3个不同的圆，即n=3；
3. 情况3：任意三点都不共线，且四个点不共圆：此时从4个点中任选3个都能确定一个唯一的圆，组合数$C_4^3=4$，因此一共可以作出4个不同的圆，即n=4。
综上，n的可能取值为1、3、4，不可能为2。
【答案】C
【知识点】三点确定一个圆，分类讨论思想
【点评】本题是三点定圆定理的拓展应用题，解题核心是对四个点的所有合法位置排布做到不重不漏分类，不少同学容易遗漏“恰好三点共线”的特殊排布，错认为n只能是1或者4导致错选，解题时要结合点的共线、共圆的不同情况逐一验证，避免漏解。
【难度系数】
0.6
我们首先回忆核心定理：不在同一直线上的三个点有且仅能确定一个圆，题目已知四个点不在同一直线上，我们只需要对这四个点的不同位置排布进行分类讨论，逐一计算每种情况下能作出的不重复的圆的数量，就能得到所有可能的n值，进而选出不可能的选项。我们可以把所有合法的四点排布分为三类：四点全部共圆、恰好有三个点共线剩余一个点在线外、任意三点都不共线且四点不共圆，计算这三类对应的圆数，就能覆盖所有符合题意的情况，找出不可能的n。
【解析】
解：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，对4个点的位置关系分类讨论：
1. 情况1：四点共圆，此时任意选取三个点作圆，得到的都是同一个公共外接圆，因此可作出的不重复圆数量n=1；
2. 情况2：四个点中恰好有三点共线，剩余1个点在这条直线外：共线的三个点无法作圆，剩余的有效组合是从共线三点中选2个搭配线外的点，一共可以作出3个不同的圆，即n=3；
3. 情况3：任意三点都不共线，且四个点不共圆：此时从4个点中任选3个都能确定一个唯一的圆，组合数$C_4^3=4$，因此一共可以作出4个不同的圆，即n=4。
综上，n的可能取值为1、3、4，不可能为2。
【答案】C
【知识点】三点确定一个圆，分类讨论思想
【点评】本题是三点定圆定理的拓展应用题，解题核心是对四个点的所有合法位置排布做到不重不漏分类，不少同学容易遗漏“恰好三点共线”的特殊排布，错认为n只能是1或者4导致错选，解题时要结合点的共线、共圆的不同情况逐一验证，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 如图,点$O$为锐角三角形$ABC$的外心,四边形$OCDE$为正方形,其中点$E$在$△ ABC$的外部.下列叙述中,不正确的是（
A.点$O$是$△ AEB$的外心
B.点$O$是$△ BEC$的外心
C.点$O$是$△ AEC$的外心
D.点$O$是$△ ABD$的外心
D
）A.点$O$是$△ AEB$的外心
B.点$O$是$△ BEC$的外心
C.点$O$是$△ AEC$的外心
D.点$O$是$△ ABD$的外心
答案
7. D 如图,连接 OA,OB,OD.
∵ O 为锐角三角形 ABC的外心,
∴ OA=OC=OB.
∵ 四边形 OCDE 为正方形,
∴ OA=OC＜OD.
∴ OA=OB=OC=OE≠OD. 由 OA=OE=OB,得点 O 是△AEB 的外心.
∴ 选项 A 正确,不符合题意. 由 OB=OE=OC,得点 O 是△BEC 的外心.
∴ 选项 B 正确,不符合题意. 由 OA=OC=OE,得点 O 是△AEC 的外心.
∴ 选项 C 正确,不符合题意.
∵ OB=OA≠OD,
∴ 点 O 不是△ABD 的外心.
∴ 选项 D 错误,符合题意.
（第7题）
∵ O 为锐角三角形 ABC的外心,
∴ OA=OC=OB.
∵ 四边形 OCDE 为正方形,
∴ OA=OC＜OD.
∴ OA=OB=OC=OE≠OD. 由 OA=OE=OB,得点 O 是△AEB 的外心.
∴ 选项 A 正确,不符合题意. 由 OB=OE=OC,得点 O 是△BEC 的外心.
∴ 选项 B 正确,不符合题意. 由 OA=OC=OE,得点 O 是△AEC 的外心.
∴ 选项 C 正确,不符合题意.
∵ OB=OA≠OD,
∴ 点 O 不是△ABD 的外心.
∴ 选项 D 错误,符合题意.
（第7题）
解析
【分析】
我们首先明确外心的核心判定规则：如果一个点到三角形的三个顶点距离都相等，那么这个点就是该三角形的外心。已知O是△ABC的外心，可直接得到OA=OB=OC，再结合正方形OCDE边长相等的性质，能推出OC=OE，同时正方形的对角线OD长度大于边长OC，接下来逐个验证四个选项中O点是否满足到对应三角形三个顶点距离相等的条件，就能找出叙述不正确的选项。
【解析】
解：连接OA、OB、OE、OD，
1. 由点O为锐角△ABC的外心，根据外心的性质可得：$OA=OB=OC$。
2. 因为四边形OCDE是正方形，根据正方形的性质可得：$OC=OE$，且正方形的对角线$OD=\sqrt{2}OC$，即$OD＞OC$。
3. 逐个验证选项：
选项A：在△AEB中，$OA=OE=OB$，点O到A、E、B三点距离相等，因此点O是△AEB的外心，该叙述正确，不符合题意。
选项B：在△BEC中，$OB=OC=OE$，点O到B、E、C三点距离相等，因此点O是△BEC的外心，该叙述正确，不符合题意。
选项C：在△AEC中，$OA=OC=OE$，点O到A、E、C三点距离相等，因此点O是△AEC的外心，该叙述正确，不符合题意。
选项D：在△ABD中，$OA=OB$，但$OD=\sqrt{2}OC=\sqrt{2}OA$，即$OD≠OA$，点O到A、B、D三点距离不相等，因此点O不是△ABD的外心，该叙述错误，符合题意。
综上，不正确的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心性质，正方形的性质
【点评】
本题紧扣外心的定义进行考察，不需要复杂的几何推导，核心是抓住“外心到三角形三个顶点距离相等”这一核心判定条件，结合正方形边长、对角线的数量关系逐一验证即可，容易出错的地方是忽略正方形对角线长度大于边长，误判OD和OA的等量关系。
【难度系数】
0.5
我们首先明确外心的核心判定规则：如果一个点到三角形的三个顶点距离都相等，那么这个点就是该三角形的外心。已知O是△ABC的外心，可直接得到OA=OB=OC，再结合正方形OCDE边长相等的性质，能推出OC=OE，同时正方形的对角线OD长度大于边长OC，接下来逐个验证四个选项中O点是否满足到对应三角形三个顶点距离相等的条件，就能找出叙述不正确的选项。
【解析】
解：连接OA、OB、OE、OD，
1. 由点O为锐角△ABC的外心，根据外心的性质可得：$OA=OB=OC$。
2. 因为四边形OCDE是正方形，根据正方形的性质可得：$OC=OE$，且正方形的对角线$OD=\sqrt{2}OC$，即$OD＞OC$。
3. 逐个验证选项：
选项A：在△AEB中，$OA=OE=OB$，点O到A、E、B三点距离相等，因此点O是△AEB的外心，该叙述正确，不符合题意。
选项B：在△BEC中，$OB=OC=OE$，点O到B、E、C三点距离相等，因此点O是△BEC的外心，该叙述正确，不符合题意。
选项C：在△AEC中，$OA=OC=OE$，点O到A、E、C三点距离相等，因此点O是△AEC的外心，该叙述正确，不符合题意。
选项D：在△ABD中，$OA=OB$，但$OD=\sqrt{2}OC=\sqrt{2}OA$，即$OD≠OA$，点O到A、B、D三点距离不相等，因此点O不是△ABD的外心，该叙述错误，符合题意。
综上，不正确的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心性质，正方形的性质
【点评】
本题紧扣外心的定义进行考察，不需要复杂的几何推导，核心是抓住“外心到三角形三个顶点距离相等”这一核心判定条件，结合正方形边长、对角线的数量关系逐一验证即可，容易出错的地方是忽略正方形对角线长度大于边长，误判OD和OA的等量关系。
【难度系数】
0.5
