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13.某校为了美化校园,准备将教学楼前边长为$a\ \mathrm{m}$的正方形空地修建成喷泉荷花水池,在空地内四周均留宽$b\ \mathrm{m}$建围坝,中间建一个边长$b\ \mathrm{m}$的正方形台柱安装泉水喷头,其余部分种荷花.你能计算出种荷花的面积吗？
答案
13. 提示:荷花面积 $(a-2b)^2 - b^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 - b^2 = (a^2 - 4ab + 3b^2)\ (\mathrm{m}^2)$.
14.多项式$9(x-1)^2 - 2x -5$加上一个单项式后等于一个整式的平方，试求所有符合条件的单项式。
答案
14. 提示:$9(x-1)^2 - 2x - 5 = 9x^2 - 20x + 4$.
$(3x-2)^2 = 9x^2 - 20x + 4 + 8x$；
$(3x+2)^2 = 9x^2 - 20x + 4 + 32x$；
$(3x-\frac{10}{3})^2 = 9x^2 - 20x + 4 + \frac{64}{9}$；
$(5x-2)^2 = 9x^2 - 20x + 4 + 16x^2$ 等.
$(3x-2)^2 = 9x^2 - 20x + 4 + 8x$；
$(3x+2)^2 = 9x^2 - 20x + 4 + 32x$；
$(3x-\frac{10}{3})^2 = 9x^2 - 20x + 4 + \frac{64}{9}$；
$(5x-2)^2 = 9x^2 - 20x + 4 + 16x^2$ 等.
15.观察下列图形,解答后续问题:
图2-1-8 图2-1-9
（1）根据图2-1-8所示,请用两种不同的方法表示两个阴影图形的面积之和.
（2）如图2-1-9,两个正方形边长分别为$a$,$b$,若$a+b=8$,$ab=12$,求图中阴影部分的面积.
图2-1-8 图2-1-9
（1）根据图2-1-8所示,请用两种不同的方法表示两个阴影图形的面积之和.
（2）如图2-1-9,两个正方形边长分别为$a$,$b$,若$a+b=8$,$ab=12$,求图中阴影部分的面积.
答案
解：
（1）表示两个阴影图形的面积之和
方法1：直接将两个阴影正方形的面积相加，可得面积和为 $\boldsymbol{a^2 + b^2}$；
方法2：整体大正方形的边长为 $a+b$，面积为 $(a+b)^2$，减去两个空白长方形的面积（每个空白长方形面积为 $ab$），可得面积和为：
$(a+b)^2 - 2ab$
（2）求图2-1-9中阴影部分的面积
阴影部分面积等于两个正方形的总面积减去两个空白三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a·\frac{a+b}{2} - \frac{1}{2}b·\frac{a+b}{2}\\&=a^2 + b^2 - \frac{1}{4}(a+b)^2\end{aligned}$
由完全平方公式变形可知 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知条件 $a+b=8$，$ab=12$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(a+b)^2-2ab - \frac{1}{4}(a+b)^2\\&=\frac{3}{4}(a+b)^2 - 2ab\\&=\frac{3}{4}×8^2 - 2×12\\&=\frac{3}{4}×64 - 24\\&=48-24\\&=24\end{aligned}$
综上，（1）两个阴影面积之和可表示为 $a^2+b^2$ 和 $(a+b)^2-2ab$；（2）阴影部分面积为 $\boldsymbol{24}$。
（1）表示两个阴影图形的面积之和
方法1：直接将两个阴影正方形的面积相加，可得面积和为 $\boldsymbol{a^2 + b^2}$；
方法2：整体大正方形的边长为 $a+b$，面积为 $(a+b)^2$，减去两个空白长方形的面积（每个空白长方形面积为 $ab$），可得面积和为：
$(a+b)^2 - 2ab$
（2）求图2-1-9中阴影部分的面积
阴影部分面积等于两个正方形的总面积减去两个空白三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a·\frac{a+b}{2} - \frac{1}{2}b·\frac{a+b}{2}\\&=a^2 + b^2 - \frac{1}{4}(a+b)^2\end{aligned}$
由完全平方公式变形可知 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知条件 $a+b=8$，$ab=12$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(a+b)^2-2ab - \frac{1}{4}(a+b)^2\\&=\frac{3}{4}(a+b)^2 - 2ab\\&=\frac{3}{4}×8^2 - 2×12\\&=\frac{3}{4}×64 - 24\\&=48-24\\&=24\end{aligned}$
综上，（1）两个阴影面积之和可表示为 $a^2+b^2$ 和 $(a+b)^2-2ab$；（2）阴影部分面积为 $\boldsymbol{24}$。
16.观察下列算式：
$3^2 - 1^2 = 8 = 8 × 1$,
$5^2 - 3^2 = 16 = 8 × 2$,
$7^2 - 5^2 = 24 = 8 × 3$,
……
（1）把你发现的规律用含$n$（$n$为正整数）的式子表示：______.
（2）根据你发现的规律计算$221^2 - 219^2$，并指出相应的$n$的值.
$3^2 - 1^2 = 8 = 8 × 1$,
$5^2 - 3^2 = 16 = 8 × 2$,
$7^2 - 5^2 = 24 = 8 × 3$,
……
（1）把你发现的规律用含$n$（$n$为正整数）的式子表示：______.
（2）根据你发现的规律计算$221^2 - 219^2$，并指出相应的$n$的值.
答案
16. (1) $(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$. (2) 880，110.
17.观察下面各式：
$1^2 + (1 × 2)^2 + 2^2 = (1 × 2 + 1)^2$，
$2^2 + (2 × 3)^2 + 3^2 = (2 × 3 + 1)^2$，
$3^2 + (3 × 4)^2 + 4^2 = (3 × 4 + 1)^2$，
……
（1）根据你发现的规律直接写出第221个式子：
（2）写出第$n$个式子，并说明你的结论是正确的.
$1^2 + (1 × 2)^2 + 2^2 = (1 × 2 + 1)^2$，
$2^2 + (2 × 3)^2 + 3^2 = (2 × 3 + 1)^2$，
$3^2 + (3 × 4)^2 + 4^2 = (3 × 4 + 1)^2$，
……
（1）根据你发现的规律直接写出第221个式子：
$221^2 + (221×222)^2 + 222^2 = (221×222 + 1)^2$
.（2）写出第$n$个式子，并说明你的结论是正确的.
答案
17. (1) $221^2 + (221×222)^2 + 222^2 = (221×222 + 1)^2$.
(2) $n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1) + 1]^2$. 理由如下：
左边 $= n^2(n+1)^2 + 2n^2 + 2n + 1$,
右边 $= n^2(n+1)^2 + 2n(n+1) + 1$
$= n^2(n+1)^2 + 2n^2 + 2n + 1$.
$\therefore$ 左边 = 右边，即等式成立.
(2) $n^2 + [n(n+1)]^2 + (n+1)^2 = [n(n+1) + 1]^2$. 理由如下：
左边 $= n^2(n+1)^2 + 2n^2 + 2n + 1$,
右边 $= n^2(n+1)^2 + 2n(n+1) + 1$
$= n^2(n+1)^2 + 2n^2 + 2n + 1$.
$\therefore$ 左边 = 右边，即等式成立.
