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5.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如$4=2^2 - 0^2$，$12=4^2 - 2^2$，$20=6^2 - 4^2$，因此4，12，20这三个数都是神秘数.
（1）根据你从以上各式中发现的规律判断28和2012是不是神秘数，并说明理由.
（2）设两个连续偶数为$2k$和$2k+2$（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数有什么特点？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
（1）根据你从以上各式中发现的规律判断28和2012是不是神秘数，并说明理由.
（2）设两个连续偶数为$2k$和$2k+2$（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数有什么特点？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
答案
5. 提示:(1) $28 = 4 × 7 = 4 × (4 + 3) × (4 - 3) = (2 × 4)^2 - (2 × 3)^2 = 8^2 - 6^2$,
$2012 = 4 × 503 = 4 × (252 + 251) × (252 - 251) = (2 × 252)^2 - (2 × 251)^2 = 504^2 - 502^2$,
说明28和2012符合神秘数条件,是神秘数.
(2) 依题意,得$(2k+2)^2 - (2k)^2 = 4(2k+1)$,神秘数的特点是4与一个奇数的积.
(3) 设k是正整数,于是$(2k+1)^2 - (2k-1)^2 = 4(2k)$,是4与一个偶数的积,与(2)中结论作比较,显然不能用两个连续偶数的平方差表示,不符合神秘数的条件,不是神秘数.
$2012 = 4 × 503 = 4 × (252 + 251) × (252 - 251) = (2 × 252)^2 - (2 × 251)^2 = 504^2 - 502^2$,
说明28和2012符合神秘数条件,是神秘数.
(2) 依题意,得$(2k+2)^2 - (2k)^2 = 4(2k+1)$,神秘数的特点是4与一个奇数的积.
(3) 设k是正整数,于是$(2k+1)^2 - (2k-1)^2 = 4(2k)$,是4与一个偶数的积,与(2)中结论作比较,显然不能用两个连续偶数的平方差表示,不符合神秘数的条件,不是神秘数.
6. 设 $ a_1 = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} $，
$ a_2 = \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} $，$ a_3 = \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} $，
……
（1）观察式子，根据你自己发现的规律写出第$ n $个式子$ a_n $的表达式：
（2）求出$ a_1,a_2,a_3 $的值，猜想$ a_n $的结果.
（3）设$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n $，求$ S_2 $，$ S_3 $的值，猜想$ S_n $（用含$ n $的表达式表示）.
$ a_2 = \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} $，$ a_3 = \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} $，
……
（1）观察式子，根据你自己发现的规律写出第$ n $个式子$ a_n $的表达式：
$a_n = \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}}$
.（2）求出$ a_1,a_2,a_3 $的值，猜想$ a_n $的结果.
（3）设$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n $，求$ S_2 $，$ S_3 $的值，猜想$ S_n $（用含$ n $的表达式表示）.
答案
6.(1)$a_n = \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}}$.
(2)$a_1 = 1\frac{1}{2}, a_2 = 1\frac{1}{6}, a_3 = 1\frac{1}{12}$,
$a_n = 1 + \frac{1}{n(n+1)}$.
(3)$S_2 = a_1 + a_2 = 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{6} = 2\frac{2}{3}$,
$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{6} + 1\frac{1}{12} = 3\frac{3}{4}$,
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = n + \frac{n}{n+1}$.
(2)$a_1 = 1\frac{1}{2}, a_2 = 1\frac{1}{6}, a_3 = 1\frac{1}{12}$,
$a_n = 1 + \frac{1}{n(n+1)}$.
(3)$S_2 = a_1 + a_2 = 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{6} = 2\frac{2}{3}$,
$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{6} + 1\frac{1}{12} = 3\frac{3}{4}$,
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = n + \frac{n}{n+1}$.
7.(1) 利用乘法公式化简：
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})···(1-\frac{1}{10^2}).$
(2) 根据(1)中的化简过程和结果，猜想下式的化简结果，并仿照(1)中方法验证.
$(1-\frac{1}{n^2})$
$[1-\frac{1}{(n+2)^2}]···[1-\frac{1}{(n+k)^2}]（k$和n都是正整数）.
$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})···(1-\frac{1}{10^2}).$
(2) 根据(1)中的化简过程和结果，猜想下式的化简结果，并仿照(1)中方法验证.
$(1-\frac{1}{n^2})$
$[1-\frac{1}{(n+2)^2}]···[1-\frac{1}{(n+k)^2}]（k$和n都是正整数）.答案
7. 提示:利用公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$化简.
(1) 原式$= (1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})\dots(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10})$
$= \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × \dots × \frac{9}{10} × \frac{11}{10}$
$= \frac{1}{2} × \frac{11}{10} = \frac{11}{20}$.
(2) $\frac{(n-1)(n+k+1)}{n(n+k)}$. 仿照(1)中方法可得
原式$= \frac{n-1}{n} × \frac{n+1}{n} × \frac{n}{n+1} × \frac{n+2}{n+1} × \dots × \frac{n+k-1}{n+k} × \frac{n+k+1}{n+k}$
$= \frac{(n-1)(n+k+1)}{n(n+k)}$.
(1) 原式$= (1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})\dots(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10})$
$= \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × \dots × \frac{9}{10} × \frac{11}{10}$
$= \frac{1}{2} × \frac{11}{10} = \frac{11}{20}$.
(2) $\frac{(n-1)(n+k+1)}{n(n+k)}$. 仿照(1)中方法可得
原式$= \frac{n-1}{n} × \frac{n+1}{n} × \frac{n}{n+1} × \frac{n+2}{n+1} × \dots × \frac{n+k-1}{n+k} × \frac{n+k+1}{n+k}$
$= \frac{(n-1)(n+k+1)}{n(n+k)}$.
