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5. 已知正比例函数 $ y_1 = k_1 x (k_1 ≠ 0) $ 和 $ y_2 = k_2 x (k_2 ≠ 0) $. 当 $ x = 3 $ 时，$ y_1 + y_2 = 12 $; 当 $ x = -2 $ 时，$ y_1 - y_2 = -10 $.
(1) 求 $ k_1, k_2 $ 的值;
(2) 在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象;
(3) 根据图象，直接写出当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围.
(1) 求 $ k_1, k_2 $ 的值;
(2) 在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象;
(3) 根据图象，直接写出当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围.
答案
解：
(1) 把$x=3$代入$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$，得$y_1=3k_1$，$y_2=3k_2$。
由$y_1+y_2=12$，得$3k_1+3k_2=12$，化简得：
$k_1 + k_2 = 4 \quad \mathrm{①}$
把$x=-2$代入$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$，得$y_1=-2k_1$，$y_2=-2k_2$。
由$y_1-y_2=-10$，得$-2k_1 - (-2k_2) = -10$，化简得：
$k_1 - k_2 = 5 \quad \mathrm{②}$
联立①②，得方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4 \\k_1 - k_2 = 5\end{cases}$
①+②，得$2k_1=9$，解得$k_1=\frac{9}{2}$。
将$k_1=\frac{9}{2}$代入①，得$\frac{9}{2}+k_2=4$，解得$k_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)得两个函数解析式为$y_1=\frac{9}{2}x$，$y_2=-\frac{1}{2}x$：
画$y_1=\frac{9}{2}x$的图象：取点$(0,0)$和$(2,9)$，过两点作直线；
画$y_2=-\frac{1}{2}x$的图象：取点$(0,0)$和$(2,-1)$，过两点作直线；
两条直线即为所求的两个函数的图象。
(3) 两个函数图象交于原点$(0,0)$，由图象可得：当$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是$x＜0$。
(1) 把$x=3$代入$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$，得$y_1=3k_1$，$y_2=3k_2$。
由$y_1+y_2=12$，得$3k_1+3k_2=12$，化简得：
$k_1 + k_2 = 4 \quad \mathrm{①}$
把$x=-2$代入$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$，得$y_1=-2k_1$，$y_2=-2k_2$。
由$y_1-y_2=-10$，得$-2k_1 - (-2k_2) = -10$，化简得：
$k_1 - k_2 = 5 \quad \mathrm{②}$
联立①②，得方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4 \\k_1 - k_2 = 5\end{cases}$
①+②，得$2k_1=9$，解得$k_1=\frac{9}{2}$。
将$k_1=\frac{9}{2}$代入①，得$\frac{9}{2}+k_2=4$，解得$k_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)得两个函数解析式为$y_1=\frac{9}{2}x$，$y_2=-\frac{1}{2}x$：
画$y_1=\frac{9}{2}x$的图象：取点$(0,0)$和$(2,9)$，过两点作直线；
画$y_2=-\frac{1}{2}x$的图象：取点$(0,0)$和$(2,-1)$，过两点作直线；
两条直线即为所求的两个函数的图象。
(3) 两个函数图象交于原点$(0,0)$，由图象可得：当$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是$x＜0$。
解析
【分析】
本题可分三步思考：
1. 求解$k_1$、$k_2$：题目给出两个不同$x$值对应的$y_1$与$y_2$的和、差关系，将$x$代入两个正比例函数解析式，即可得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组，解方程组即可求出两个系数的值；
2. 画函数图像：正比例函数的图像是过原点的直线，因此只需再选取一个便于计算的非零点，两点连线即可画出对应函数的图像；
3. 求$y_1＜y_2$时$x$的范围：$y_1＜y_2$对应图像中$y_1$的直线位于$y_2$直线下方的部分，找到两直线交点，观察交点两侧的图像位置即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 把$x=3$代入$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$，得$y_1=3k_1$，$y_2=3k_2$。
由$y_1+y_2=12$，得$3k_1+3k_2=12$，化简得：
$k_1 + k_2 = 4 \quad \mathrm{①}$
把$x=-2$代入$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$，得$y_1=-2k_1$，$y_2=-2k_2$。
由$y_1-y_2=-10$，得$-2k_1 - (-2k_2) = -10$，化简得：
$k_1 - k_2 = 5 \quad \mathrm{②}$
联立①②，得方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4 \\k_1 - k_2 = 5\end{cases}$
①+②，得$2k_1=9$，解得$k_1=\frac{9}{2}$。
将$k_1=\frac{9}{2}$代入①，得$\frac{9}{2}+k_2=4$，解得$k_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)得两个函数解析式为$y_1=\frac{9}{2}x$，$y_2=-\frac{1}{2}x$：
画$y_1=\frac{9}{2}x$的图象：取点$(0,0)$和$(2,9)$，过两点作直线；
画$y_2=-\frac{1}{2}x$的图象：取点$(0,0)$和$(2,-1)$，过两点作直线；
两条直线即为所求的两个函数的图象。
(3) 两个函数图象交于原点$(0,0)$，由图象可得：当$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是$x＜0$。
【答案】
(1) $k_1=\frac{9}{2}$，$k_2=-\frac{1}{2}$；
(2) 过点$(0,0)$和$(2,9)$画直线得$y_1=\frac{9}{2}x$的图象，过点$(0,0)$和$(2,-1)$画直线得$y_2=-\frac{1}{2}x$的图象；
(3) $x＜0$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二元一次方程组求解
3. 正比例函数图像性质
【点评】
本题是正比例函数的基础综合题，侧重考察基础知识的应用和数形结合思想，熟练掌握待定系数法、正比例函数图像特征即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题可分三步思考：
1. 求解$k_1$、$k_2$：题目给出两个不同$x$值对应的$y_1$与$y_2$的和、差关系，将$x$代入两个正比例函数解析式，即可得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组，解方程组即可求出两个系数的值；
2. 画函数图像：正比例函数的图像是过原点的直线，因此只需再选取一个便于计算的非零点，两点连线即可画出对应函数的图像；
3. 求$y_1＜y_2$时$x$的范围：$y_1＜y_2$对应图像中$y_1$的直线位于$y_2$直线下方的部分，找到两直线交点，观察交点两侧的图像位置即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 把$x=3$代入$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$，得$y_1=3k_1$，$y_2=3k_2$。
由$y_1+y_2=12$，得$3k_1+3k_2=12$，化简得：
$k_1 + k_2 = 4 \quad \mathrm{①}$
把$x=-2$代入$y_1=k_1x$、$y_2=k_2x$，得$y_1=-2k_1$，$y_2=-2k_2$。
由$y_1-y_2=-10$，得$-2k_1 - (-2k_2) = -10$，化简得：
$k_1 - k_2 = 5 \quad \mathrm{②}$
联立①②，得方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4 \\k_1 - k_2 = 5\end{cases}$
①+②，得$2k_1=9$，解得$k_1=\frac{9}{2}$。
将$k_1=\frac{9}{2}$代入①，得$\frac{9}{2}+k_2=4$，解得$k_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)得两个函数解析式为$y_1=\frac{9}{2}x$，$y_2=-\frac{1}{2}x$：
画$y_1=\frac{9}{2}x$的图象：取点$(0,0)$和$(2,9)$，过两点作直线；
画$y_2=-\frac{1}{2}x$的图象：取点$(0,0)$和$(2,-1)$，过两点作直线；
两条直线即为所求的两个函数的图象。
(3) 两个函数图象交于原点$(0,0)$，由图象可得：当$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是$x＜0$。
【答案】
(1) $k_1=\frac{9}{2}$，$k_2=-\frac{1}{2}$；
(2) 过点$(0,0)$和$(2,9)$画直线得$y_1=\frac{9}{2}x$的图象，过点$(0,0)$和$(2,-1)$画直线得$y_2=-\frac{1}{2}x$的图象；
(3) $x＜0$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二元一次方程组求解
3. 正比例函数图像性质
【点评】
本题是正比例函数的基础综合题，侧重考察基础知识的应用和数形结合思想，熟练掌握待定系数法、正比例函数图像特征即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 已知正比例函数 $y=kx(k≠0)$ 的图象如图所示,在同一平面直角系中画出 $y=2kx,y=-kx$ 的图象.
答案
解：
由正比例函数$y=kx$的图象经过第一、三象限，可得$k＞0$。
正比例函数的图象是过原点的直线，使用两点法作图：
1. 作$y=2kx$的图象：
该函数过原点$O(0,0)$，取$x=1$，得$y=2k$，得到点$(1,2k)$。该直线经过第一、三象限，倾斜程度比$y=kx$更陡，连接原点与点$(1,2k)$，即可得到$y=2kx$的图象。
2. 作$y=-kx$的图象：
该函数过原点$O(0,0)$，取$x=1$，得$y=-k$，得到点$(1,-k)$。该直线经过第二、四象限，倾斜程度与$y=kx$相同，与$y=kx$关于$x$轴对称，连接原点与点$(1,-k)$，即可得到$y=-kx$的图象。
由正比例函数$y=kx$的图象经过第一、三象限，可得$k＞0$。
正比例函数的图象是过原点的直线，使用两点法作图：
1. 作$y=2kx$的图象：
该函数过原点$O(0,0)$，取$x=1$，得$y=2k$，得到点$(1,2k)$。该直线经过第一、三象限，倾斜程度比$y=kx$更陡，连接原点与点$(1,2k)$，即可得到$y=2kx$的图象。
2. 作$y=-kx$的图象：
该函数过原点$O(0,0)$，取$x=1$，得$y=-k$，得到点$(1,-k)$。该直线经过第二、四象限，倾斜程度与$y=kx$相同，与$y=kx$关于$x$轴对称，连接原点与点$(1,-k)$，即可得到$y=-kx$的图象。
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的核心性质：正比例函数$y=mx(m≠0)$的图象是过原点的直线，$m$的符号决定直线经过的象限，$|m|$决定直线的倾斜程度。第一步先根据已知$y=kx$过第一、三象限，判断出$k＞0$，由此推导$2k＞0$、$-k＜0$，确定两个待画函数图象经过的象限；第二步用正比例函数通用的两点法作图，因为所有正比例函数都过原点，所以只需再取$x=1$算出对应$y$值得到第二个点，连接两点即可画出图象，同时可根据$|m|$的大小验证倾斜程度是否正确。
【解析】
解：由正比例函数$y=kx$的图象经过第一、三象限，可得$k＞0$。
正比例函数的图象是过原点的直线，使用两点法作图：
1. 作$y=2kx$的图象：
该函数过原点$O(0,0)$，取$x=1$，得$y=2k$，得到点$(1,2k)$。该直线经过第一、三象限，倾斜程度比$y=kx$更陡，连接原点与点$(1,2k)$，即可得到$y=2kx$的图象。
2. 作$y=-kx$的图象：
该函数过原点$O(0,0)$，取$x=1$，得$y=-k$，得到点$(1,-k)$。该直线经过第二、四象限，倾斜程度与$y=kx$相同，与$y=kx$关于$x$轴对称，连接原点与点$(1,-k)$，即可得到$y=-kx$的图象。
【答案】
按照上述步骤可画出$y=2kx$（过一、三象限，比$y=kx$更陡的过原点直线）和$y=-kx$（过二、四象限，与$y=kx$关于$x$轴对称的过原点直线）的图象，作图步骤参考上述解析。
【知识点】
正比例函数图象性质、两点法作图、正比例函数系数的意义
【点评】
本题属于正比例函数图象的基础应用类题目，主要考查学生对正比例函数系数与图象特征对应关系的掌握，以及两点法画正比例函数图象的熟练度，能帮助学生巩固函数图象与系数关联的核心规律。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正比例函数的核心性质：正比例函数$y=mx(m≠0)$的图象是过原点的直线，$m$的符号决定直线经过的象限，$|m|$决定直线的倾斜程度。第一步先根据已知$y=kx$过第一、三象限，判断出$k＞0$，由此推导$2k＞0$、$-k＜0$，确定两个待画函数图象经过的象限；第二步用正比例函数通用的两点法作图，因为所有正比例函数都过原点，所以只需再取$x=1$算出对应$y$值得到第二个点，连接两点即可画出图象，同时可根据$|m|$的大小验证倾斜程度是否正确。
【解析】
解：由正比例函数$y=kx$的图象经过第一、三象限，可得$k＞0$。
正比例函数的图象是过原点的直线，使用两点法作图：
1. 作$y=2kx$的图象：
该函数过原点$O(0,0)$，取$x=1$，得$y=2k$，得到点$(1,2k)$。该直线经过第一、三象限，倾斜程度比$y=kx$更陡，连接原点与点$(1,2k)$，即可得到$y=2kx$的图象。
2. 作$y=-kx$的图象：
该函数过原点$O(0,0)$，取$x=1$，得$y=-k$，得到点$(1,-k)$。该直线经过第二、四象限，倾斜程度与$y=kx$相同，与$y=kx$关于$x$轴对称，连接原点与点$(1,-k)$，即可得到$y=-kx$的图象。
【答案】
按照上述步骤可画出$y=2kx$（过一、三象限，比$y=kx$更陡的过原点直线）和$y=-kx$（过二、四象限，与$y=kx$关于$x$轴对称的过原点直线）的图象，作图步骤参考上述解析。
【知识点】
正比例函数图象性质、两点法作图、正比例函数系数的意义
【点评】
本题属于正比例函数图象的基础应用类题目，主要考查学生对正比例函数系数与图象特征对应关系的掌握，以及两点法画正比例函数图象的熟练度，能帮助学生巩固函数图象与系数关联的核心规律。
【难度系数】
0.8
