26.「2025四川凉山州中考改编，★★☆」(12分)如图,二次函数$y=ax^2+bx-3$的图象经过$A(-3,0),B(1,0)$,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P在直线AC下方的抛物线上运动,求点P到直线AC的最大距离.
(3)动点Q在抛物线的对称轴上,作射线QA,射线QA绕点Q逆时针旋转$90°$与抛物线交于点D,是否存在点Q使$AQ=QD$?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

26.解析 (1)$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx-3$的图象经过$A(-3,0)$,$B(1,0)$,$\therefore \begin{cases}9a-3b-3=0,\\a+b-3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$. ……………… (3分)
(2)设直线$AC$的解析式为$y=kx+b_1(k≠0)$,
$\because A(-3,0)$,$C(0,-3)$,$\therefore \begin{cases}-3k+b_1=0,\\b_1=-3,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=-1,\\b_1=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=-x-3$.
如图,过点$P$作$PE// y$轴交$AC$于点$E$,连接$AP$,$CP$,
设$P(p,p^2+2p-3)(-3＜p＜0)$,
则$E(p,-p-3)$,
$\therefore PE=-p-3-(p^2+2p-3)=-p^2-3p=-(p+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$.……………… (4分)
$\because S_{△ ACP}=S_{△ APE}+S_{△ CPE}$,
$\therefore S_{△ ACP}=\dfrac{1}{2}PE·(x_E-x_A)+\dfrac{1}{2}PE·(x_C-x_E)$
$=\dfrac{1}{2}PE·(x_C-x_A)$
$=\dfrac{1}{2}PE·[0-(-3)]=\dfrac{3}{2}PE$, ……………… (6分)
$\therefore$ 当$PE$有最大值时,$S_{△ ACP}$有最大值.
$\because PE=-(p+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$,$-1＜0$,$-3＜p＜0$,
$\therefore$ 当$p+\dfrac{3}{2}=0$,即$p=-\dfrac{3}{2}$时,$PE$取最大值,最大值为$\dfrac{9}{4}$,
$\therefore S_{△ ACP}$的最大值为$\dfrac{3}{2}×\dfrac{9}{4}=\dfrac{27}{8}$.
$\because A(-3,0)$,$C(0,-3)$,
$\therefore OA=OC=3$,$∠ AOC=90°$,
$\therefore AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=3\sqrt{2}$.
设点$P$到直线$AC$的距离为$h$,
$\therefore S_{△ ACP}=\dfrac{1}{2}AC· h=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}h$,$\therefore h=\dfrac{\sqrt{2}}{3}S_{△ ACP}$,
$\therefore$ 当$S_{△ ACP}$有最大值时,$h$有最大值,
$\therefore h$的最大值为$\dfrac{\sqrt{2}}{3}×\dfrac{27}{8}=\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$,
$\therefore$ 点$P$到直线$AC$的最大距离为$\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$. ……………… (8分)
(3)存在,点$Q$的坐标为$(-1,-1)$或$(-1,2)$.…… (12分)
提示:①如图,当点$Q$在$x$轴下方时,设抛物线对称轴交$x$轴于点$H$,过点$D$作$DG ⊥$直线$QH$于点$G$,由题意得,$∠ AHQ=∠ AQD=∠ DGQ=90°$,$QA=QD$,易证$△ HAQ≌△ GQD$.
$\because$ 抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$,$\therefore H(-1,0)$,
$\therefore OH=1$.$\because A(-3,0)$,$\therefore AH=2$.
设点$Q$的坐标为$(-1,q)$,则$QH=-q$,
$\therefore DG=QH=-q$,$QG=AH=2$,
$\therefore HG=QH+QG=2-q$,
结合图形可知点$D$的横坐标为$-1-(-q)=-1+q$,纵坐标为$-(2-q)=q-2$,即$D(-1+q,q-2)$,
$\because$ 点$D$在抛物线上,$\therefore (-1+q)^2+2(-1+q)-3=q-2$,
$\therefore q^2-2q+1-2+2q-3=q-2$,$\therefore q^2-q-2=0$,
解得$q=-1$或$q=2$(舍去),$\therefore$ 此时点$Q$的坐标为$(-1,-1)$.
②如图,当点$Q$在$x$轴上方时,过点$Q$作直线$l// x$轴,分别过点$A$,$D$作直线$l$的垂线,垂足分别为$R$,$S$,易证$△ RAQ≌△ SQD$,
设点$Q(-1,q)$,$\therefore QS=AR=q$,$DS=QR=-1-(-3)=2$,
$\therefore$ 点$D$的横坐标为$-1+q$,纵坐标为$q-2$,
即$D(-1+q,q-2)$,
$\because$ 点$D$在抛物线上,$\therefore (-1+q)^2+2(-1+q)-3=q-2$,
$\therefore q^2-2q+1-2+2q-3=q-2$,
$\therefore q^2-q-2=0$,解得$q=2$或$q=-1$(舍去),
$\therefore$ 此时点$Q$的坐标为$(-1,2)$.
综上所述,存在点$Q$使$AQ=QD$,此时点$Q$的坐标为$(-1,-1)$或$(-1,2)$.