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1. 如图，是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径的三段圆弧。若该等边三角形的边长为10 cm，则这个“莱洛三角形”的周长是（）
A.$\frac{10}{3}π$ cm
B.$5π$ cm
C.$10π$ cm
D.$50π$ cm
A.$\frac{10}{3}π$ cm
B.$5π$ cm
C.$10π$ cm
D.$50π$ cm
答案
C
解析
【分析】
要计算莱洛三角形的周长，首先观察它的结构：它由3段长度相等的圆弧组成。解题时第一步先确定每段圆弧的圆心角和半径：因为圆弧是以等边三角形的顶点为圆心、边长为半径画的，等边三角形内角为60°，所以每段弧的圆心角是60°，半径等于等边三角形的边长10cm；第二步回忆弧长公式，计算出单段弧的长度；第三步将单段弧长乘3，即可得到莱洛三角形的总周长。
【解析】
已知等边三角形的边长为10cm，等边三角形的每个内角为60°，因此每段圆弧的圆心角$n=60°$，半径$r=10\mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段圆弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×10}{180}=\frac{10π}{3}\ \mathrm{cm}$
莱洛三角形由3段等长的圆弧组成，因此它的周长为：
$L=3× l_1=3×\frac{10π}{3}=10π\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的发动机转子结构考查几何计算，解题的核心是理清特殊图形的构成，准确找到弧长计算所需的圆心角和半径，掌握基础公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要计算莱洛三角形的周长，首先观察它的结构：它由3段长度相等的圆弧组成。解题时第一步先确定每段圆弧的圆心角和半径：因为圆弧是以等边三角形的顶点为圆心、边长为半径画的，等边三角形内角为60°，所以每段弧的圆心角是60°，半径等于等边三角形的边长10cm；第二步回忆弧长公式，计算出单段弧的长度；第三步将单段弧长乘3，即可得到莱洛三角形的总周长。
【解析】
已知等边三角形的边长为10cm，等边三角形的每个内角为60°，因此每段圆弧的圆心角$n=60°$，半径$r=10\mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段圆弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×10}{180}=\frac{10π}{3}\ \mathrm{cm}$
莱洛三角形由3段等长的圆弧组成，因此它的周长为：
$L=3× l_1=3×\frac{10π}{3}=10π\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的发动机转子结构考查几何计算，解题的核心是理清特殊图形的构成，准确找到弧长计算所需的圆心角和半径，掌握基础公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，用一个半径为9 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了$120°$，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
A.$3π$ cm
B.$6π$ cm
C.$27π$ cm
D.$54π$ cm
A.$3π$ cm
B.$6π$ cm
C.$27π$ cm
D.$54π$ cm
答案
B
解析
【分析】
因为绳索与滑轮之间无滑动，所以重物上升的距离等于滑轮旋转对应圆心角所对的弧长，因此本题可转化为求半径为9cm、圆心角为120°的弧长，代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $，其中$ n $为圆心角度数，$ r $为圆的半径。
由题可知，$ n=120° $，$ r=9\mathrm{cm} $，代入公式得：
$ l=\frac{120×π×9}{180}=6π\mathrm{cm} $
即重物上升的距离为$ 6π\mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，定滑轮特性
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，解题核心是将重物上升的距离转化为对应圆弧的弧长，只要熟练掌握弧长公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
因为绳索与滑轮之间无滑动，所以重物上升的距离等于滑轮旋转对应圆心角所对的弧长，因此本题可转化为求半径为9cm、圆心角为120°的弧长，代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $，其中$ n $为圆心角度数，$ r $为圆的半径。
由题可知，$ n=120° $，$ r=9\mathrm{cm} $，代入公式得：
$ l=\frac{120×π×9}{180}=6π\mathrm{cm} $
即重物上升的距离为$ 6π\mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，定滑轮特性
【点评】
本题是跨学科的基础应用题，解题核心是将重物上升的距离转化为对应圆弧的弧长，只要熟练掌握弧长公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.在$\odot O$中,如果$75°$的圆心角所对的弧长是$2.5π \ \mathrm{cm}$,那么$\odot O$的半径是（）
A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$
A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆弧长计算公式，题目已知圆心角的度数和对应弧长，要求圆的半径，我们可以先写出弧长公式，再将已知量代入公式，通过变形求解关于半径r的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为：$ l = \frac{nπ r}{180} $，其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数，$ r $为圆的半径。
已知$ n=75° $，$ l=2.5π\ \mathrm{cm} $，代入公式得：
$ 2.5π = \frac{75π r}{180} $
两边同时约去$ π $，可得：
$ 2.5 = \frac{75r}{180} $
交叉相乘计算得：
$ 75r = 2.5×180 = 450 $
解得$ r = 450÷75 = 6\ \mathrm{cm} $
【答案】
A
【知识点】
弧长计算公式、一元一次方程求解
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查对弧长公式的记忆和运用，代入数值计算时注意先约分化简，可降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆弧长计算公式，题目已知圆心角的度数和对应弧长，要求圆的半径，我们可以先写出弧长公式，再将已知量代入公式，通过变形求解关于半径r的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
弧长计算公式为：$ l = \frac{nπ r}{180} $，其中$ l $为弧长，$ n $为圆心角度数，$ r $为圆的半径。
已知$ n=75° $，$ l=2.5π\ \mathrm{cm} $，代入公式得：
$ 2.5π = \frac{75π r}{180} $
两边同时约去$ π $，可得：
$ 2.5 = \frac{75r}{180} $
交叉相乘计算得：
$ 75r = 2.5×180 = 450 $
解得$ r = 450÷75 = 6\ \mathrm{cm} $
【答案】
A
【知识点】
弧长计算公式、一元一次方程求解
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查对弧长公式的记忆和运用，代入数值计算时注意先约分化简，可降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
4.在半径为12 cm的圆中，长为4π cm的弧所对的圆心角的度数为 （）
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
B
解析
【分析】
本题要求弧所对的圆心角度数，解题核心是运用弧长公式建立方程求解。首先回忆弧长公式：在半径为$r$的圆中，$n°$圆心角所对的弧长为$l=\frac{nπ r}{180}$，题目已经给出弧长$l$和半径$r$，只需把已知量代入公式，解关于$n$的一元一次方程即可得到圆心角的度数。
【解析】
设该弧所对的圆心角为$n°$，已知圆的半径$r=12\mathrm{cm}$，弧长$l=4π\mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入已知数值得：
$4π=\frac{nπ×12}{180}$
两边同时约去$π$，得：
$4=\frac{12n}{180}$
化简后得$4=\frac{n}{15}$，解得$n=4×15=60$，即圆心角的度数为$60°$。
【答案】
B
【知识点】
弧长公式、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的灵活运用，解题关键是牢记弧长公式中各个量的含义，代入数值计算时注意不要混淆半径、弧长的对应关系，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题要求弧所对的圆心角度数，解题核心是运用弧长公式建立方程求解。首先回忆弧长公式：在半径为$r$的圆中，$n°$圆心角所对的弧长为$l=\frac{nπ r}{180}$，题目已经给出弧长$l$和半径$r$，只需把已知量代入公式，解关于$n$的一元一次方程即可得到圆心角的度数。
【解析】
设该弧所对的圆心角为$n°$，已知圆的半径$r=12\mathrm{cm}$，弧长$l=4π\mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入已知数值得：
$4π=\frac{nπ×12}{180}$
两边同时约去$π$，得：
$4=\frac{12n}{180}$
化简后得$4=\frac{n}{15}$，解得$n=4×15=60$，即圆心角的度数为$60°$。
【答案】
B
【知识点】
弧长公式、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长公式的灵活运用，解题关键是牢记弧长公式中各个量的含义，代入数值计算时注意不要混淆半径、弧长的对应关系，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC=2$.以$A$为圆心,$AC$长为半径画圆,交$AB$于点$D$,则阴影部分的面积是()
A.$2π$
B.$π$
C.$\frac{π}{2}$
D.$\frac{π}{4}$
A.$2π$
B.$π$
C.$\frac{π}{2}$
D.$\frac{π}{4}$
答案
C
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分是圆心为A的扇形ACD。解题步骤如下：第一步先确定扇形的圆心角∠A的度数，已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC，可得△ABC是等腰直角三角形，即可求出∠A=45°；第二步确定扇形的半径，由题可知扇形半径等于AC的长度，即r=2；第三步代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=45°，
∵扇形ACD的半径r=AC=2，圆心角n=∠A=45°，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数据得：
$S_{阴影}=\frac{45×π×2^2}{360}=\frac{45×4π}{360}=\frac{π}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1.等腰直角三角形的性质
2.扇形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是判断出阴影部分为扇形，准确求出扇形的圆心角度数和半径，再代入扇形面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影部分是圆心为A的扇形ACD。解题步骤如下：第一步先确定扇形的圆心角∠A的度数，已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC，可得△ABC是等腰直角三角形，即可求出∠A=45°；第二步确定扇形的半径，由题可知扇形半径等于AC的长度，即r=2；第三步代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=45°，
∵扇形ACD的半径r=AC=2，圆心角n=∠A=45°，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数据得：
$S_{阴影}=\frac{45×π×2^2}{360}=\frac{45×4π}{360}=\frac{π}{2}$
【答案】
C
【知识点】
1.等腰直角三角形的性质
2.扇形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是判断出阴影部分为扇形，准确求出扇形的圆心角度数和半径，再代入扇形面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
6.一个扇形的弧长是$20π\ \mathrm{cm}$，面积是$240π\ \mathrm{cm}^2$，则这个扇形的圆心角等于（）
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
D
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步，回忆扇形面积与弧长、半径的关联公式$S=\frac{1}{2}lR$（$S$是扇形面积，$l$是弧长，$R$是半径），已知弧长和面积，可先求出扇形的半径$R$；第二步，再代入弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（$n$为圆心角度数），求解即可得到圆心角的度数。
【解析】
设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，圆心角为$n°$。
1. 求扇形半径
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，将$S=240π\ \mathrm{cm}^2$，$l=20π\ \mathrm{cm}$代入得：
$240π=\frac{1}{2}×20π× R$
化简得$240π=10πR$，两边同时除以$10π$，解得$R=24$。
2. 求圆心角度数
根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，将$l=20π$，$R=24$代入得：
$20π=\frac{nπ×24}{180}$
两边同时除以$π$得$20=\frac{24n}{180}$，解得$n=\frac{20×180}{24}=150$。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算；扇形面积计算
【点评】
本题是扇形公式应用的基础题型，重点考查对弧长、扇形面积公式的掌握和灵活运用能力，熟练记忆公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：第一步，回忆扇形面积与弧长、半径的关联公式$S=\frac{1}{2}lR$（$S$是扇形面积，$l$是弧长，$R$是半径），已知弧长和面积，可先求出扇形的半径$R$；第二步，再代入弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$（$n$为圆心角度数），求解即可得到圆心角的度数。
【解析】
设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，圆心角为$n°$。
1. 求扇形半径
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，将$S=240π\ \mathrm{cm}^2$，$l=20π\ \mathrm{cm}$代入得：
$240π=\frac{1}{2}×20π× R$
化简得$240π=10πR$，两边同时除以$10π$，解得$R=24$。
2. 求圆心角度数
根据弧长公式$l=\frac{nπR}{180}$，将$l=20π$，$R=24$代入得：
$20π=\frac{nπ×24}{180}$
两边同时除以$π$得$20=\frac{24n}{180}$，解得$n=\frac{20×180}{24}=150$。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算；扇形面积计算
【点评】
本题是扇形公式应用的基础题型，重点考查对弧长、扇形面积公式的掌握和灵活运用能力，熟练记忆公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7.一个扇形的圆心角为$120°$，扇形的弧长等于$4π$，则该扇形的面积等于 （）
A.$2π$
B.$π$
C.$12π$
D.$24π$
A.$2π$
B.$π$
C.$12π$
D.$24π$
答案
C
解析
【分析】
本题要求扇形的面积，已知圆心角度数和弧长，解题思路分为两步：第一步利用弧长公式求出扇形所在圆的半径；第二步将求出的半径与已知条件代入扇形面积公式，计算即可得到结果。
【解析】
解：设扇形所在圆的半径为$r$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$l$为弧长），将$n=120°$，$l=4π$代入得：
$4π=\frac{120π r}{180}$
化简得$4π=\frac{2π r}{3}$，两边同时除以$π$后解得：$r=6$。
再根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$，代入$l=4π$、$r=6$得：
$S_{扇形}=\frac{1}{2}×4π×6=12π$。
【答案】
C
【知识点】
1.弧长公式 2.扇形面积公式
【点评】
本题是弧长与扇形面积相关的基础题，核心考查两个公式的直接应用，只要牢记公式，计算时细心即可得分，使用公式时注意圆心角采用角度制计算即可。
【难度系数】
0.8
本题要求扇形的面积，已知圆心角度数和弧长，解题思路分为两步：第一步利用弧长公式求出扇形所在圆的半径；第二步将求出的半径与已知条件代入扇形面积公式，计算即可得到结果。
【解析】
解：设扇形所在圆的半径为$r$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$l$为弧长），将$n=120°$，$l=4π$代入得：
$4π=\frac{120π r}{180}$
化简得$4π=\frac{2π r}{3}$，两边同时除以$π$后解得：$r=6$。
再根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$，代入$l=4π$、$r=6$得：
$S_{扇形}=\frac{1}{2}×4π×6=12π$。
【答案】
C
【知识点】
1.弧长公式 2.扇形面积公式
【点评】
本题是弧长与扇形面积相关的基础题，核心考查两个公式的直接应用，只要牢记公式，计算时细心即可得分，使用公式时注意圆心角采用角度制计算即可。
【难度系数】
0.8
