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1.一元二次方程$x^2 -1=0$的解是（
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x_1=1,x_2=-1$
D.$x_1=0,x_2=1$
C
）.A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x_1=1,x_2=-1$
D.$x_1=0,x_2=1$
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道求解一元二次方程的基础题，解题时先观察方程特征：该方程不含一次项，有两种常用解题思路：一是先移项得到$x^2=1$，用直接开平方法求解；二是利用平方差公式对左边的多项式因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的规则，转化为两个一元一次方程求解，最后对照选项选出答案即可。
【解析】
这里用两种常见解法演示：
解法1（直接开平方法）：
先移项得：$x^2=1$
对等式两边开平方得：$x=\pm1$
即方程的解为$x_1=1,x_2=-1$，对应选项C。
解法2（因式分解法）：
利用平方差公式分解左侧多项式：$(x+1)(x-1)=0$
根据乘积为0的性质可得：$x+1=0$或$x-1=0$
分别解两个一元一次方程得：$x_1=-1,x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 解一元二次方程
2. 平方差因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，只要熟练掌握直接开平方法、因式分解法等常见的一元二次方程解法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
这是一道求解一元二次方程的基础题，解题时先观察方程特征：该方程不含一次项，有两种常用解题思路：一是先移项得到$x^2=1$，用直接开平方法求解；二是利用平方差公式对左边的多项式因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的规则，转化为两个一元一次方程求解，最后对照选项选出答案即可。
【解析】
这里用两种常见解法演示：
解法1（直接开平方法）：
先移项得：$x^2=1$
对等式两边开平方得：$x=\pm1$
即方程的解为$x_1=1,x_2=-1$，对应选项C。
解法2（因式分解法）：
利用平方差公式分解左侧多项式：$(x+1)(x-1)=0$
根据乘积为0的性质可得：$x+1=0$或$x-1=0$
分别解两个一元一次方程得：$x_1=-1,x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 解一元二次方程
2. 平方差因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，只要熟练掌握直接开平方法、因式分解法等常见的一元二次方程解法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2.方程$(x-2)^2=9$的解是（
A.$x_1=5,x_2=-1$
B.$x_1=-5,x_2=1$
C.$x_1=11,x_2=-7$
D.$x_1=-11,x_2=-7$
A
）.A.$x_1=5,x_2=-1$
B.$x_1=-5,x_2=1$
C.$x_1=11,x_2=-7$
D.$x_1=-11,x_2=-7$
答案
2.A
解析
【分析】
观察方程形式，左侧是完全平方式，右侧是非负常数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题思路是先对等式两边同时开平方，将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
对于方程$(x-2)^2=9$，根据平方根的定义，等式两边同时开平方得：
$x-2=\pm3$
分两种情况求解：
1. 当$x-2=3$时，移项得$x=3+2=5$，即$x_1=5$；
2. 当$x-2=-3$时，移项得$x=-3+2=-1$，即$x_2=-1$。
因此方程的解为$x_1=5,x_2=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题核心是掌握直接开平方法的适用特征，将二次方程降次转化为一次方程求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
观察方程形式，左侧是完全平方式，右侧是非负常数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题思路是先对等式两边同时开平方，将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
对于方程$(x-2)^2=9$，根据平方根的定义，等式两边同时开平方得：
$x-2=\pm3$
分两种情况求解：
1. 当$x-2=3$时，移项得$x=3+2=5$，即$x_1=5$；
2. 当$x-2=-3$时，移项得$x=-3+2=-1$，即$x_2=-1$。
因此方程的解为$x_1=5,x_2=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题核心是掌握直接开平方法的适用特征，将二次方程降次转化为一次方程求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
3.用直接开平方法解方程$(x-3)^2=8$，得方程的根为(
A.$x=3+2\sqrt{3}$
B.$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
C.$x=3-2\sqrt{2}$
D.$x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$
B
).A.$x=3+2\sqrt{3}$
B.$x_1=3+2\sqrt{2},x_2=3-2\sqrt{2}$
C.$x=3-2\sqrt{2}$
D.$x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先明确直接开平方法的适用规则：对于形如$a^2 = b$（$b≥0$）的方程，可直接开平方得到$a=\pm\sqrt{b}$。本题中将$(x-3)$看作整体，右边的8是正数，满足开平方的条件，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的两个根，注意开平方时不要漏掉负根，还要将根号下的8化为最简二次根式，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：用直接开平方法解方程$(x-3)^2=8$，
1. 对等式两边同时开平方，可得：
$x-3=\pm\sqrt{8}$
2. 化简二次根式$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此上式变为：
$x-3=\pm2\sqrt{2}$
3. 移项求解$x$：
$x=3\pm2\sqrt{2}$
即方程的两个根为$x_1=3+2\sqrt{2}$，$x_2=3-2\sqrt{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；二次根式化简
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的运算规则，解题时需注意开平方后有正负两个结果，避免漏解，同时要掌握二次根式的化简方法，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先明确直接开平方法的适用规则：对于形如$a^2 = b$（$b≥0$）的方程，可直接开平方得到$a=\pm\sqrt{b}$。本题中将$(x-3)$看作整体，右边的8是正数，满足开平方的条件，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的两个根，注意开平方时不要漏掉负根，还要将根号下的8化为最简二次根式，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：用直接开平方法解方程$(x-3)^2=8$，
1. 对等式两边同时开平方，可得：
$x-3=\pm\sqrt{8}$
2. 化简二次根式$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此上式变为：
$x-3=\pm2\sqrt{2}$
3. 移项求解$x$：
$x=3\pm2\sqrt{2}$
即方程的两个根为$x_1=3+2\sqrt{2}$，$x_2=3-2\sqrt{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；二次根式化简
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心考查直接开平方法的运算规则，解题时需注意开平方后有正负两个结果，避免漏解，同时要掌握二次根式的化简方法，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
4.关于$x$的一元二次方程$(x+2)^2=p$有实数根，则$p$的取值范围是（
A.$p＞0$
B.$p≥0$
C.全体实数
D.无法确定
B
）.A.$p＞0$
B.$p≥0$
C.全体实数
D.无法确定
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方的性质：任意实数的平方都是非负数。题目中方程左边是$(x+2)^2$，属于完全平方式，它的取值恒大于等于0。要使方程有实数根，说明存在实数x让等号两边相等，因此右边的p的取值需要和左边完全平方式的取值范围匹配，由此即可推出p的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数x，完全平方式$(x+2)^2$的值恒为非负数，即$(x+2)^2 ≥ 0$
又
∵ 方程$(x+2)^2 = p$有实数根
∴ $p ≥ 0$
【答案】
B
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方数的取值特性在方程实数根问题中的应用，解题核心是牢记任意实数的平方都大于等于0。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆完全平方的性质：任意实数的平方都是非负数。题目中方程左边是$(x+2)^2$，属于完全平方式，它的取值恒大于等于0。要使方程有实数根，说明存在实数x让等号两边相等，因此右边的p的取值需要和左边完全平方式的取值范围匹配，由此即可推出p的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数x，完全平方式$(x+2)^2$的值恒为非负数，即$(x+2)^2 ≥ 0$
又
∵ 方程$(x+2)^2 = p$有实数根
∴ $p ≥ 0$
【答案】
B
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方数的取值特性在方程实数根问题中的应用，解题核心是牢记任意实数的平方都大于等于0。
【难度系数】
0.8
5.解方程.
(1) $(x+6)^2 -9=0$.
(2) $(2x-1)^2=16$.
(1) $(x+6)^2 -9=0$.
(2) $(2x-1)^2=16$.
答案
5.(1)$x_1=-3,x_2=-9$.
(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
这两道一元二次方程的左边都是完全平方式，右边为非负常数，适合用直接开平方法求解。解题思路为先将方程整理为“完全平方式=非负常数”的形式，再根据平方根的性质开平方，把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，注意开平方时不要漏掉负的平方根，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得 $(x+6)^2=9$
开平方，得 $x+6=\pm 3$
即 $x+6=3$ 或 $x+6=-3$
解得 $x_1=3-6=-3$，$x_2=-3-6=-9$
(2) 开平方，得 $2x-1=\pm 4$
即 $2x-1=4$ 或 $2x-1=-4$
当$2x-1=4$时，$2x=5$，解得 $x=\frac{5}{2}$
当$2x-1=-4$时，$2x=-3$，解得 $x=-\frac{3}{2}$
即 $x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-3,x_2=-9$
(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，需熟练掌握直接开平方法的适用特征，开平方时要注意取正负两个值，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
这两道一元二次方程的左边都是完全平方式，右边为非负常数，适合用直接开平方法求解。解题思路为先将方程整理为“完全平方式=非负常数”的形式，再根据平方根的性质开平方，把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，注意开平方时不要漏掉负的平方根，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得 $(x+6)^2=9$
开平方，得 $x+6=\pm 3$
即 $x+6=3$ 或 $x+6=-3$
解得 $x_1=3-6=-3$，$x_2=-3-6=-9$
(2) 开平方，得 $2x-1=\pm 4$
即 $2x-1=4$ 或 $2x-1=-4$
当$2x-1=4$时，$2x=5$，解得 $x=\frac{5}{2}$
当$2x-1=-4$时，$2x=-3$，解得 $x=-\frac{3}{2}$
即 $x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-3,x_2=-9$
(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，需熟练掌握直接开平方法的适用特征，开平方时要注意取正负两个值，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9
6.方程$\sqrt{2}x^2=\sqrt{8}$的解为（
A.$x=\pm\sqrt{2}$
B.$x=\pm2$
C.$x=\pm\sqrt{3}$
D.$x=\pm4$
A
）.A.$x=\pm\sqrt{2}$
B.$x=\pm2$
C.$x=\pm\sqrt{3}$
D.$x=\pm4$
答案
6.A
解析
【分析】
这是一道用直接开平方法求解一元二次方程的基础题，解题思路如下：首先先化简方程中的二次根式，再将$x^2$的系数化为1，得到$x^2$等于非负常数的形式，最后对常数开平方即可得到方程的解，注意一元二次方程在常数非负时有两个互为相反数的实根。
【解析】
解：先整理化简原方程
∵ $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
∴ 原方程可转化为：$\sqrt{2}x^2=2\sqrt{2}$
方程两边同时除以$\sqrt{2}$，系数化为1得：$x^2=2$
对等式两边开平方得：$x=\pm\sqrt{2}$
即方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础计算类题型，主要考查二次根式的化简运算和一元二次方程的直接开平解法，计算时注意先化简根式再整理方程，避免因运算粗心失分。
【难度系数】
0.9
这是一道用直接开平方法求解一元二次方程的基础题，解题思路如下：首先先化简方程中的二次根式，再将$x^2$的系数化为1，得到$x^2$等于非负常数的形式，最后对常数开平方即可得到方程的解，注意一元二次方程在常数非负时有两个互为相反数的实根。
【解析】
解：先整理化简原方程
∵ $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
∴ 原方程可转化为：$\sqrt{2}x^2=2\sqrt{2}$
方程两边同时除以$\sqrt{2}$，系数化为1得：$x^2=2$
对等式两边开平方得：$x=\pm\sqrt{2}$
即方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础计算类题型，主要考查二次根式的化简运算和一元二次方程的直接开平解法，计算时注意先化简根式再整理方程，避免因运算粗心失分。
【难度系数】
0.9
7.若$(x+3)$与$(x-3)$互为倒数，则$x$的值是
$\pm\sqrt{10}$
。答案
7.$\pm\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题首先从“互为倒数”的定义入手，互为倒数的两个数乘积为1，据此可以列出关于x的方程；观察方程左边的乘积形式，符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开化简后得到一元二次方程，再用直接开平方法求解即可得到x的值，注意开平方时要考虑正负两种情况。
【解析】
解：
∵ $(x+3)$与$(x-3)$互为倒数
∴ 两个数的乘积为1，可得方程：
$(x+3)(x-3)=1$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开左边：
$x^2 - 9 = 1$
移项合并同类项得：
$x^2 = 10$
两边同时开平方得：
$x = ±\sqrt{10}$
【答案】
$\pm\sqrt{10}$
【知识点】
倒数的定义；平方差公式；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先根据倒数的性质列出正确的方程，再利用整式乘法公式化简方程，求解一元二次方程时注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.75
解题首先从“互为倒数”的定义入手，互为倒数的两个数乘积为1，据此可以列出关于x的方程；观察方程左边的乘积形式，符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开化简后得到一元二次方程，再用直接开平方法求解即可得到x的值，注意开平方时要考虑正负两种情况。
【解析】
解：
∵ $(x+3)$与$(x-3)$互为倒数
∴ 两个数的乘积为1，可得方程：
$(x+3)(x-3)=1$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开左边：
$x^2 - 9 = 1$
移项合并同类项得：
$x^2 = 10$
两边同时开平方得：
$x = ±\sqrt{10}$
【答案】
$\pm\sqrt{10}$
【知识点】
倒数的定义；平方差公式；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先根据倒数的性质列出正确的方程，再利用整式乘法公式化简方程，求解一元二次方程时注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.75
8.若$a$为方程$(x-\sqrt{17})^2=100$的一个根，$b$为方程$(y-4)^2=17$的一个根，且$a$，$b$都是正数，则$a-b=$
6
。答案
8.6
解析
【分析】
本题可先通过直接开平方法分别解两个一元二次方程，再结合a、b都是正数的条件筛选出符合要求的a、b的值，最后代入计算a-b即可。思考时首先回忆直接开平方法解形如$(mx+n)^2=p(p≥0)$的方程的解法，得到方程的两个根后，根据正数的要求排除负根，代入代数式计算时注意同类二次根式的合并抵消。
【解析】
1. 解方程$(x-\sqrt{17})^2=100$：
直接开平方得$x-\sqrt{17}=\pm10$，
解得$x_1=\sqrt{17}+10$，$x_2=\sqrt{17}-10$。
因为a是正数，且$\sqrt{17}\approx4.12＜10$，所以$\sqrt{17}-10＜0$，舍去负根，故$a=10+\sqrt{17}$。
2. 解方程$(y-4)^2=17$：
直接开平方得$y-4=\pm\sqrt{17}$，
解得$y_1=4+\sqrt{17}$，$y_2=4-\sqrt{17}$。
因为b是正数，且$\sqrt{17}\approx4.12＞4$，所以$4-\sqrt{17}＜0$，舍去负根，故$b=4+\sqrt{17}$。
3. 计算$a-b$：
$a-b=(10+\sqrt{17})-(4+\sqrt{17})=10+\sqrt{17}-4-\sqrt{17}=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程的解法及代数式的求值，解题关键是根据a、b为正数的条件正确选取方程的根，计算过程中无理数部分会相互抵消，降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
本题可先通过直接开平方法分别解两个一元二次方程，再结合a、b都是正数的条件筛选出符合要求的a、b的值，最后代入计算a-b即可。思考时首先回忆直接开平方法解形如$(mx+n)^2=p(p≥0)$的方程的解法，得到方程的两个根后，根据正数的要求排除负根，代入代数式计算时注意同类二次根式的合并抵消。
【解析】
1. 解方程$(x-\sqrt{17})^2=100$：
直接开平方得$x-\sqrt{17}=\pm10$，
解得$x_1=\sqrt{17}+10$，$x_2=\sqrt{17}-10$。
因为a是正数，且$\sqrt{17}\approx4.12＜10$，所以$\sqrt{17}-10＜0$，舍去负根，故$a=10+\sqrt{17}$。
2. 解方程$(y-4)^2=17$：
直接开平方得$y-4=\pm\sqrt{17}$，
解得$y_1=4+\sqrt{17}$，$y_2=4-\sqrt{17}$。
因为b是正数，且$\sqrt{17}\approx4.12＞4$，所以$4-\sqrt{17}＜0$，舍去负根，故$b=4+\sqrt{17}$。
3. 计算$a-b$：
$a-b=(10+\sqrt{17})-(4+\sqrt{17})=10+\sqrt{17}-4-\sqrt{17}=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程的解法及代数式的求值，解题关键是根据a、b为正数的条件正确选取方程的根，计算过程中无理数部分会相互抵消，降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
