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1. ★★★（2026·松原期中）在$△ ABC$中，$BC=6$，$BC$边上的高$AD=3$，$BD=2$，则$△ ACD$的面积是
6或12
。答案
1. 6或12
2. 在$△ ABC$中，$∠ A=55°,BD,CE$是它的两条高，直线$BD,CE$交于点$F$，求$∠ DFE$的度数.
答案
2. ①当△ABC为锐角三角形时,如图①,
∵ ∠A=55°,BD,CE是它的两条高,
∴ 根据四边形内角和为360°,得∠DFE=125°.
②当△ABC为钝角三角形时,如图②,③,
∵ ∠A=55°,BD是它的高,
∴ ∠ABD=∠EBF=35°.
∵ CE是△ABC的高,
∴ ∠DFE=90°-35°=55°.综上所述,∠DFE=125°或∠DFE=55°.
3. ★★★ 如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4 cm，BC=8 cm，CE=6 cm，求AD的长。
答案
3. 由题图可知,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·CE=\frac{1}{2}BC·AD$,
∵ AB=4 cm,
BC=8 cm,CE=6 cm,
∴ $\frac{1}{2}×4×6=\frac{1}{2}×8·AD$,解得AD=3 cm.
∵ AB=4 cm,
BC=8 cm,CE=6 cm,
∴ $\frac{1}{2}×4×6=\frac{1}{2}×8·AD$,解得AD=3 cm.
4. “面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法.
(1)如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$P$是边$BC$上一个动点,过点$P$作$PD ⊥ AB$,作$PE ⊥ AC$,垂足分别为点$D$,$E$,$BF$为边$AC$上的高.求证:$PD+PE=BF$.
(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$($∠ A＜∠ ABC$),点$D$,$P$分别在边$AB$,$AC$上,且$BP=AP$,$DE ⊥ BP$,$DF ⊥ AP$,垂足分别为点$E$,$F$.若$BC=5$,求$DE+DF$的值.
(1)如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$P$是边$BC$上一个动点,过点$P$作$PD ⊥ AB$,作$PE ⊥ AC$,垂足分别为点$D$,$E$,$BF$为边$AC$上的高.求证:$PD+PE=BF$.
(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$($∠ A＜∠ ABC$),点$D$,$P$分别在边$AB$,$AC$上,且$BP=AP$,$DE ⊥ BP$,$DF ⊥ AP$,垂足分别为点$E$,$F$.若$BC=5$,求$DE+DF$的值.
答案
4. (1)
∵$ S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP},$
∴$ \frac{1}{2}AC·BF=\frac{1}{2}AB·PD+$
$\frac{1}{2}AC·PE.$
∵ AB = AC,
∴$ \frac{1}{2}AC·BF=\frac{1}{2}AC·(PD + PE).$
∴ PD+PE=BF.
(2)
∵$ S_{△ ABP}=S_{△ BDP}+S_{△ ADP},$
∴$ \frac{1}{2}AP·BC=\frac{1}{2}BP·DE+\frac{1}{2}AP·$
DF.
∵ BP=AP,
∴$ \frac{1}{2}AP·BC=\frac{1}{2}AP·DE+\frac{1}{2}AP·DF,$即DE+DF=BC=5.
∵$ S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP},$
∴$ \frac{1}{2}AC·BF=\frac{1}{2}AB·PD+$
$\frac{1}{2}AC·PE.$
∵ AB = AC,
∴$ \frac{1}{2}AC·BF=\frac{1}{2}AC·(PD + PE).$
∴ PD+PE=BF.
(2)
∵$ S_{△ ABP}=S_{△ BDP}+S_{△ ADP},$
∴$ \frac{1}{2}AP·BC=\frac{1}{2}BP·DE+\frac{1}{2}AP·$
DF.
∵ BP=AP,
∴$ \frac{1}{2}AP·BC=\frac{1}{2}AP·DE+\frac{1}{2}AP·DF,$即DE+DF=BC=5.
