1. （2026·金华期末）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$AD$平分$∠ CAB$交$BC$于点$D$，过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，连结$CE$。则下列结论：①$AD$垂直平分$CE$；②$△ BDE$的周长为8；③$DC$的长是$\dfrac{8}{3}$；④$△ ACE$的面积为$\dfrac{96}{5}$。其中正确的结论有

（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. D 解析:
∵ AD 平分∠CAB,
∴ ∠CAD=∠EAD.
∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠AED = ∠ACD = 90°. 又
∵ AD = AD,
∴ △ACD ≌ △AED(AAS),
∴ AC=AE,DC=DE,
∴ AD 垂直平分 CE,①结论正确；在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴ AB=√(AC²+BC²)=10.
∵ △ACD≌△AED,
∴ AC=AE=8,DC=DE,
∴ BE=AB-AE=2,
∴ △BDE 的周长=DE+BD+BE=DC+BD+BE=BC+BE=6+2=8,②结论正确;设 DC = DE = a, 则 BD = BC-DC = 6-a, 在Rt△BED 中,DE²+BE²=BD²,
∴ a²+2²=(6-a)²,解得 a=8/3,
∴ DC 的长是8/3,③结论正确;在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴ S△ABC=1/2 AC·BC=1/2×8×6=24.
∵ △ACB 和△ACE 是等高三角形,
∴ S△ACE/S△ACB = AE/AB = 8/10 = 4/5,
∴ S△ACE=4/5 S△ABC=96/5,④结论正确,故选 D.

2. （2026·金华期末）如图①，在$△ ABC$中，$∠ ABC＞90°$，动点$P$从点$A$出发向点$C$运动，连结$BP$，设$AP=x$，$BP=y$，如图②是$y$关于$x$的函数图象，点$Q$是函数图象上的最低点，观察图象，对于以下结论：
①$AC=9$，$BC=4$；②$∠ A=30°$；③当$△ BCP$是直角三角形时，$x$的值为7；④当$7＜x＜9$时，$△ BCP$是钝角三角形.其中正确的是（）

A.①③
B.②③
C.①④
D.③④

2. C 解析:如图①,过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，
∵ 动点 P 从点 A 开始出发向点 C 运动,
∴ 由垂线段最短可得,当点 P 运动到点 D 处时,BP 最短,由图象可得,当点 P 运动到点 D 处时,x=7,即 AD=7,当点 P 运动到点 C 处时,x=9,y=4,即 AC=9,BC=4,故①正确;
∴ CD=AC-AD=9-7=2.取 BC 的中点 E,连结 DE,则 BE=CE=DE=1/2 BC=2,
∴ DE=CE=CD=2,
∴ △CDE 为等边三角形,
∴ ∠C=60°.
∵ ∠ABC＞90°,
∴ ∠A＜30°,故②错误;当△BCP 是直角三角形,且∠BPC=90°时,点 P 与点 D 重合,即∠BDC=90°,AD=7,此时 x=7,当△BCP 是直角三角形,且∠PBC=90°,如图②,
∵ ∠CPB=90°-∠C=30°,
∴ CP=2BC=8,
∴ AP=AC-CP=1,即 x=1.综上所述,当△BCP 是直角三角形时,x 的值为 7 或 1,故③错误;当7＜x＜9时,点 P 在 DC 上运动(不含点 D,C),
∵ ∠BDC=90°,
∴ △BCP是钝角三角形,故④正确.综上所述,正确的有①④,故选 C.

3. （2026·杭州期末）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①$DE=DF$；②$DE+DF=AD$；③$DM$平分$∠EDF$；④$AB+AC=\sqrt{3}AD$.正确的是（）

A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②④

3. D 解析:
∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ED=DF,
∴ ①正确;
∵ ∠EAC=60°,AD 平分∠BAC,
∴ ∠EAD=∠FAD=30°.
∵ DE ⊥ AB,∠EAD = 30°,
∴ ED = 1/2 AD. 同理 DF=1/2 AD,
∴ DE+DF=AD,
∴ ②正确;
∵ ED=DF,
∴ 若 DM 平分∠EDF,则 DM⊥EF,与 MD⊥BC 矛盾,
∴ ③错误;如图所示,连结 BD,DC,
∵ DM 是 BC 的垂直平分线,
∴ DB = DC. 在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中,{DE=DF,BD=CD,
∴ Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴ BE=FC,
∴ AB+AC=AE-BE+AF+FC=AE+AF.
∵ 在 Rt△AED 中,ED=1/2 AD,在 Rt△AFD 中,DF=1/2 AD,
∴ AE=AF=√(AD²-(1/2 AD)²)=√3/2 AD,
∴ AB+AC=AE+AF=√3 AD,
∴ ④正确.综上可知,正确的有①②④,故选 D.

4. ★★ (2026·嘉兴月考)如图，△ABC中，∠ABC=45°, CD⊥AB于D, BE平分∠ABC, BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G,下列结论:①∠A=67.5°;②AE=$\frac{1}{2}$BF;③△DGF是等腰三角形;④$S_{四边形ADGE}=S_{四边形GHCE}$.正确的是 ()

A.①②③
B.①②④
C.③④
D.①②③④

4. A 解析:①
∵ BE 平分∠ABC,∠ABC=45°,
∴ ∠ABE=∠CBE=22.5°.
∵ BE⊥AC,在 Rt△ABE 中,∠A=90°-∠ABE=67.5°,故结论①正确;②
∵ CD⊥AB,∠ABC=45°,
∴ △BCD 是等腰直角三角形,∠BDF=∠CDA=90°,
∴ BD=CD,在Rt△BDF中,∠BFD=90°-∠ABE=67.5°,
∴ ∠BFD=∠A=67.5°,在△BDF 和△CDA 中,{∠BFD=∠A,∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD,
∴ △BDF≌△CDA(AAS),
∴ BF=AC. 在 Rt△BCE 中,∠BCA=90°-∠CBE=67.5°,
∴ ∠BCA=∠A=67.5°,
∴ BA=BC.
∵ BE⊥AC,
∴ AE=CE=1/2 AC,
∴ AE=1/2 BF,故结论②正确;③
∵ △BCD 是等腰直角三角形,H 是 BC 边的中点,
∴ ∠BDH=∠CDH=1/2 ∠BDC=45°,DH⊥BC,在△DGF 中,∠BFD=67.5°,
∴ ∠DGF=180°-(∠CDH+∠BFD)=180°-(45°+67.5°)=67.5°,
∴ ∠DGF=∠BFD=67.5°,
∴ △DGF 是等腰三角形,故结论③正确;④过点 G 作 GM⊥AB 于点 M,如图所示,
∵ BE 平分∠ABC,DH⊥BC,
∴ GM=GH,在 Rt△BDH 中,∠DHB=90°,
∴ BD＞BH. 又
∵ S△BGD=1/2 BD·GM,S△BGH=1/2 BH·GH,
∴ S△BGD＞S△BGH.
∵ AE=CE,
∴ S△BAE=S△BCE,
∴ S△BGD + S四边形ADGE = S△BGH + S四边形GHCE,
∴ S四边形ADGE ＜ S四边形GHCE,故结论④不正确.综上所述,正确的结论是①②③.故选 A.

5. 已知:如图,BD为$△ ABC$的角平分线,且$BD=BC$,E为BD延长线上的一点,$BE=BA$,过E作$EF ⊥ AB$,F为垂足,下列结论:①$△ ABD ≌ △ EBC$;②$∠ BCE+∠ BCD=180°$;③$∠ BCD=∠ BAE$;④$AD=EF=EC$;⑤$BA+BD=2BF$.其中正确的结论有________(填序号).

5. ①②③⑤ 解析:
∵ BD 为△ABC 的角平分线,
∴ ∠ABD=∠CBD,在△ABD 和△EBC 中,{BD=BC,∠ABD=∠EBC,BA=BE,
∴ △ABD≌△EBC(SAS),故①正确;
∵ BD 为△ABC 的角平分线,BD=BC,BE=BA,
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA,故③正确.
∵ △ABD≌△EBC,
∴ ∠BCE=∠BDA,
∴ ∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°,故②正确;
∵ ∠BCE=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA,
∴ ∠DCE=∠DAE,
∴ △ACE 为等腰三角形,
∴ AE=EC.
∵ △ABD≌△EBC,
∴ AD=EC,
∴ AD=AE=EC.
∵ EF⊥AB,
∴ AE＞EF,故④错误;如图,过 E 作 EG⊥BC 交 BC 延长线于点 G,
∵ E 是∠ABC 的平分线 BD 上的点,且 EF⊥AB,
∴ EF=EG.在Rt△BEG 和 Rt△BEF 中,{BE=BE,EG=EF,
∴ Rt△BEG≌Rt△BEF(HL),
∴ BG=BF. 在 Rt△CEG 和 Rt△AEF 中,{EG=EF,CE=AE,
∴ Rt△CEG≌Rt△AEF(HL),
∴ AF=CG,
∴ BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF.
∵ BD=BC,
∴ BA+BD=2BF,故⑤正确.故答案为①②③⑤.

6. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,$F$为$Rt△ ABC$外一点,连结$AF$,连结$BF$交$AC$于点$L$,过点$F$作$AC$的垂直平分线交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,过点$F$分别作$FH⊥ AB$于点$H$,交$AC$于点$G$,$FK⊥ BC$交$BC$的延长线于点$K$,且$KF=FH$.则下列结论:
①$∠ CBF=∠ FBA$;②$BH=FD$;③$AB-BC=2AH$;④$S_{△ AFG}=S_{△ FGL}$.
其中正确的是(填序号).

6. ①③④ 解析:
∵ KF=FH,FH⊥AB,FK⊥BC,BF=BF,
∴ Rt△BHF≌Rt△BKF(HL),
∴ ∠CBF=∠FBA,①正确.
∵ △BFK≌△BFH,
∴ BK=BH.
∵ FE⊥CE,FK⊥BK,∠ACB=90°,
∴ 四边形 CEFK 是长方形,
∴ CK=EF.又
∵ BC≠ED,BK=BC+CK,FD=ED+EF,
∴ BK≠FD,
∴ BH≠FD,②错误.
∵ AE=EC=KF,KF=FH,
∴ AE=FH,且 FD⊥AC,FH⊥AB,AF=FA,
∴ Rt△AEF≌Rt△FHA(HL),
∴ EF=AH,
∴ AB-BC=AH+BK-BC=AH+EF=2AH,③正确.
∵ EF=AH,∠FEG=∠AHG=90°,∠AGH=∠FGE,
∴ △FEG≌△AHG(AAS),
∴ FG=AG.
∵ △BHF≌△BKF,
∴ ∠KFB=∠HFB.
∵ KF//CE,
∴ ∠FLG=∠KFB,
∴ ∠FLG=∠HFB,
∴ FG=LG,
∴ LG=AG,
∴ S△AFG=1/2 AG·FE=S△FGL=1/2 LG·FE,④正确.故答案为①③④.