1. 若不等式$\dfrac{2x+5}{3} -1 ≤ 2 - x$的解集中$x$的每一个值都能使关于$x$的不等式$3(x-1)+5＞5x+2(m+x)$成立，则$m$的取值范围是（）

A.$m ＞ -\dfrac{3}{5}$
B.$m ≤ -\dfrac{3}{5}$
C.$m ＜ -\dfrac{3}{5}$
D.$m ＞ -\dfrac{1}{5}$

1. C 解析:解不等式$\frac{2x+5}{3}-1≤2-x$,$\frac{2x+5-3}{3}≤2-x$,$\frac{2x+2}{3}≤2-x$,两边同乘3,得$2x+2≤3(2-x)$,$2x+2≤6-3x$,$5x≤4$,$\therefore x≤\frac{4}{5}$.解不等式$3(x-1)+5＞5x+2(m+x)$,$3x-3+5＞5x+2m+2x$,$3x+2＞7x+2m$,$-4x＞2m-2$,两边同除以-4,不等号方向改变,$x＜\frac{2-2m}{4}=\frac{1-m}{2}$.$\because$ 对于 $x≤\frac{4}{5}$的每一个值,都能使$x＜\frac{1-m}{2}$成立,$\therefore \frac{1-m}{2}＞\frac{4}{5}$,两边同乘10,得$5(1-m)＞8$,$5-5m＞8$,$-5m＞3$,$\therefore m＜-\frac{3}{5}$.因此,$m$的取值范围是$m＜-\frac{3}{5}$,故选C.

2. （2026·杭州月考）已知关于$x$的不等式组$\begin{cases} x - \dfrac{3x -5}{2} ＜ 2, \\ 2x - a ≤ -1, \end{cases}$下列四个结论：
①若它的解集是$1＜x≤3$，则$a=7$；②当$a=3$，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则$a$的取值范围是$9≤ a＜11$；④若不等式组有解，则$a＞3$。
其中正确的结论有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2. C 解析:$\because \begin{cases} x-\frac{3x-5}{2}＜2,\quad ① \\ 2x-a≤-1,\quad ② \end{cases}$解不等式①,得$x＞1$,解不等式②,得$x≤\frac{a-1}{2}$,$\therefore$ 若它的解集是 $1＜x≤3$,即$\frac{a-1}{2}=3$,解得$a=7$,$\therefore$ ①正确; $\because$ 当$a=3$时,解不等式②得$x≤1$,即不等式组无解,$\therefore$ ②错误; $\because$ 若它的整数解仅有3个,即$4≤\frac{a-1}{2}＜5$,$\therefore a$的取值范围是$9≤a＜11$,$\therefore$ ③正确; $\because$ 若不等式组有解,即$1＜\frac{a-1}{2}$,则$3＜a$,$\therefore$ ④正确,故选C.

3. （2026·深圳月考）若关于x的不等式$ax - b ＞ 0$的解集为$x ＜ \frac{1}{3}$，则关于x的不等式$(a + b)x ＞ b - a$的解集是（）

A.$x ＜ -\frac{1}{2}$
B.$x ＜ \frac{1}{2}$
C.$x ＞ -\frac{1}{2}$
D.$x ＞ \frac{1}{2}$

3. A 解析:由$ax-b＞0$,得$ax＞b$,$\because$ 不等式$ax-b＞0$的解集是$x＜\frac{1}{3}$,$\therefore \frac{b}{a}=\frac{1}{3}$,且$a＜0$,$b＜0$.设$b=m$,$a=3m(m＜0)$,则$b-a=-2m$,$a+b=4m＜0$,$\therefore (a+b)x＞b-a$的解集是$x＜\frac{b-a}{a+b}=\frac{-2m}{4m}=-\frac{1}{2}$,即$x＜-\frac{1}{2}$,故选A.

4. （2026·金华月考）已知不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0, \\ 2x ＜ 5\end{cases}$有且仅有一个整数解$x=2$，则$a$的取值范围是 ______ 。

4. $1≤a＜2$ 解析:$\begin{cases} x-a＞0,\quad ① \\ 2x＜5,\quad ② \end{cases}$解不等式①可得$x＞a$,解不等式②可得$x＜\frac{5}{2}$,$\therefore$ 不等式组的解集是$a＜x＜\frac{5}{2}$,在数轴上表示如图所示：
$\because$ 不等式组$\begin{cases} x-a＞0, \\ 2x＜5 \end{cases}$有且仅有一个整数解$x=2$,$\therefore 2$是不等式组$\begin{cases} x-a＞0, \\ 2x＜5 \end{cases}$的整数解,1不是不等式组$\begin{cases} x-a＞0, \\ 2x＜5 \end{cases}$的整数解,$\therefore a$的取值介于1和2之间(且可以等于1),$\therefore a$的取值范围是$1≤a＜2$.

5. 若整数$m$使得关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=1, \\ 3x-y=m\end{cases}$的解为整数，且关于$x$的不等式组$\begin{cases}6x+1≥ m, \\ 3x-1＜2(x+3)\end{cases}$有且只有4个整数解，则符合条件的所有$m$的和为 ______ 。

5. 34 解析:解不等式组$\begin{cases} 6x+1≥ m, \\ 3x-1＜2(x+3) \end{cases}$得$\frac{m-1}{6}≤x＜7$.$\because$ 关于$x$的不等式组$\begin{cases} 6x+1≥ m, \\ 3x-1＜2(x+3) \end{cases}$有且只有4个整数解,$\therefore 4$个整数解为6,5,4,3,$\therefore 2＜\frac{m-1}{6}≤3$,解得$13＜m≤19$,$\therefore$ 整数$m$为14,15,16,17,18,19,解方程组$\begin{cases} x+y=1, \\ 3x-y=m \end{cases}$得$\begin{cases} x=\frac{m+1}{4}, \\ y=\frac{3-m}{4} \end{cases}$.$\because$ 方程组的解是整数,$\therefore m=15$或19,$\therefore 15+19=34$.

6. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x+2m＜0, \\ 3x+m＜15\end{cases}$的解集中的任意$x$的值，都能使不等式$x-3＜0$成立，则$m$的取值范围是 ______ .

6. $m≥-\frac{3}{2}$ 解析:解不等式$x+2m＜0$,得$x＜-2m$,解不等式$3x+m＜15$,得$x＜\frac{15-m}{3}$.①若$-2m＜\frac{15-m}{3}$,即$m＞-3$时,$-2m≤3$,解得$m≥-\frac{3}{2}$;②若$-2m≥\frac{15-m}{3}$,即$m≤-3$时,$\frac{15-m}{3}≤3$,解得$m≥6$,与$m≤-3$不符,舍去.故$m≥-\frac{3}{2}$.

7. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=2a+1, \\x-y=2-3a\end{cases}$的解都为非负数，若$W=a-2$，则$W$的最大值为 ______ 。

7. 1 解析:解方程组$\begin{cases} x+y=2a+1, \\ x-y=2-3a \end{cases}$得$\begin{cases} x=\frac{3-a}{2}, \\ y=\frac{5a-1}{2} \end{cases}$,$\because$ 二元一次方程组的解都为非负数,$\therefore \frac{3-a}{2}≥0$,$\frac{5a-1}{2}≥0$,解得$\frac{1}{5}≤a≤3$.
$\because W=a-2$,$W$随$a$的增大而增大,$\therefore$ 当$a=3$时,$W$的最大值=$3-2=1$.

8. （2026·重庆期末）若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-2＜\dfrac{x+2}{2}, \\ 3(x-m)＞-x+5\end{cases}$有解且至多有3个整数解，关于$y$的分式方程$8-\dfrac{2y-m}{y-5}=\dfrac{m}{5-y}$的解为整数，则所有满足条件的整数$m$的和为 ______ 。

8. 2 解析:解不等式组$\begin{cases} x-2＜\frac{x+2}{2},\quad ① \\ 3(x-m)＞-x+5,\quad ② \end{cases}$ 解①得$x＜6$,解②得$x＞\frac{5+3m}{4}$,$\therefore$ 不等式组$\begin{cases} x-2＜\frac{x+2}{2}, \\ 3(x-m)＞-x+5 \end{cases}$有解且至多有3个整数解,$\therefore$ 不等式组的解集为$\frac{5+3m}{4}＜x＜6$,且至多有3个整数解,$\therefore 2≤\frac{5+3m}{4}＜6$,$\therefore 1≤m＜\frac{19}{3}$,解$8-\frac{2y-m}{y-5}=\frac{m}{5-y}$,得$y=\frac{20-m}{3}$.
$\because$ 关于$y$的分式方程$8-\frac{2y-m}{y-5}=\frac{m}{5-y}$的解为整数,$\therefore 20-m$能被3整除,且$y-5≠0$,即$\frac{20-m}{3}≠5$.$\because 1≤m＜\frac{19}{3}$,且$m$为整数,$\therefore m=2$,即符合题意的整数$m$的值为2,因此所有满足条件的整数$m$的和为2.