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1.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则$a$小时相遇；若同向而行，则$b$小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（
A.$\frac{a+b}{b}$
B.$\frac{b}{a+b}$
C.$\frac{a+b}{b-a}$
D.$\frac{b-a}{b+a}$
C
）。A.$\frac{a+b}{b}$
B.$\frac{b}{a+b}$
C.$\frac{a+b}{b-a}$
D.$\frac{b-a}{b+a}$
答案
1.C 【提示】设甲、乙两人之间的距离是s，甲、乙两人的速度分别为$v_1,v_2$，依题意可以列方程组：
$\begin{cases}v_1a+v_2a=s,①\\v_1b-v_2b=s,②\end{cases}$用①-②即可消去s，然后化简整理，求$v_1÷ v_2$即可得出结果.
$\begin{cases}v_1a+v_2a=s,①\\v_1b-v_2b=s,②\end{cases}$用①-②即可消去s，然后化简整理，求$v_1÷ v_2$即可得出结果.
解析
【分析】
这是一道行程类应用题，解题核心是利用相遇和追及场景下的路程等量关系列方程。我们可以先设两地总路程为s，甲、乙的速度分别为$v_1$、$v_2$：相向而行相遇时，两人的路程和等于总路程s；同向而行甲追上乙时，甲比乙多走的路程等于总路程s，据此列出两个等式，再通过消元法消去无关的s，整理后就能求出甲、乙的速度比。
【解析】
设两地之间的距离为$s$，甲的速度为$v_1$，乙的速度为$v_2$。
根据相向而行$a$小时相遇，可得：$a(v_1 + v_2) = s$ ①
根据同向而行$b$小时甲追上乙，可得：$b(v_1 - v_2) = s$ ②
因为①②两式右边均为$s$，联立得：
$a(v_1 + v_2) = b(v_1 - v_2)$
展开等式两边：
$av_1 + av_2 = bv_1 - bv_2$
移项，将含$v_1$的项移到等式左侧，含$v_2$的项移到等式右侧：
$av_1 - bv_1 = -bv_2 - av_2$
提取公因式：
$v_1(a - b) = -v_2(a + b)$
两边同时除以$(a-b)v_2$（由题意$a、b$均为正数，且$b＞a$，分母不为0），整理得：
$\frac{v_1}{v_2}=\frac{a+b}{b-a}$
即甲的速度是乙的速度的$\frac{a+b}{b-a}$。
【答案】
C
【知识点】
相遇追及问题；二元一次方程组应用；代数式化简
【点评】
本题结合行程场景考查代数式运算能力，解题关键是找准相遇、追及两种场景下的路程等量关系，消去不需要的总路程参数，注意移项时符号不要出错即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类应用题，解题核心是利用相遇和追及场景下的路程等量关系列方程。我们可以先设两地总路程为s，甲、乙的速度分别为$v_1$、$v_2$：相向而行相遇时，两人的路程和等于总路程s；同向而行甲追上乙时，甲比乙多走的路程等于总路程s，据此列出两个等式，再通过消元法消去无关的s，整理后就能求出甲、乙的速度比。
【解析】
设两地之间的距离为$s$，甲的速度为$v_1$，乙的速度为$v_2$。
根据相向而行$a$小时相遇，可得：$a(v_1 + v_2) = s$ ①
根据同向而行$b$小时甲追上乙，可得：$b(v_1 - v_2) = s$ ②
因为①②两式右边均为$s$，联立得：
$a(v_1 + v_2) = b(v_1 - v_2)$
展开等式两边：
$av_1 + av_2 = bv_1 - bv_2$
移项，将含$v_1$的项移到等式左侧，含$v_2$的项移到等式右侧：
$av_1 - bv_1 = -bv_2 - av_2$
提取公因式：
$v_1(a - b) = -v_2(a + b)$
两边同时除以$(a-b)v_2$（由题意$a、b$均为正数，且$b＞a$，分母不为0），整理得：
$\frac{v_1}{v_2}=\frac{a+b}{b-a}$
即甲的速度是乙的速度的$\frac{a+b}{b-a}$。
【答案】
C
【知识点】
相遇追及问题；二元一次方程组应用；代数式化简
【点评】
本题结合行程场景考查代数式运算能力，解题关键是找准相遇、追及两种场景下的路程等量关系，消去不需要的总路程参数，注意移项时符号不要出错即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2.甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作2天完成总量的$\frac{1}{3}$，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成，那么乙队单独完成总量需要（
A.6天
B.4天
C.3天
D.2天
D
）.A.6天
B.4天
C.3天
D.2天
答案
2.D 【提示】
∵甲队单独工作2天完成总量的$\frac{1}{3}$，
∴甲队每天完成$\frac{1}{6}$. 设乙队单独完成总量需要x天，则乙队每天完成$\frac{1}{x}$，由题意可列方程$\frac{1}{6}×2+(\frac{1}{6}+\frac{1}{x})×1=1$，解得$x=2$. 经检验，$x=2$是原分式方程的解，且符合题意.
∵甲队单独工作2天完成总量的$\frac{1}{3}$，
∴甲队每天完成$\frac{1}{6}$. 设乙队单独完成总量需要x天，则乙队每天完成$\frac{1}{x}$，由题意可列方程$\frac{1}{6}×2+(\frac{1}{6}+\frac{1}{x})×1=1$，解得$x=2$. 经检验，$x=2$是原分式方程的解，且符合题意.
解析
【分析】
这是一道工程类应用题，解题时首先明确工程问题的基本关系：工作量=工作效率×工作时间，通常将总工作量设为单位“1”。第一步先根据甲队的工作情况计算甲的工作效率：已知甲单独工作2天完成总量的$\frac{1}{3}$，用完成的工作量除以工作时间即可得到甲的日工作效率。接下来梳理总工作量的构成：甲先单独工作2天，之后甲、乙合作1天完成全部工作，即总工作量=甲单独2天的工作量+甲乙合作1天的工作量。设乙队单独完成需要$x$天，可表示出乙的日工作效率，代入上述等量关系列出分式方程，求解后检验根的合理性即可得到结果。
【解析】
首先计算甲队的工作效率：
甲队2天完成总量的$\frac{1}{3}$，则甲队每天完成的工作量为$\frac{1}{3} ÷ 2 = \frac{1}{6}$。
设乙队单独完成总量需要$x$天，则乙队每天完成的工作量为$\frac{1}{x}$。
根据总工作量为单位“1”，可列方程：
$\frac{1}{6} × 2 + ( \frac{1}{6} + \frac{1}{x} ) × 1 = 1$
解方程：
先化简左边：$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{x} = 1$，即$\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = 1$
移项得：$\frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，原分式方程分母不为0，$x=2$是原方程的解，且符合实际工作的意义。
【答案】
D
【知识点】
工程问题，分式方程的应用，分式方程验根
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题型，解题关键是熟练掌握工程问题的数量关系，准确找到工作量的等量关系列方程，同时注意分式方程求解后必须检验根是否符合要求及实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类应用题，解题时首先明确工程问题的基本关系：工作量=工作效率×工作时间，通常将总工作量设为单位“1”。第一步先根据甲队的工作情况计算甲的工作效率：已知甲单独工作2天完成总量的$\frac{1}{3}$，用完成的工作量除以工作时间即可得到甲的日工作效率。接下来梳理总工作量的构成：甲先单独工作2天，之后甲、乙合作1天完成全部工作，即总工作量=甲单独2天的工作量+甲乙合作1天的工作量。设乙队单独完成需要$x$天，可表示出乙的日工作效率，代入上述等量关系列出分式方程，求解后检验根的合理性即可得到结果。
【解析】
首先计算甲队的工作效率：
甲队2天完成总量的$\frac{1}{3}$，则甲队每天完成的工作量为$\frac{1}{3} ÷ 2 = \frac{1}{6}$。
设乙队单独完成总量需要$x$天，则乙队每天完成的工作量为$\frac{1}{x}$。
根据总工作量为单位“1”，可列方程：
$\frac{1}{6} × 2 + ( \frac{1}{6} + \frac{1}{x} ) × 1 = 1$
解方程：
先化简左边：$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{x} = 1$，即$\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = 1$
移项得：$\frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，原分式方程分母不为0，$x=2$是原方程的解，且符合实际工作的意义。
【答案】
D
【知识点】
工程问题，分式方程的应用，分式方程验根
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题型，解题关键是熟练掌握工程问题的数量关系，准确找到工作量的等量关系列方程，同时注意分式方程求解后必须检验根是否符合要求及实际意义。
【难度系数】
0.7
3.某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2 400 m的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务，求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修x m，则根据题意可列方程为
$\frac{2\ 400}{x}-\frac{2\ 400}{(1+20\%)x}=8$
.答案
3.$\frac{2\ 400}{x}-\frac{2\ 400}{(1+20\%)x}=8$
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程应用题，解题思路如下：第一步先回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率；第二步找题中等量关系，题目给出“提前8小时完成任务”，说明原计划的工作时间减去实际的工作时间等于8小时；第三步分别用含x的代数式表示原计划和实际的工作时间；最后将两个时间代入等量关系即可列出方程。
【解析】
首先明确等量关系：$\mathrm{原计划工作时间} - \mathrm{实际工作时间} = 8\mathrm{小时}$。
1. 原计划工作效率为每小时$x$m，道路全长2400m，因此原计划工作时间为$\frac{2400}{x}$小时；
2. 实际工作效率比原计划提高20%，因此实际工作效率为$(1+20\%)x$ m/h，对应的实际工作时间为$\frac{2400}{(1+20\%)x}$小时；
3. 将两个时间代入等量关系，可得方程：$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{(1+20\%)x}=8$。
【答案】
$\frac{2\ 400}{x}-\frac{2\ 400}{(1+20\%)x}=8$
【知识点】
分式方程应用；工程问题；列代数式
【点评】
本题是分式方程应用的常规基础题，核心是找准时间差的等量关系，注意区分原计划和实际的工作效率，避免出现效率关系写错、时间相减顺序颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类分式方程应用题，解题思路如下：第一步先回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率；第二步找题中等量关系，题目给出“提前8小时完成任务”，说明原计划的工作时间减去实际的工作时间等于8小时；第三步分别用含x的代数式表示原计划和实际的工作时间；最后将两个时间代入等量关系即可列出方程。
【解析】
首先明确等量关系：$\mathrm{原计划工作时间} - \mathrm{实际工作时间} = 8\mathrm{小时}$。
1. 原计划工作效率为每小时$x$m，道路全长2400m，因此原计划工作时间为$\frac{2400}{x}$小时；
2. 实际工作效率比原计划提高20%，因此实际工作效率为$(1+20\%)x$ m/h，对应的实际工作时间为$\frac{2400}{(1+20\%)x}$小时；
3. 将两个时间代入等量关系，可得方程：$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{(1+20\%)x}=8$。
【答案】
$\frac{2\ 400}{x}-\frac{2\ 400}{(1+20\%)x}=8$
【知识点】
分式方程应用；工程问题；列代数式
【点评】
本题是分式方程应用的常规基础题，核心是找准时间差的等量关系，注意区分原计划和实际的工作效率，避免出现效率关系写错、时间相减顺序颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
4.甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队先单独施工20天，这时增加了乙队，两队又共同工作了8天，全部完成此项筑路工程。已知甲队单独施工需60天完成，若乙队单独施工需x天完成，根据题意可列方程为
$\frac{20}{60}+\frac{8}{60}+\frac{8}{x}=1$
。答案
4.$\frac{20}{60}+\frac{8}{60}+\frac{8}{x}=1$
解析
【分析】
这是工程类的分式方程应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程。首先推导两队的工作效率：甲单独完成需60天，效率为$\frac{1}{60}$，乙单独完成需x天，效率为$\frac{1}{x}$。再梳理施工过程：甲一共工作了“单独20天+共同8天”，乙仅在共同施工的8天工作，将各阶段的工作量相加等于总工作量1，即可列出方程。
【解析】
解：把这项筑路工程的总工作量看作单位“1”。
1. 计算工作效率：甲队单独施工60天完成，故甲队工作效率为$\frac{1}{60}$；乙队单独施工需x天完成，故乙队工作效率为$\frac{1}{x}$。
2. 计算各部分工作量：
① 甲队单独施工20天的工作量：$20×\frac{1}{60}=\frac{20}{60}$
② 两队共同工作8天期间，甲队的工作量：$8×\frac{1}{60}=\frac{8}{60}$
③ 两队共同工作8天期间，乙队的工作量：$8×\frac{1}{x}=\frac{8}{x}$
3. 总工作量为1，因此各部分工作量之和等于1，列方程得：
$\frac{20}{60}+\frac{8}{60}+\frac{8}{x}=1$
【答案】
$\frac{20}{60}+\frac{8}{60}+\frac{8}{x}=1$
【知识点】
工程问题等量关系；分式方程的实际应用；单位“1”的应用
【点评】
本题属于列方程解应用题的基础题型，解题的关键是准确梳理施工过程中每个队伍的工作时长，结合“总工作量为1”的隐含条件，拆分各部分工作量建立等量关系即可。
【难度系数】
0.7
这是工程类的分式方程应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程。首先推导两队的工作效率：甲单独完成需60天，效率为$\frac{1}{60}$，乙单独完成需x天，效率为$\frac{1}{x}$。再梳理施工过程：甲一共工作了“单独20天+共同8天”，乙仅在共同施工的8天工作，将各阶段的工作量相加等于总工作量1，即可列出方程。
【解析】
解：把这项筑路工程的总工作量看作单位“1”。
1. 计算工作效率：甲队单独施工60天完成，故甲队工作效率为$\frac{1}{60}$；乙队单独施工需x天完成，故乙队工作效率为$\frac{1}{x}$。
2. 计算各部分工作量：
① 甲队单独施工20天的工作量：$20×\frac{1}{60}=\frac{20}{60}$
② 两队共同工作8天期间，甲队的工作量：$8×\frac{1}{60}=\frac{8}{60}$
③ 两队共同工作8天期间，乙队的工作量：$8×\frac{1}{x}=\frac{8}{x}$
3. 总工作量为1，因此各部分工作量之和等于1，列方程得：
$\frac{20}{60}+\frac{8}{60}+\frac{8}{x}=1$
【答案】
$\frac{20}{60}+\frac{8}{60}+\frac{8}{x}=1$
【知识点】
工程问题等量关系；分式方程的实际应用；单位“1”的应用
【点评】
本题属于列方程解应用题的基础题型，解题的关键是准确梳理施工过程中每个队伍的工作时长，结合“总工作量为1”的隐含条件，拆分各部分工作量建立等量关系即可。
【难度系数】
0.7
5.某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20％作为销售价，共获利600元.第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15％作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元.问此商品的进价是多少元？
答案
5.解:设此商品的进价是x元，
根据题意，得$\frac{600}{20\%x}=\frac{600+150}{15\%x}-40$，
解得$x=50$.
经检验，$x=50$是原分式方程的解，且符合题意.
答:此商品的进价是50元.
根据题意，得$\frac{600}{20\%x}=\frac{600+150}{15\%x}-40$，
解得$x=50$.
经检验，$x=50$是原分式方程的解，且符合题意.
答:此商品的进价是50元.
解析
【分析】
这是一道分式方程在销售利润场景下的应用题，解题思路如下：首先明确销售问题的核心公式：单件利润=进价×利润率，销售数量=总利润÷单件利润。题目中明确给出第二个月销量比第一个月多40件，这就是列方程的等量关系：第一个月销售数量=第二个月销售数量-40。我们设商品进价为x元，分别用含x的式子表示出两个月的销售数量，代入等量关系即可列出分式方程求解，注意分式方程求出解后必须检验。
【解析】
解：设此商品的进价是x元，
根据“第一个月销量=第二个月销量-40”的等量关系，列方程得：
$\frac{600}{20\%x}=\frac{600+150}{15\%x}-40$
化简方程：
$\frac{3000}{x}=\frac{5000}{x}-40$
移项得：$\frac{5000}{x}-\frac{3000}{x}=40$
即$\frac{2000}{x}=40$，解得$x=50$。
经检验，$x=50$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际销售的逻辑。
答：此商品的进价是50元。
【答案】
50元
【知识点】
1.分式方程的应用
2.销售利润问题
【点评】
本题是分式方程实际应用的典型题型，解题核心是找准销量之间的等量关系，需注意求解分式方程后，既要检验解是否满足原方程，也要判断解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
这是一道分式方程在销售利润场景下的应用题，解题思路如下：首先明确销售问题的核心公式：单件利润=进价×利润率，销售数量=总利润÷单件利润。题目中明确给出第二个月销量比第一个月多40件，这就是列方程的等量关系：第一个月销售数量=第二个月销售数量-40。我们设商品进价为x元，分别用含x的式子表示出两个月的销售数量，代入等量关系即可列出分式方程求解，注意分式方程求出解后必须检验。
【解析】
解：设此商品的进价是x元，
根据“第一个月销量=第二个月销量-40”的等量关系，列方程得：
$\frac{600}{20\%x}=\frac{600+150}{15\%x}-40$
化简方程：
$\frac{3000}{x}=\frac{5000}{x}-40$
移项得：$\frac{5000}{x}-\frac{3000}{x}=40$
即$\frac{2000}{x}=40$，解得$x=50$。
经检验，$x=50$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际销售的逻辑。
答：此商品的进价是50元。
【答案】
50元
【知识点】
1.分式方程的应用
2.销售利润问题
【点评】
本题是分式方程实际应用的典型题型，解题核心是找准销量之间的等量关系，需注意求解分式方程后，既要检验解是否满足原方程，也要判断解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
