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6.汽车从甲地开往乙地，每小时行驶$a$ km，$t$ h可以到达，如果每小时多行驶$b$ km，那么可提前
$\frac{bt}{a+b}$
h到达。答案
6.$\frac{bt}{a+b}$
解析
【分析】
解题时要围绕行程问题的核心公式展开思考：第一步先根据原行驶速度和时间算出甲乙两地的总路程（路程是不变量）；第二步计算提速后的行驶速度，用总路程除以提速后的速度得到提速后需要的行驶时间；第三步用原来的行驶时间减去提速后的行驶时间，通过通分化简就能得到提前的时长。
【解析】
解：①计算甲乙两地总路程
根据“路程=速度×时间”，可得总路程 $S = a × t = at\ \mathrm{km}$
②计算提速后行驶全程的时间
提速后速度为$(a+b)\ \mathrm{km/h}$，因此所需时间 $t_1 = \frac{S}{a+b} = \frac{at}{a+b}\ \mathrm{h}$
③计算提前的时间
提前时长=原行驶时间-提速后行驶时间，即：
$\begin{aligned}\Delta t &= t - t_1 \\&= t - \frac{at}{a+b} \\&= \frac{t(a+b)}{a+b} - \frac{at}{a+b} \\&= \frac{at+bt-at}{a+b} \\&= \frac{bt}{a+b}\ \mathrm{h}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{bt}{a+b}$
【知识点】
行程问题数量关系、分式加减运算、分式化简
【点评】
本题结合实际出行场景考查分式的应用，解题关键是抓住总路程为不变量，先求出不同速度下的行驶时间再作差，计算时要注意通分规则，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
解题时要围绕行程问题的核心公式展开思考：第一步先根据原行驶速度和时间算出甲乙两地的总路程（路程是不变量）；第二步计算提速后的行驶速度，用总路程除以提速后的速度得到提速后需要的行驶时间；第三步用原来的行驶时间减去提速后的行驶时间，通过通分化简就能得到提前的时长。
【解析】
解：①计算甲乙两地总路程
根据“路程=速度×时间”，可得总路程 $S = a × t = at\ \mathrm{km}$
②计算提速后行驶全程的时间
提速后速度为$(a+b)\ \mathrm{km/h}$，因此所需时间 $t_1 = \frac{S}{a+b} = \frac{at}{a+b}\ \mathrm{h}$
③计算提前的时间
提前时长=原行驶时间-提速后行驶时间，即：
$\begin{aligned}\Delta t &= t - t_1 \\&= t - \frac{at}{a+b} \\&= \frac{t(a+b)}{a+b} - \frac{at}{a+b} \\&= \frac{at+bt-at}{a+b} \\&= \frac{bt}{a+b}\ \mathrm{h}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{bt}{a+b}$
【知识点】
行程问题数量关系、分式加减运算、分式化简
【点评】
本题结合实际出行场景考查分式的应用，解题关键是抓住总路程为不变量，先求出不同速度下的行驶时间再作差，计算时要注意通分规则，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
7.某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售.若用60元钱买这种水果，则可以比打折前多买3 kg.设该种水果打折前的单价为x元，则根据题意可列方程为
$\frac{60}{x}=\frac{60}{0.8x}-3$
.答案
7.$\frac{60}{x}=\frac{60}{0.8x}-3$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先要明确“数量=总价÷单价”这一基础数量关系。先分别表示出打折前、打折后用60元能买到的水果重量，再根据“打折后比打折前多买3kg”的关键条件梳理等量关系，整理后即可得到所求方程。
【解析】
1. 求打折前的购买重量：已知打折前单价为x元，总金额为60元，因此打折前可购买的水果重量为$\frac{60}{x}$kg；
2. 求打折后的购买重量：打8折后单价变为$0.8x$元，总金额不变，因此打折后可购买的水果重量为$\frac{60}{0.8x}$kg；
3. 根据等量关系列方程：由“打折后比打折前多买3kg”可得，打折后重量 - 打折前重量 = 3kg，即$\frac{60}{0.8x}-\frac{60}{x}=3$，移项后得到$\frac{60}{x}=\frac{60}{0.8x}-3$。
【答案】
$\frac{60}{x}=\frac{60}{0.8x}-3$
【知识点】
1. 分式方程应用 2. 销售打折问题 3. 等量关系建立
【点评】
本题是分式方程应用的基础常规题，核心考查销售场景下总价、单价、数量的数量关系，解题关键是准确抓住打折前后购买重量的差值这一等量条件，注意不要混淆打折前后的单价计算。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先要明确“数量=总价÷单价”这一基础数量关系。先分别表示出打折前、打折后用60元能买到的水果重量，再根据“打折后比打折前多买3kg”的关键条件梳理等量关系，整理后即可得到所求方程。
【解析】
1. 求打折前的购买重量：已知打折前单价为x元，总金额为60元，因此打折前可购买的水果重量为$\frac{60}{x}$kg；
2. 求打折后的购买重量：打8折后单价变为$0.8x$元，总金额不变，因此打折后可购买的水果重量为$\frac{60}{0.8x}$kg；
3. 根据等量关系列方程：由“打折后比打折前多买3kg”可得，打折后重量 - 打折前重量 = 3kg，即$\frac{60}{0.8x}-\frac{60}{x}=3$，移项后得到$\frac{60}{x}=\frac{60}{0.8x}-3$。
【答案】
$\frac{60}{x}=\frac{60}{0.8x}-3$
【知识点】
1. 分式方程应用 2. 销售打折问题 3. 等量关系建立
【点评】
本题是分式方程应用的基础常规题，核心考查销售场景下总价、单价、数量的数量关系，解题关键是准确抓住打折前后购买重量的差值这一等量条件，注意不要混淆打折前后的单价计算。
【难度系数】
0.8
8.某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树x棵，则根据题意可列方程为
$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{1.2x}=8$
.答案
8.$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{1.2x}=8$
解析
【分析】
本题是工程类分式方程应用题，解题思路如下：首先明确工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。我们需要先分别求出原计划完成植树任务的时间、实际完成植树任务的时间，再根据“提前8天完成任务”的条件，确定等量关系为“原计划用时 - 实际用时 = 8天”，最后将两个时间代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 求原计划完成任务的时间：总植树量为2400棵，原计划每天植树x棵，根据公式可得原计划用时为$\frac{2400}{x}$天。
2. 求实际完成任务的时间：实际每天植树量比原计划多20%，因此实际每天植树量为$x×(1+20\%)=1.2x$棵，同理可得实际用时为$\frac{2400}{1.2x}$天。
3. 根据时间差列方程：实际比原计划提前8天完成，即原计划用时比实际用时多8天，因此列得方程$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{1.2x}=8$。
【答案】
$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{1.2x}=8$
【知识点】
分式方程应用；工程问题；百分数计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，明确工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，正确表示实际工作效率是避免出错的关键。
【难度系数】
0.75
本题是工程类分式方程应用题，解题思路如下：首先明确工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。我们需要先分别求出原计划完成植树任务的时间、实际完成植树任务的时间，再根据“提前8天完成任务”的条件，确定等量关系为“原计划用时 - 实际用时 = 8天”，最后将两个时间代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 求原计划完成任务的时间：总植树量为2400棵，原计划每天植树x棵，根据公式可得原计划用时为$\frac{2400}{x}$天。
2. 求实际完成任务的时间：实际每天植树量比原计划多20%，因此实际每天植树量为$x×(1+20\%)=1.2x$棵，同理可得实际用时为$\frac{2400}{1.2x}$天。
3. 根据时间差列方程：实际比原计划提前8天完成，即原计划用时比实际用时多8天，因此列得方程$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{1.2x}=8$。
【答案】
$\frac{2400}{x}-\frac{2400}{1.2x}=8$
【知识点】
分式方程应用；工程问题；百分数计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，明确工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，正确表示实际工作效率是避免出错的关键。
【难度系数】
0.75
9.甲、乙两人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做4个,甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等,则乙每小时所做零件的个数为
8
.答案
9.8
解析
【分析】
这是一道工作效率类的分式方程应用题，解题核心是找准等量关系：甲做60个零件的时间=乙做40个零件的时间。首先设乙每小时做x个零件，即可表示出甲的工作效率为(x+4)个/小时，再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出两人的工作时间，结合等量关系列分式方程，最后解方程并检验即可得到结果。
【解析】
解：设乙每小时做$ x $个零件，则甲每小时做$ (x+4) $个零件。
根据题意，甲做60个的时间与乙做40个的时间相等，可列方程：
$\frac{60}{x+4} = \frac{40}{x}$
交叉相乘去分母得：
$60x = 40(x+4)$
展开括号：
$60x = 40x + 160$
移项、合并同类项得：
$20x = 160$
解得：
$x = 8$
检验：当$ x=8 $时，$ x(x+4)=8×12=96≠0 $，所以$ x=8 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
8
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的解法；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是抓住题目中相等的时间量建立等量关系，需要注意解完分式方程后必须检验根是否满足分母不为0，同时要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.8
这是一道工作效率类的分式方程应用题，解题核心是找准等量关系：甲做60个零件的时间=乙做40个零件的时间。首先设乙每小时做x个零件，即可表示出甲的工作效率为(x+4)个/小时，再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出两人的工作时间，结合等量关系列分式方程，最后解方程并检验即可得到结果。
【解析】
解：设乙每小时做$ x $个零件，则甲每小时做$ (x+4) $个零件。
根据题意，甲做60个的时间与乙做40个的时间相等，可列方程：
$\frac{60}{x+4} = \frac{40}{x}$
交叉相乘去分母得：
$60x = 40(x+4)$
展开括号：
$60x = 40x + 160$
移项、合并同类项得：
$20x = 160$
解得：
$x = 8$
检验：当$ x=8 $时，$ x(x+4)=8×12=96≠0 $，所以$ x=8 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
8
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的解法；工程问题等量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是抓住题目中相等的时间量建立等量关系，需要注意解完分式方程后必须检验根是否满足分母不为0，同时要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.8
10.(2023,台州,15)植树节期间,某校环保小卫士组织植树活动.第一组植树12棵;第二组比第一组多6人,植树36棵,结果两组平均每人植树的棵数相等,则第一组有
3
人.答案
10.3
解析
【分析】
解题时首先抓住题目给出的核心等量关系：两组平均每人植树的棵数相等。我们可以设第一组的人数为未知数$x$，由此表示出第二组的人数，再分别用“总植树棵数÷对应人数”表示两组平均每人植树的棵数，根据等量关系列出分式方程，求解后要检验根既要满足原方程，又要符合实际意义。
【解析】
解：设第一组有$ x $人，则第二组有$ (x+6) $人。
根据两组平均每人植树棵数相等，列方程得：
$\frac{12}{x}=\frac{36}{x+6}$
交叉相乘去分母得：
$12(x+6)=36x$
展开括号：
$12x + 72 = 36x$
移项合并同类项：
$24x = 72$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x≠0$，$x+6=9≠0$，所以$x=3$是原分式方程的解，且人数为正整数，符合实际意义。
【答案】
3
【知识点】
分式方程应用，分式方程解法，实际问题验根
【点评】
本题是分式方程在实际场景中的基础应用，解题关键是找准等量关系列方程，要注意分式方程求解后必须检验，既要保证根是原方程的解，也要符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题目给出的核心等量关系：两组平均每人植树的棵数相等。我们可以设第一组的人数为未知数$x$，由此表示出第二组的人数，再分别用“总植树棵数÷对应人数”表示两组平均每人植树的棵数，根据等量关系列出分式方程，求解后要检验根既要满足原方程，又要符合实际意义。
【解析】
解：设第一组有$ x $人，则第二组有$ (x+6) $人。
根据两组平均每人植树棵数相等，列方程得：
$\frac{12}{x}=\frac{36}{x+6}$
交叉相乘去分母得：
$12(x+6)=36x$
展开括号：
$12x + 72 = 36x$
移项合并同类项：
$24x = 72$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x≠0$，$x+6=9≠0$，所以$x=3$是原分式方程的解，且人数为正整数，符合实际意义。
【答案】
3
【知识点】
分式方程应用，分式方程解法，实际问题验根
【点评】
本题是分式方程在实际场景中的基础应用，解题关键是找准等量关系列方程，要注意分式方程求解后必须检验，既要保证根是原方程的解，也要符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.8
11.某商店第一次用3 000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2 400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个.问第一次每个书包的进价是多少元？
答案
11.解:设第一次每个书包的进价是x元，
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-20=\frac{2\ 400}{1.2x}$，
解得$x=50$.
经检验，$x=50$是原分式方程的解，且符合题意.
答:第一次每个书包的进价是50元.
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-20=\frac{2\ 400}{1.2x}$，
解得$x=50$.
经检验，$x=50$是原分式方程的解，且符合题意.
答:第一次每个书包的进价是50元.
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题时首先要找准题目中的核心等量关系：第一次购进书包的数量减去20个等于第二次购进书包的数量。我们可以设第一次每个书包的进价为x元，根据“购进数量=总进价÷单个进价”分别表示出两次购进书包的数量，再代入等量关系列出分式方程，求解后注意要检验解是否为原方程的根、是否符合实际意义。
【解析】
解：设第一次每个书包的进价是x元，
根据题意列方程得：$\frac{3\ 000}{x}-20=\frac{2\ 400}{1.2x}$
化简方程右侧得$\frac{2400}{1.2x}=\frac{2000}{x}$，方程变为：
$\frac{3000}{x}-20=\frac{2000}{x}$
移项合并得：$\frac{1000}{x}=20$
解得$x=50$
经检验，$x=50$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际进货的题意。
答：第一次每个书包的进价是50元。
【答案】
50元
【知识点】
分式方程应用；分式方程求解；等量关系寻找
【点评】
本题属于分式方程基础应用题型，解题核心是抓住两次购进书包的数量差这一等量关系列方程，需要注意分式方程求出解后必须进行双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证解是否符合实际场景。
【难度系数】
0.75
这是一道分式方程的实际应用题，解题时首先要找准题目中的核心等量关系：第一次购进书包的数量减去20个等于第二次购进书包的数量。我们可以设第一次每个书包的进价为x元，根据“购进数量=总进价÷单个进价”分别表示出两次购进书包的数量，再代入等量关系列出分式方程，求解后注意要检验解是否为原方程的根、是否符合实际意义。
【解析】
解：设第一次每个书包的进价是x元，
根据题意列方程得：$\frac{3\ 000}{x}-20=\frac{2\ 400}{1.2x}$
化简方程右侧得$\frac{2400}{1.2x}=\frac{2000}{x}$，方程变为：
$\frac{3000}{x}-20=\frac{2000}{x}$
移项合并得：$\frac{1000}{x}=20$
解得$x=50$
经检验，$x=50$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际进货的题意。
答：第一次每个书包的进价是50元。
【答案】
50元
【知识点】
分式方程应用；分式方程求解；等量关系寻找
【点评】
本题属于分式方程基础应用题型，解题核心是抓住两次购进书包的数量差这一等量关系列方程，需要注意分式方程求出解后必须进行双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证解是否符合实际场景。
【难度系数】
0.75
12.某村修筑了一条长 3 000 m 的公路，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 5 天完成任务.问原计划每天修路多少米？
答案
12.解:设原计划每天修路x m，
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-\frac{3\ 000}{(1+20\%)x}=5$，
解得$x=100$.
经检验，$x=100$是原分式方程的解，且符合题意.
答:原计划每天修路100 m.
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-\frac{3\ 000}{(1+20\%)x}=5$，
解得$x=100$.
经检验，$x=100$是原分式方程的解，且符合题意.
答:原计划每天修路100 m.
解析
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题思路如下：1. 明确工程问题核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率；2. 提取题中等量关系：原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 5天；3. 设原计划每天修路x m，可推出实际工作效率为(1+20%)x m，分别用工作总量除以效率表示出原计划、实际的工作时间，代入等量关系即可列出分式方程；4. 求解后因为是分式方程，必须检验根是否满足方程且符合实际意义，最后作答即可。
【解析】
解：设原计划每天修路$x$ m，
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-\frac{3\ 000}{(1+20\%)x}=5$，
解方程：先化简得$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{1.2x}=5$，方程两边同乘$1.2x$去分母得：
$3000×1.2 - 3000 = 5×1.2x$
计算得$3600-3000=6x$，即$6x=600$，解得$x=100$。
经检验，$x=100$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
答：原计划每天修路100 m。
【答案】
原计划每天修路100 m。
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、分式方程验根
【点评】
本题是分式方程应用的常规基础题型，解题核心是找准时间差的等量关系，需要注意分式方程求解后要做双重检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际场景，是工程类应用题的常考题型。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程应用题，解题思路如下：1. 明确工程问题核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率；2. 提取题中等量关系：原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 5天；3. 设原计划每天修路x m，可推出实际工作效率为(1+20%)x m，分别用工作总量除以效率表示出原计划、实际的工作时间，代入等量关系即可列出分式方程；4. 求解后因为是分式方程，必须检验根是否满足方程且符合实际意义，最后作答即可。
【解析】
解：设原计划每天修路$x$ m，
根据题意，得$\frac{3\ 000}{x}-\frac{3\ 000}{(1+20\%)x}=5$，
解方程：先化简得$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{1.2x}=5$，方程两边同乘$1.2x$去分母得：
$3000×1.2 - 3000 = 5×1.2x$
计算得$3600-3000=6x$，即$6x=600$，解得$x=100$。
经检验，$x=100$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
答：原计划每天修路100 m。
【答案】
原计划每天修路100 m。
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、分式方程验根
【点评】
本题是分式方程应用的常规基础题型，解题核心是找准时间差的等量关系，需要注意分式方程求解后要做双重检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际场景，是工程类应用题的常考题型。
【难度系数】
0.7
