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19. 已知$M=5x^2 - 2x - 1$，$N=3x^2 - 2x - 5$。
（1）当$x=-1$时，求代数式$3M-(2M+3N)$的值；
（2）试判断$M$，$N$的大小关系，并说明理由。
（1）当$x=-1$时，求代数式$3M-(2M+3N)$的值；
（2）试判断$M$，$N$的大小关系，并说明理由。
答案
19. （1）原式$=3M-2M-3N=M-3N$,把$M=5x^2-2x-1,N=3x^2-2x-5$代入,得原式$=5x^2-2x-1-3(3x^2-2x-5)=5x^2-2x-1-9x^2+6x+15=-4x^2+4x+14$,当$x=-1$时,原式$=-4×(-1)^2+4×(-1)+14=-4-4+14=6$.
（2）$M＞N$,理由如下:$M-N=5x^2-2x-1-(3x^2-2x-5)=5x^2-2x-1-3x^2+2x+5=2x^2+4$,因为无论$x$为何值,$2x^2≥0$,即$2x^2+4≥4$,所以$M＞N$.
（2）$M＞N$,理由如下:$M-N=5x^2-2x-1-(3x^2-2x-5)=5x^2-2x-1-3x^2+2x+5=2x^2+4$,因为无论$x$为何值,$2x^2≥0$,即$2x^2+4≥4$,所以$M＞N$.
解析
【分析】
（1）求解代数式值时，优先化简所求代数式可减少计算量。先对$3M-(2M+3N)$去括号、合并同类项得到最简形式，再代入$M$、$N$的表达式整理为仅含$x$的整式，最后代入$x=-1$计算即可。
（2）比较两个代数式大小常用作差法：计算$M-N$的结果，若差值恒大于0则$M＞N$，恒小于0则$M＜N$，恒等于0则$M=N$。计算出$M-N$的表达式后，结合平方的非负性判断差值的正负，即可确定$M$、$N$的大小关系。
【解析】
（1）先化简待求代数式：
$3M-(2M+3N)=3M-2M-3N=M-3N$
将$M=5x^2 - 2x - 1$，$N=3x^2 - 2x - 5$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=5x^2 - 2x - 1 - 3(3x^2 - 2x - 5)\\&=5x^2 - 2x - 1 - 9x^2 + 6x + 15\\&=-4x^2 + 4x + 14\end{aligned}$
当$x=-1$时，代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-1)^2 + 4×(-1) + 14\\&=-4 -4 +14\\&=6\end{aligned}$
（2）$M＞N$，理由如下：
计算$M$与$N$的差值：
$\begin{aligned}M-N&=5x^2 - 2x - 1 - (3x^2 - 2x - 5)\\&=5x^2 - 2x - 1 - 3x^2 + 2x + 5\\&=2x^2 + 4\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，所以$2x^2≥0$，可得$2x^2 + 4≥4＞0$，即$M-N＞0$，因此$M＞N$。
【答案】
（1）$\boxed{6}$；（2）$\boxed{M＞N}$
【知识点】
整式的化简求值、作差法比较大小、平方的非负性
【点评】
本题是整式加减的常规应用题型，第一问先化简后代入求值的思路能有效简化计算、降低出错概率；第二问的作差法是比较代数式大小的核心常用方法，结合平方的非负性判断差值符号即可得出结论，熟练掌握整式加减的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）求解代数式值时，优先化简所求代数式可减少计算量。先对$3M-(2M+3N)$去括号、合并同类项得到最简形式，再代入$M$、$N$的表达式整理为仅含$x$的整式，最后代入$x=-1$计算即可。
（2）比较两个代数式大小常用作差法：计算$M-N$的结果，若差值恒大于0则$M＞N$，恒小于0则$M＜N$，恒等于0则$M=N$。计算出$M-N$的表达式后，结合平方的非负性判断差值的正负，即可确定$M$、$N$的大小关系。
【解析】
（1）先化简待求代数式：
$3M-(2M+3N)=3M-2M-3N=M-3N$
将$M=5x^2 - 2x - 1$，$N=3x^2 - 2x - 5$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=5x^2 - 2x - 1 - 3(3x^2 - 2x - 5)\\&=5x^2 - 2x - 1 - 9x^2 + 6x + 15\\&=-4x^2 + 4x + 14\end{aligned}$
当$x=-1$时，代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-1)^2 + 4×(-1) + 14\\&=-4 -4 +14\\&=6\end{aligned}$
（2）$M＞N$，理由如下：
计算$M$与$N$的差值：
$\begin{aligned}M-N&=5x^2 - 2x - 1 - (3x^2 - 2x - 5)\\&=5x^2 - 2x - 1 - 3x^2 + 2x + 5\\&=2x^2 + 4\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，所以$2x^2≥0$，可得$2x^2 + 4≥4＞0$，即$M-N＞0$，因此$M＞N$。
【答案】
（1）$\boxed{6}$；（2）$\boxed{M＞N}$
【知识点】
整式的化简求值、作差法比较大小、平方的非负性
【点评】
本题是整式加减的常规应用题型，第一问先化简后代入求值的思路能有效简化计算、降低出错概率；第二问的作差法是比较代数式大小的核心常用方法，结合平方的非负性判断差值符号即可得出结论，熟练掌握整式加减的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
20. 先化简,再求值:
(1) $2x^2 - [x^2 - (3x^2 + 2x - 1)]$, 其中 $x=\frac{1}{2}$;
(2) 已知 $(a+2)^2 + |b-1|=0$, 求代数式 $5(3a^2b - ab^2) - (ab^2 + 3a^2b)$ 的值;
(3) $(3a - 2a^2) - [5a - \frac{1}{3}(6a^2 - 9a) - 4a^2]$, 其中 $a=-\frac{1}{4}$;
(4) 已知 $a^2 - b^2=6$, $ab=2$, 求代数式 $2a^2 - [(3ab + b^2) - (a^2 - ab - 2b^2)]$ 的值.
(1) $2x^2 - [x^2 - (3x^2 + 2x - 1)]$, 其中 $x=\frac{1}{2}$;
(2) 已知 $(a+2)^2 + |b-1|=0$, 求代数式 $5(3a^2b - ab^2) - (ab^2 + 3a^2b)$ 的值;
(3) $(3a - 2a^2) - [5a - \frac{1}{3}(6a^2 - 9a) - 4a^2]$, 其中 $a=-\frac{1}{4}$;
(4) 已知 $a^2 - b^2=6$, $ab=2$, 求代数式 $2a^2 - [(3ab + b^2) - (a^2 - ab - 2b^2)]$ 的值.
答案
20. (1) 原式$=4x^2+2x-1$,当$x=\frac{1}{2}$时,原式$=1$.
(2) 原式$=12a^2b-6ab^2$,由题意,得$a=-2,b=1$,原式$=60$.
(3) 原式$=4a^2-5a$,当$a=-\frac{1}{4}$时,原式$=\frac{3}{2}$.
(4) 原式$=3(a^2-b^2)-4ab$,当$a^2-b^2=6,ab=2$时,原式$=10$.
(2) 原式$=12a^2b-6ab^2$,由题意,得$a=-2,b=1$,原式$=60$.
(3) 原式$=4a^2-5a$,当$a=-\frac{1}{4}$时,原式$=\frac{3}{2}$.
(4) 原式$=3(a^2-b^2)-4ab$,当$a^2-b^2=6,ab=2$时,原式$=10$.
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，通用解题思路为：先通过去括号、合并同类项将整式化为最简形式，再代入对应数值计算。各小问具体思路如下：
(1) 按照从外向内的顺序逐层去括号，去括号时注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，合并同类项后代入x的值计算即可；
(2) 先化简代数式，再根据“平方和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0”的性质求出a、b的取值，代入最简式计算；
(3) 去括号时注意先计算括号前的分数系数与括号内各项的乘积，再合并同类项，最后代入a的值计算；
(4) 化简代数式后将式子整理为含有已知条件$a^2-b^2$和$ab$的形式，无需计算a、b的具体值，直接整体代入已知条件求值即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=2x^2 - x^2 + (3x^2 + 2x - 1)\\&=2x^2 - x^2 + 3x^2 + 2x - 1\\&=4x^2 + 2x - 1\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$代入最简式：$原式=4×(\frac{1}{2})^2 + 2×\frac{1}{2} - 1=1$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=15a^2b - 5ab^2 - ab^2 - 3a^2b\\&=12a^2b - 6ab^2\end{aligned}$
$\because (a+2)^2≥0, |b-1|≥0$，且$(a+2)^2 + |b-1|=0$
$\therefore a+2=0, b-1=0$，解得$a=-2, b=1$
代入最简式得：$原式=12×(-2)^2×1 - 6×(-2)×1^2=60$
(3) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=3a - 2a^2 - (5a - 2a^2 + 3a - 4a^2)\\&=3a - 2a^2 - 5a + 2a^2 - 3a + 4a^2\\&=4a^2 - 5a\end{aligned}$
将$a=-\frac{1}{4}$代入最简式：$原式=4×(-\frac{1}{4})^2 - 5×(-\frac{1}{4})=\frac{3}{2}$
(4) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=2a^2 - (3ab + b^2 - a^2 + ab + 2b^2)\\&=2a^2 - 3ab - b^2 + a^2 - ab - 2b^2\\&=3(a^2 - b^2) - 4ab\end{aligned}$
将$a^2 - b^2=6, ab=2$整体代入得：$原式=3×6 - 4×2=10$
【答案】
(1) 原式$=4x^2+2x-1$,当$x=\frac{1}{2}$时,原式$=1$；
(2) 原式$=12a^2b-6ab^2$,由题意,得$a=-2,b=1$,原式$=60$；
(3) 原式$=4a^2-5a$,当$a=-\frac{1}{4}$时,原式$=\frac{3}{2}$；
(4) 原式$=3(a^2-b^2)-4ab$,当$a^2-b^2=6,ab=2$时,原式$=10$。
【知识点】
整式化简求值，非负数的性质，整体代入求值
【点评】
本题是整式章节的典型基础题型，核心考查去括号、合并同类项的运算能力，去括号时要格外注意符号变化规则，遇到非负项和为0的情况可直接求出对应字母的值，对于无具体字母取值的题目要灵活运用整体代入思想简化运算，降低计算量。
【难度系数】
0.7
本题是整式化简求值类题目，通用解题思路为：先通过去括号、合并同类项将整式化为最简形式，再代入对应数值计算。各小问具体思路如下：
(1) 按照从外向内的顺序逐层去括号，去括号时注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，合并同类项后代入x的值计算即可；
(2) 先化简代数式，再根据“平方和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0”的性质求出a、b的取值，代入最简式计算；
(3) 去括号时注意先计算括号前的分数系数与括号内各项的乘积，再合并同类项，最后代入a的值计算；
(4) 化简代数式后将式子整理为含有已知条件$a^2-b^2$和$ab$的形式，无需计算a、b的具体值，直接整体代入已知条件求值即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=2x^2 - x^2 + (3x^2 + 2x - 1)\\&=2x^2 - x^2 + 3x^2 + 2x - 1\\&=4x^2 + 2x - 1\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$代入最简式：$原式=4×(\frac{1}{2})^2 + 2×\frac{1}{2} - 1=1$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=15a^2b - 5ab^2 - ab^2 - 3a^2b\\&=12a^2b - 6ab^2\end{aligned}$
$\because (a+2)^2≥0, |b-1|≥0$，且$(a+2)^2 + |b-1|=0$
$\therefore a+2=0, b-1=0$，解得$a=-2, b=1$
代入最简式得：$原式=12×(-2)^2×1 - 6×(-2)×1^2=60$
(3) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=3a - 2a^2 - (5a - 2a^2 + 3a - 4a^2)\\&=3a - 2a^2 - 5a + 2a^2 - 3a + 4a^2\\&=4a^2 - 5a\end{aligned}$
将$a=-\frac{1}{4}$代入最简式：$原式=4×(-\frac{1}{4})^2 - 5×(-\frac{1}{4})=\frac{3}{2}$
(4) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=2a^2 - (3ab + b^2 - a^2 + ab + 2b^2)\\&=2a^2 - 3ab - b^2 + a^2 - ab - 2b^2\\&=3(a^2 - b^2) - 4ab\end{aligned}$
将$a^2 - b^2=6, ab=2$整体代入得：$原式=3×6 - 4×2=10$
【答案】
(1) 原式$=4x^2+2x-1$,当$x=\frac{1}{2}$时,原式$=1$；
(2) 原式$=12a^2b-6ab^2$,由题意,得$a=-2,b=1$,原式$=60$；
(3) 原式$=4a^2-5a$,当$a=-\frac{1}{4}$时,原式$=\frac{3}{2}$；
(4) 原式$=3(a^2-b^2)-4ab$,当$a^2-b^2=6,ab=2$时,原式$=10$。
【知识点】
整式化简求值，非负数的性质，整体代入求值
【点评】
本题是整式章节的典型基础题型，核心考查去括号、合并同类项的运算能力，去括号时要格外注意符号变化规则，遇到非负项和为0的情况可直接求出对应字母的值，对于无具体字母取值的题目要灵活运用整体代入思想简化运算，降低计算量。
【难度系数】
0.7
21. 已知：$-a$是最大的负整数，$|b|=1$，$|c|=5$，且$bc＜0$，$b+c＞0$ 请回答问题.
(1) 请直接写出$a,b,c$的值：$a=$
(2) 在数轴上，$a,b,c$所对应的点分别为$A,B,C$，点$P$为一动点，其对应的数为$x$，点$P$在$A$到$B$之间运动时，请化简式子：$|x+1|-3|x-1|-2|x-5|$（写出化简过程）；
(3) 在(1)(2)的条件下，点$A,B,C$开始在数轴上运动，若点$B$以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点$A$和点$C$分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设$t$秒钟过后，若点$B$与点$C$之间的距离表示为$BC$，点$A$与点$B$之间的距离表示为$AB$. 请问：$2BC-3AB$的值是否随着时间$t$的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.
(1) 请直接写出$a,b,c$的值：$a=$
1
，$b=$-1
，$c=$5
；(2) 在数轴上，$a,b,c$所对应的点分别为$A,B,C$，点$P$为一动点，其对应的数为$x$，点$P$在$A$到$B$之间运动时，请化简式子：$|x+1|-3|x-1|-2|x-5|$（写出化简过程）；
(3) 在(1)(2)的条件下，点$A,B,C$开始在数轴上运动，若点$B$以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点$A$和点$C$分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设$t$秒钟过后，若点$B$与点$C$之间的距离表示为$BC$，点$A$与点$B$之间的距离表示为$AB$. 请问：$2BC-3AB$的值是否随着时间$t$的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.
答案
21. (1) 1 -1 5
(2) $\because$点A表示的数为1,点B表示的数为-1,P为AB之间的点, $\therefore -1≤ x≤1,\therefore x+1≥0,x-1≤0,x-5＜0$,则原式$=x+1+3(x-1)+2(x-5)=x+1+3x-3+2x-10=6x-12$.
(3) 由题意,得A对应的数为$(1+3t)$,B对应的数为$(-1-t)$,C对应的数为$(5+5t)$,$\therefore AB=(1+3t)-(-1-t)=1+3t+1+t=2+4t,BC=(5+5t)-(-1-t)=5+5t+1+t=6+6t$,代入得$2BC-3AB=2(6+6t)-3(2+4t)=12+12t-6-12t=6$.
(2) $\because$点A表示的数为1,点B表示的数为-1,P为AB之间的点, $\therefore -1≤ x≤1,\therefore x+1≥0,x-1≤0,x-5＜0$,则原式$=x+1+3(x-1)+2(x-5)=x+1+3x-3+2x-10=6x-12$.
(3) 由题意,得A对应的数为$(1+3t)$,B对应的数为$(-1-t)$,C对应的数为$(5+5t)$,$\therefore AB=(1+3t)-(-1-t)=1+3t+1+t=2+4t,BC=(5+5t)-(-1-t)=5+5t+1+t=6+6t$,代入得$2BC-3AB=2(6+6t)-3(2+4t)=12+12t-6-12t=6$.
解析
【分析】
(1) 先根据有理数概念确定a：最大的负整数是-1，由此可求出a的值；再根据绝对值的性质得到b、c的所有可能取值，结合bc＜0（b、c异号）、b+c＞0（正数绝对值更大）的限制条件，筛选出符合要求的b、c值。
(2) 先确定点P在A、B之间时x的取值范围，再根据“非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数”的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项完成化简。
(3) 按照“向左运动对应数减，向右运动对应数加”的规律，用含t的式子分别表示t秒后A、B、C三点对应的数，再根据“数轴上两点距离=右侧点表示的数-左侧点表示的数”求出BC、AB的表达式，代入2BC-3AB化简，若结果不含t则值不随t变化，反之则变化。
【解析】
(1)
∵-a是最大的负整数，最大的负整数为-1，
∴-a=-1，解得a=1；
由|b|=1得b=±1，由|c|=5得c=±5；
∵bc＜0，说明b、c异号，且b+c＞0，若c=-5，无论b取1或-1，b+c均小于0，不符合要求，故c=5，此时b需为负数，即b=-1。
(2) 由题可知点A对应数1，点B对应数-1，点P在A、B之间运动，
∴x的取值范围是-1≤x≤1，
因此x+1≥0，x-1≤0，x-5＜0，
去绝对值化简得：
|x+1|-3|x-1|-2|x-5|
=x+1 + 3(x-1) + 2(x-5)
=x+1 + 3x - 3 + 2x - 10
=6x - 12
(3) 2BC-3AB的值不随时间t变化，求解如下：
t秒后，点B向左运动，对应数为：-1 - t；
点A向右运动，对应数为：1 + 3t；
点C向右运动，对应数为：5 + 5t；
∴AB=(1+3t)-(-1-t)=2+4t，BC=(5+5t)-(-1-t)=6+6t，
代入得：2BC-3AB=2(6+6t)-3(2+4t)=12+12t-6-12t=6。
【答案】
(1) 1，-1，5；
(2) 6x-12；
(3) 不变，值为6。
【知识点】
绝对值的化简，数轴动点问题，整式的加减运算
【点评】
本题综合考查了有理数基础概念、绝对值性质、整式化简以及数轴动点的相关知识，解题关键是先准确求出字母取值，再结合范围去绝对值，动点问题中正确用含t的式子表示各点对应数是核心突破点。
【难度系数】
0.65
(1) 先根据有理数概念确定a：最大的负整数是-1，由此可求出a的值；再根据绝对值的性质得到b、c的所有可能取值，结合bc＜0（b、c异号）、b+c＞0（正数绝对值更大）的限制条件，筛选出符合要求的b、c值。
(2) 先确定点P在A、B之间时x的取值范围，再根据“非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数”的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项完成化简。
(3) 按照“向左运动对应数减，向右运动对应数加”的规律，用含t的式子分别表示t秒后A、B、C三点对应的数，再根据“数轴上两点距离=右侧点表示的数-左侧点表示的数”求出BC、AB的表达式，代入2BC-3AB化简，若结果不含t则值不随t变化，反之则变化。
【解析】
(1)
∵-a是最大的负整数，最大的负整数为-1，
∴-a=-1，解得a=1；
由|b|=1得b=±1，由|c|=5得c=±5；
∵bc＜0，说明b、c异号，且b+c＞0，若c=-5，无论b取1或-1，b+c均小于0，不符合要求，故c=5，此时b需为负数，即b=-1。
(2) 由题可知点A对应数1，点B对应数-1，点P在A、B之间运动，
∴x的取值范围是-1≤x≤1，
因此x+1≥0，x-1≤0，x-5＜0，
去绝对值化简得：
|x+1|-3|x-1|-2|x-5|
=x+1 + 3(x-1) + 2(x-5)
=x+1 + 3x - 3 + 2x - 10
=6x - 12
(3) 2BC-3AB的值不随时间t变化，求解如下：
t秒后，点B向左运动，对应数为：-1 - t；
点A向右运动，对应数为：1 + 3t；
点C向右运动，对应数为：5 + 5t；
∴AB=(1+3t)-(-1-t)=2+4t，BC=(5+5t)-(-1-t)=6+6t，
代入得：2BC-3AB=2(6+6t)-3(2+4t)=12+12t-6-12t=6。
【答案】
(1) 1，-1，5；
(2) 6x-12；
(3) 不变，值为6。
【知识点】
绝对值的化简，数轴动点问题，整式的加减运算
【点评】
本题综合考查了有理数基础概念、绝对值性质、整式化简以及数轴动点的相关知识，解题关键是先准确求出字母取值，再结合范围去绝对值，动点问题中正确用含t的式子表示各点对应数是核心突破点。
【难度系数】
0.65
