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7.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；若购甲1件、乙2件、丙3件共需285元；若购甲2件、乙1件、丙2件共需235元，则甲、乙、丙三种货物的单价分别是（
A.50元、65元、35元
B.35元、50元、65元
C.50元、35元、65元
D.35元、65元、50元
A
）A.50元、65元、35元
B.35元、50元、65元
C.50元、35元、65元
D.35元、65元、50元
答案
7.A
解析
【分析】
我们可以先设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x元、y元、z元，题干给出了三种不同购买组合的总费用，刚好对应三个包含x、y、z的等量关系，我们可以据此列出三元一次方程组，再通过消元法逐步求出三个未知数的值即可；也可以直接将选项代入题干的三个条件验证，快速选出正确答案。
【解析】
解：设甲货物的单价为x元，乙货物的单价为y元，丙货物的单价为z元，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 315 \quad \mathrm{①} \\x + 2y + 3z = 285 \quad \mathrm{②} \\2x + y + 2z = 235 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
步骤1：消去y，用①$-$②得：
$3x + 2y + z - (x + 2y + 3z) = 315 - 285$
化简得：$2x - 2z = 30$，即$x = z + 15$ ④
步骤2：将③$×2$得：$4x + 2y + 4z = 470$ ⑤，用⑤$-$②得：
$4x + 2y + 4z - (x + 2y + 3z) = 470 - 285$
化简得：$3x + z = 185$ ⑥
步骤3：将④代入⑥得：
$3(z + 15) + z = 185$
解得：$z = 35$
把$z=35$代入④得：$x = 35 + 15 = 50$
把$x=50$，$z=35$代入③得：
$2×50 + y + 2×35 = 235$
解得：$y = 65$
因此甲单价50元，乙单价65元，丙单价35元，对应选项A。
（也可代入验证：将A选项数值分别代入三个条件，均符合总费用要求，故A正确。）
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组的应用，消元法解方程组
【点评】
本题是三元一次方程组应用的常规题型，解题核心是找准题干中的等量关系准确列方程组，消元时优先消去系数相同的未知数可简化计算，也可采用选项代入验证的方法提升解题速度。
【难度系数】
0.7
我们可以先设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x元、y元、z元，题干给出了三种不同购买组合的总费用，刚好对应三个包含x、y、z的等量关系，我们可以据此列出三元一次方程组，再通过消元法逐步求出三个未知数的值即可；也可以直接将选项代入题干的三个条件验证，快速选出正确答案。
【解析】
解：设甲货物的单价为x元，乙货物的单价为y元，丙货物的单价为z元，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 315 \quad \mathrm{①} \\x + 2y + 3z = 285 \quad \mathrm{②} \\2x + y + 2z = 235 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
步骤1：消去y，用①$-$②得：
$3x + 2y + z - (x + 2y + 3z) = 315 - 285$
化简得：$2x - 2z = 30$，即$x = z + 15$ ④
步骤2：将③$×2$得：$4x + 2y + 4z = 470$ ⑤，用⑤$-$②得：
$4x + 2y + 4z - (x + 2y + 3z) = 470 - 285$
化简得：$3x + z = 185$ ⑥
步骤3：将④代入⑥得：
$3(z + 15) + z = 185$
解得：$z = 35$
把$z=35$代入④得：$x = 35 + 15 = 50$
把$x=50$，$z=35$代入③得：
$2×50 + y + 2×35 = 235$
解得：$y = 65$
因此甲单价50元，乙单价65元，丙单价35元，对应选项A。
（也可代入验证：将A选项数值分别代入三个条件，均符合总费用要求，故A正确。）
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组的应用，消元法解方程组
【点评】
本题是三元一次方程组应用的常规题型，解题核心是找准题干中的等量关系准确列方程组，消元时优先消去系数相同的未知数可简化计算，也可采用选项代入验证的方法提升解题速度。
【难度系数】
0.7
8. 三个实数按从小到大排列为$a,b,c$，把其中每两个数作和得到的三个数分别是$11,17,38$，则$b=$
16
。答案
8.16
解析
【分析】
已知a＜b＜c，根据大小关系可知：最小的两数之和是三个和里最小的11，即a+b=11；最大的两数之和是三个和里最大的38，即b+c=38；剩余的中间值17就是a+c的和。将三个等式相加可得到2倍的三个数总和，先求出三个数的总和，再减去最大两数的和得到a的值，最后代入a+b=11即可求出b。
【解析】
解：
∵三个实数从小到大排列为$a＜b＜c$，
∴两两相加的三个和中，最小和为最小两数之和，最大和为最大两数之和，据此列方程组：
$\begin{cases}a+b=11 \quad ① \\a+c=17 \quad ② \\b+c=38 \quad ③\end{cases}$
将①+②+③，得：
$2(a+b+c)=11+17+38=66$
∴$a+b+c=33 \quad ④$
用④减去③，得：$a=33-38=-5$
把$a=-5$代入①，得：$-5+b=11$，解得$b=16$
【答案】
16
【知识点】
三元一次方程组的应用；实数大小比较
【点评】
本题的核心突破口是结合数的大小关系匹配两两之和对应的等式，再利用整体相加的技巧快速计算三个数的总和，简化了消元步骤，既考查了逻辑判断能力，也考查了方程组的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
已知a＜b＜c，根据大小关系可知：最小的两数之和是三个和里最小的11，即a+b=11；最大的两数之和是三个和里最大的38，即b+c=38；剩余的中间值17就是a+c的和。将三个等式相加可得到2倍的三个数总和，先求出三个数的总和，再减去最大两数的和得到a的值，最后代入a+b=11即可求出b。
【解析】
解：
∵三个实数从小到大排列为$a＜b＜c$，
∴两两相加的三个和中，最小和为最小两数之和，最大和为最大两数之和，据此列方程组：
$\begin{cases}a+b=11 \quad ① \\a+c=17 \quad ② \\b+c=38 \quad ③\end{cases}$
将①+②+③，得：
$2(a+b+c)=11+17+38=66$
∴$a+b+c=33 \quad ④$
用④减去③，得：$a=33-38=-5$
把$a=-5$代入①，得：$-5+b=11$，解得$b=16$
【答案】
16
【知识点】
三元一次方程组的应用；实数大小比较
【点评】
本题的核心突破口是结合数的大小关系匹配两两之和对应的等式，再利用整体相加的技巧快速计算三个数的总和，简化了消元步骤，既考查了逻辑判断能力，也考查了方程组的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
9.某电脑公司有A,B,C三种型号的电脑,某乡镇中学购买了三种型号的电脑各2台,共付款25 000元;某县级中学购买了A型5台,B型3台,C型2台,共付款47 000元;某网吧购买了A型2台,B型3台,C型10台,共付款49 000元.请问这三种型号电脑的价格分别为多少?
答案
9. 解:设 A,B,C 三种型号电脑的价格分别是 x 元/台,y 元/台,z 元/台.根据题意,得 $\begin{cases} 2(x+y+z)=25\ 000, \\ 5x+3y+2z=47\ 000, \\ 2x+3y+10z=49\ 000. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=6\ 000, \\ y=4\ 000, \\ z=2\ 500. \end{cases}$ 答:A,B,C 三种型号电脑的价格分别是 6 000 元/台,4 000 元/台,2 500 元/台.
解析
【分析】
本题需要求解三种型号电脑的价格，共有3个未知量，我们可以通过设未知数、列方程组的方式求解：首先分别设三种型号电脑的单价为x、y、z元/台，再根据三个购买场景的总付款金额，找到3组等量关系列出三元一次方程组；随后利用消元法，先消去1个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解，得到两个未知数的值后，再代入原式求出第三个未知数，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
解：设A,B,C三种型号电脑的价格分别是x元/台，y元/台，z元/台。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 2(x+y+z)=25000 \quad \mathrm{①} \\ 5x+3y+2z=47000 \quad \mathrm{②} \\ 2x+3y+10z=49000 \quad \mathrm{③} \end{cases}$
首先化简①式，得：$x+y+z=12500$ $\quad \mathrm{④}$
用②式减去④式×2，消去z：
$5x+3y+2z - 2(x+y+z) = 47000 - 2×12500$
计算得：$3x + y = 22000$ $\quad \mathrm{⑤}$
用④式×10减去③式，消去z：
$10(x+y+z) - (2x+3y+10z) = 10×12500 - 49000$
计算得：$8x + 7y = 76000$ $\quad \mathrm{⑥}$
联立⑤⑥得到二元一次方程组，由⑤得$y=22000-3x$，代入⑥：
$8x + 7×(22000-3x) = 76000$
展开计算：$8x + 154000 - 21x = 76000$
合并同类项：$-13x = -78000$，解得$x=6000$
把$x=6000$代入⑤，得$3×6000 + y = 22000$，解得$y=4000$
把$x=6000$，$y=4000$代入④，得$6000 + 4000 + z = 12500$，解得$z=2500$
经检验，x、y、z的值符合题意。
【答案】
A型号电脑价格为6000元/台，B型号电脑价格为4000元/台，C型号电脑价格为2500元/台。
【知识点】
三元一次方程组的应用；消元法解方程组；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的三元一次方程组实际应用问题，解题核心是找准未知量对应的等量关系，正确列出方程组，消元过程中要注意计算准确性，得出结果后可代入题干条件验证是否符合总付款金额，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题需要求解三种型号电脑的价格，共有3个未知量，我们可以通过设未知数、列方程组的方式求解：首先分别设三种型号电脑的单价为x、y、z元/台，再根据三个购买场景的总付款金额，找到3组等量关系列出三元一次方程组；随后利用消元法，先消去1个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解，得到两个未知数的值后，再代入原式求出第三个未知数，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
解：设A,B,C三种型号电脑的价格分别是x元/台，y元/台，z元/台。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 2(x+y+z)=25000 \quad \mathrm{①} \\ 5x+3y+2z=47000 \quad \mathrm{②} \\ 2x+3y+10z=49000 \quad \mathrm{③} \end{cases}$
首先化简①式，得：$x+y+z=12500$ $\quad \mathrm{④}$
用②式减去④式×2，消去z：
$5x+3y+2z - 2(x+y+z) = 47000 - 2×12500$
计算得：$3x + y = 22000$ $\quad \mathrm{⑤}$
用④式×10减去③式，消去z：
$10(x+y+z) - (2x+3y+10z) = 10×12500 - 49000$
计算得：$8x + 7y = 76000$ $\quad \mathrm{⑥}$
联立⑤⑥得到二元一次方程组，由⑤得$y=22000-3x$，代入⑥：
$8x + 7×(22000-3x) = 76000$
展开计算：$8x + 154000 - 21x = 76000$
合并同类项：$-13x = -78000$，解得$x=6000$
把$x=6000$代入⑤，得$3×6000 + y = 22000$，解得$y=4000$
把$x=6000$，$y=4000$代入④，得$6000 + 4000 + z = 12500$，解得$z=2500$
经检验，x、y、z的值符合题意。
【答案】
A型号电脑价格为6000元/台，B型号电脑价格为4000元/台，C型号电脑价格为2500元/台。
【知识点】
三元一次方程组的应用；消元法解方程组；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的三元一次方程组实际应用问题，解题核心是找准未知量对应的等量关系，正确列出方程组，消元过程中要注意计算准确性，得出结果后可代入题干条件验证是否符合总付款金额，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
10.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表.
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
答案
10. 解:设种植水稻 x 公顷,棉花 y 公顷,蔬菜 z 公顷. 根据题意,得 $\begin{cases} x+y+2z=67, \\ 4x+8y+5z=300, \\ x+y+z=51. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=15, \\ y=20, \\ z=16. \end{cases}$ 答:安排种植水稻 15 公顷,棉花 20 公顷,蔬菜 16 公顷,才能使所有职工有工作,而且投入的资金正好够用.
解析
【分析】
这是一道三元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：①确定未知量：题目要安排水稻、棉花、蔬菜三种作物的种植面积，共3个未知量，因此设三个未知数分别对应三种作物的种植面积；②找等量关系：题目共有3个约束条件，分别对应总种植面积51公顷、总投入资金67万元、总劳动力300人，结合表格给出的每公顷作物的资金投入和劳动力需求，即可列出3个方程，组成三元一次方程组；③解方程组：用消元法先消去重复的未知项，先求出一个未知数的值，再依次求出剩余两个未知数的值，即可得到最终的种植方案。
【解析】
解：设种植水稻$x$公顷，棉花$y$公顷，蔬菜$z$公顷。
根据题意，可列三元一次方程组：
$\begin{cases} x+y+z=51 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ① \\ x+y+2z=67 \ \ \ \ \ \ ② \\ 4x+8y+5z=300 \ \ ③ \end{cases}$
用②-①，可得：$(x+y+2z)-(x+y+z)=67-51$，解得$z=16$。
将$z=16$代入①，得$x+y=51-16=35$，记为方程④：$x+y=35$。
将$z=16$代入③，得$4x+8y+5×16=300$，化简得$4x+8y=220$，两边同除以4得方程⑤：$x+2y=55$。
用⑤-④，可得：$(x+2y)-(x+y)=55-35$，解得$y=20$。
将$y=20$代入④，得$x=35-20=15$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=15 \\ y=20 \\ z=16 \end{cases}$，经验证符合题意。
【答案】
安排种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用。
【知识点】
1.三元一次方程组的应用
2.消元法解方程组
3.列方程解应用题
【点评】
本题是典型的方程组实际应用类问题，解题核心是根据题目给出的约束条件准确提取等量关系，建立对应的方程组模型，再通过逐步消元求解，能够很好地考查学生提取信息、建立数学模型以及计算的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道三元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：①确定未知量：题目要安排水稻、棉花、蔬菜三种作物的种植面积，共3个未知量，因此设三个未知数分别对应三种作物的种植面积；②找等量关系：题目共有3个约束条件，分别对应总种植面积51公顷、总投入资金67万元、总劳动力300人，结合表格给出的每公顷作物的资金投入和劳动力需求，即可列出3个方程，组成三元一次方程组；③解方程组：用消元法先消去重复的未知项，先求出一个未知数的值，再依次求出剩余两个未知数的值，即可得到最终的种植方案。
【解析】
解：设种植水稻$x$公顷，棉花$y$公顷，蔬菜$z$公顷。
根据题意，可列三元一次方程组：
$\begin{cases} x+y+z=51 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ① \\ x+y+2z=67 \ \ \ \ \ \ ② \\ 4x+8y+5z=300 \ \ ③ \end{cases}$
用②-①，可得：$(x+y+2z)-(x+y+z)=67-51$，解得$z=16$。
将$z=16$代入①，得$x+y=51-16=35$，记为方程④：$x+y=35$。
将$z=16$代入③，得$4x+8y+5×16=300$，化简得$4x+8y=220$，两边同除以4得方程⑤：$x+2y=55$。
用⑤-④，可得：$(x+2y)-(x+y)=55-35$，解得$y=20$。
将$y=20$代入④，得$x=35-20=15$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=15 \\ y=20 \\ z=16 \end{cases}$，经验证符合题意。
【答案】
安排种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用。
【知识点】
1.三元一次方程组的应用
2.消元法解方程组
3.列方程解应用题
【点评】
本题是典型的方程组实际应用类问题，解题核心是根据题目给出的约束条件准确提取等量关系，建立对应的方程组模型，再通过逐步消元求解，能够很好地考查学生提取信息、建立数学模型以及计算的能力。
【难度系数】
0.7
11.为确保信息安全,在传输时往往需加密,发送方发出一组密码$a,b,c$时,则接收方对应收到的密码为$A,B,C$,双方约定:$A=2a-b,B=2b,C=b+c$,例如发出1,2,3,则收到0,4,5.
(1)当发送方发出一组密码为2,3,5时,接收方收到的密码是多少?
(2)当接收方收到一组密码2,8,11时,发送方发出的密码是多少?
(1)当发送方发出一组密码为2,3,5时,接收方收到的密码是多少?
(2)当接收方收到一组密码2,8,11时,发送方发出的密码是多少?
答案
11. 解:(1)根据题意知,当发送 a,b,c 时,接收方收到 $A=2a-b,B=2b,C=b+c$,则当 $a=2,b=3,c=5$ 时,$A=2×2-3=1,B=2×3=6,C=3+5=8$. 即接收方收到的密码是1,6,8;(2)已知 $A=2a-b=2,B=2b=8,C=b+c=11$,则可得方程组 $\begin{cases} 2a-b=2, \\ 2b=8, \\ b+c=11, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=3, \\ b=4, \\ c=7. \end{cases}$ 即发送方发出的密码是 3,4,7.
解析
【分析】
(1) 第一问为正向计算类问题，已知发送方密码$a,b,c$的具体数值，直接将三个数值对应代入题目给出的$A,B,C$的计算公式，分别计算即可得到接收方的密码；
(2) 第二问为逆向求解类问题，已知接收方密码$A,B,C$的数值，将数值代入三个约定公式，可得到关于$a,b,c$的三元一次方程组，观察方程组可发现第二个方程仅含未知数$b$，可先求解得到$b$的值，再将$b$代入剩余两个方程，依次求出$a$和$c$的值即可得到发送方的密码。
【解析】
解：(1) 根据题意加密规则为$A=2a-b$，$B=2b$，$C=b+c$，
当发送方密码$a=2$，$b=3$，$c=5$时：
$A=2×2-3=1$，
$B=2×3=6$，
$C=3+5=8$。
(2) 当接收方收到密码$A=2$，$B=8$，$C=11$时，代入加密规则可得方程组：
$\begin{cases}2a-b=2 \\2b=8 \\b+c=11 \end{cases}$
解第二个方程$2b=8$，得$b=4$，
将$b=4$代入第一个方程$2a-b=2$，得$2a-4=2$，解得$a=3$，
将$b=4$代入第三个方程$b+c=11$，得$4+c=11$，解得$c=7$。
【答案】
(1) 接收方收到的密码是1,6,8；(2) 发送方发出的密码是3,4,7
【知识点】
代数式求值，三元一次方程组的应用
【点评】
本题结合信息加密的实际场景命题，既考查了正向的代数式代入计算能力，又考查了逆向思维列解方程组的能力，题目逻辑清晰，计算量小，能很好地检验学生对三元一次方程组解法的掌握程度和应用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问为正向计算类问题，已知发送方密码$a,b,c$的具体数值，直接将三个数值对应代入题目给出的$A,B,C$的计算公式，分别计算即可得到接收方的密码；
(2) 第二问为逆向求解类问题，已知接收方密码$A,B,C$的数值，将数值代入三个约定公式，可得到关于$a,b,c$的三元一次方程组，观察方程组可发现第二个方程仅含未知数$b$，可先求解得到$b$的值，再将$b$代入剩余两个方程，依次求出$a$和$c$的值即可得到发送方的密码。
【解析】
解：(1) 根据题意加密规则为$A=2a-b$，$B=2b$，$C=b+c$，
当发送方密码$a=2$，$b=3$，$c=5$时：
$A=2×2-3=1$，
$B=2×3=6$，
$C=3+5=8$。
(2) 当接收方收到密码$A=2$，$B=8$，$C=11$时，代入加密规则可得方程组：
$\begin{cases}2a-b=2 \\2b=8 \\b+c=11 \end{cases}$
解第二个方程$2b=8$，得$b=4$，
将$b=4$代入第一个方程$2a-b=2$，得$2a-4=2$，解得$a=3$，
将$b=4$代入第三个方程$b+c=11$，得$4+c=11$，解得$c=7$。
【答案】
(1) 接收方收到的密码是1,6,8；(2) 发送方发出的密码是3,4,7
【知识点】
代数式求值，三元一次方程组的应用
【点评】
本题结合信息加密的实际场景命题，既考查了正向的代数式代入计算能力，又考查了逆向思维列解方程组的能力，题目逻辑清晰，计算量小，能很好地检验学生对三元一次方程组解法的掌握程度和应用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
