1.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠CBE=∠ABD=60°,BC=BE.求证:BD⊥CE.

证明：
设直线BD交CE于点F。
∵ ∠ABC=90°，∠ABD=60°，
∴ ∠CBD = ∠ABC + ∠ABD = 150°，
∴ ∠CBF = 180° - ∠CBD = 30°。
∵ ∠ABC=90°，∠CBE=60°，
∴ ∠ABE = ∠ABC + ∠CBE = 150°，
又∵ ∠ABD=60°，
∴ ∠EBD = 360° - ∠ABE - ∠ABD = 150°，
∴ ∠EBF = 180° - ∠EBD = 30°，
∴ ∠CBF = ∠EBF，即BF平分∠CBE。
又∵ BC=BE，
∴ △BCE为等腰三角形，BF是其顶角∠CBE的角平分线，
由等腰三角形“三线合一”的性质可得：BF⊥CE，
即BD⊥CE。

二、遇底边中点连接底边上的中线
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$CA=CB$，$D$是$AB$的中点，$AE=CF$.
(1)猜想：$DE$与$DF$的数量关系和位置关系分别为、；
(2)证明你的猜想.

2. (1) $DE=DF$ $DE⊥ DF$
(2) 证明略

三、遇等腰作底边上的高
3. 如图,在四边形ADEC中,∠ACE＝90°,DE⊥CD,且CA＝AD＝CE.求证:CD＝2DE.

证明：
过点A作AF⊥CD于点F，
∵ CA = AD，AF⊥CD，
∴ 由等腰三角形三线合一可得：$CF = FD = \frac{1}{2}CD$。
∵ ∠ACE = 90°，即∠ACF + ∠ECD = 90°，
又∵ DE⊥CD，∴ ∠CDE = 90°，
∴ ∠CED + ∠ECD = 90°，
∴ ∠ACF = ∠CED。
在△ACF和△CED中，
$\{\begin{array}{l}∠AFC = ∠CDE = 90° \\∠ACF = ∠CED \\CA = CE\end{array} $
∴ △ACF ≌ △CED（AAS），
∴ CF = DE。
又∵ $CF = \frac{1}{2}CD$，
∴ CD = 2DE。