登录
原题1: 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - m ≥ 0, \\ 3x - 3 ＜ x + 5\end{cases}$有解，则所有满足条件的正整数$m$的和为 ______ 。
答案
6
【解析】由 $x-m≥0$,得 $x≥m$,由 $3x-3＜x+5$,得 $x＜4$,因为不等式组有解,所以 $m＜4$,则正整数 $m$ 的和为 $1+2+3=6$。故答案为 6。
【解析】由 $x-m≥0$,得 $x≥m$,由 $3x-3＜x+5$,得 $x＜4$,因为不等式组有解,所以 $m＜4$,则正整数 $m$ 的和为 $1+2+3=6$。故答案为 6。
解析
【分析】
解决这类含参数的一元一次不等式组有解的问题，可按以下思路思考：第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步根据“不等式组有解即两个解集存在公共部分”的规则，结合两个解集的形式判断参数m的取值范围，注意要验证边界值是否符合要求；第三步在m的取值范围内找出所有正整数，求和即可得到结果。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$x - m ≥ 0$，移项可得$x ≥ m$；
2. 解不等式$3x - 3 ＜ x + 5$，移项得$3x - x ＜ 5 + 3$，合并同类项得$2x ＜ 8$，系数化为1得$x ＜ 4$。
因为不等式组有解，说明两个解集存在公共部分，因此$m ＜ 4$（若$m=4$，则解集为$x≥4$且$x＜4$，无公共解，不符合要求）。
满足条件的正整数$m$为1、2、3，它们的和为$1+2+3=6$。
【答案】
6
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组有解的判定；不等式组的整数解
【点评】
本题是一元一次不等式组含参问题的基础题型，解题关键是准确求解每个不等式，结合不等式组有解的条件确定参数的取值范围，尤其要注意边界值的取舍，避免因边界判断错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
解决这类含参数的一元一次不等式组有解的问题，可按以下思路思考：第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步根据“不等式组有解即两个解集存在公共部分”的规则，结合两个解集的形式判断参数m的取值范围，注意要验证边界值是否符合要求；第三步在m的取值范围内找出所有正整数，求和即可得到结果。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$x - m ≥ 0$，移项可得$x ≥ m$；
2. 解不等式$3x - 3 ＜ x + 5$，移项得$3x - x ＜ 5 + 3$，合并同类项得$2x ＜ 8$，系数化为1得$x ＜ 4$。
因为不等式组有解，说明两个解集存在公共部分，因此$m ＜ 4$（若$m=4$，则解集为$x≥4$且$x＜4$，无公共解，不符合要求）。
满足条件的正整数$m$为1、2、3，它们的和为$1+2+3=6$。
【答案】
6
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组有解的判定；不等式组的整数解
【点评】
本题是一元一次不等式组含参问题的基础题型，解题关键是准确求解每个不等式，结合不等式组有解的条件确定参数的取值范围，尤其要注意边界值的取舍，避免因边界判断错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
变式1:若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0, \\ 3x - 4 ＜ 5\end{cases}$有解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
$a＜3$
解析
【分析】
解决这类含参数的一元一次不等式组有解问题，可按三步思考：第一步，分别解出不等式组中两个不等式的解集，含参数的不等式的解集用参数a表示即可；第二步，明确一元一次不等式组有解的判定规则：两个不等式的解集必须存在公共部分；第三步，结合两个解集的大小关系推导参数的取值范围，最后验证等号是否成立，避免出错。
【解析】
先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$x - a ＞ 0$，移项可得：$x ＞ a$；
2. 解不等式$3x - 4 ＜ 5$，移项得$3x ＜ 5 + 4$，合并同类项得$3x ＜ 9$，系数化为1得：$x ＜ 3$。
因为该不等式组有解，说明解集$x ＞ a$和$x ＜ 3$存在公共部分：
若$a ≥ 3$，则$x ＞ a$的最小值大于等于3，和$x ＜ 3$没有公共部分，不等式组无解，不符合要求；
只有当$a ＜ 3$时，两个解集存在公共部分$a ＜ x ＜ 3$，不等式组有解。
【答案】
$a ＜ 3$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式组解集判定
3. 含参不等式组讨论
【点评】
本题是含参一元一次不等式组的基础题型，核心考查不等式组解集的判断逻辑，解题的关键是先求出各不等式的解集，再根据“有解即解集存在公共部分”的规则推导参数范围，要特别注意等号是否可取的验证，避免多写等号导致错误。
【难度系数】
0.7
解决这类含参数的一元一次不等式组有解问题，可按三步思考：第一步，分别解出不等式组中两个不等式的解集，含参数的不等式的解集用参数a表示即可；第二步，明确一元一次不等式组有解的判定规则：两个不等式的解集必须存在公共部分；第三步，结合两个解集的大小关系推导参数的取值范围，最后验证等号是否成立，避免出错。
【解析】
先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$x - a ＞ 0$，移项可得：$x ＞ a$；
2. 解不等式$3x - 4 ＜ 5$，移项得$3x ＜ 5 + 4$，合并同类项得$3x ＜ 9$，系数化为1得：$x ＜ 3$。
因为该不等式组有解，说明解集$x ＞ a$和$x ＜ 3$存在公共部分：
若$a ≥ 3$，则$x ＞ a$的最小值大于等于3，和$x ＜ 3$没有公共部分，不等式组无解，不符合要求；
只有当$a ＜ 3$时，两个解集存在公共部分$a ＜ x ＜ 3$，不等式组有解。
【答案】
$a ＜ 3$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式组解集判定
3. 含参不等式组讨论
【点评】
本题是含参一元一次不等式组的基础题型，核心考查不等式组解集的判断逻辑，解题的关键是先求出各不等式的解集，再根据“有解即解集存在公共部分”的规则推导参数范围，要特别注意等号是否可取的验证，避免多写等号导致错误。
【难度系数】
0.7
原题 2: 已知关于 $x$ 的不等式组$\begin{cases}5-3x≥ -1,\\a-x＜0\end{cases}$无解,则 $a$ 的取值范围是 ( )
A.$a≥ 2$
B.$a＞2$
C.$a=2$
D.$a＜2$
【解析】根据题意,先分别求出每一个不等式的解集,再根据不等式组无解,确定 $a$ 的取值范围。本题主要考查了不等式组解集的确定和不等式组无解的条件,熟练掌握“大大小小找不到”即不等式组无解时界点值的比较是解题的关键。
A.$a≥ 2$
B.$a＞2$
C.$a=2$
D.$a＜2$
【解析】根据题意,先分别求出每一个不等式的解集,再根据不等式组无解,确定 $a$ 的取值范围。本题主要考查了不等式组解集的确定和不等式组无解的条件,熟练掌握“大大小小找不到”即不等式组无解时界点值的比较是解题的关键。
答案
A
【解析】解不等式 $5-3x≥-1$,得 $x≤2$。解不等式 $a-x＜0$,得 $x＞a$。因为不等式组无解,所以 $a≥2$。故选 A。
【解析】解不等式 $5-3x≥-1$,得 $x≤2$。解不等式 $a-x＜0$,得 $x＞a$。因为不等式组无解,所以 $a≥2$。故选 A。
解析
【分析】
解决本题首先要明确不等式组无解的含义是两个不等式的解集没有公共部分，解题思路分为三步：第一步分别求解两个一元一次不等式，得到两个关于x的解集；第二步结合“大大小小找不到（即大于大数、小于小数时不等式组无解）”的判定规则，初步判断参数a和2的大小关系；第三步验证界点值a=2是否满足无解的条件，最终确定a的取值范围。
【解析】
先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5-3x≥ -1$：
移项得$-3x≥-1-5$，合并同类项得$-3x≥-6$，
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x≤2$。
2. 解不等式$a-x＜0$：
移项得$-x＜-a$，不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$x＞a$。
已知不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，即$a$不能小于2；当$a=2$时，解集为$x＞2$和$x≤2$，仍然没有公共部分，符合无解的要求，因此$a$的取值范围是$a≥2$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式组解集判定、含参数不等式组求解
【点评】
本题是一元一次不等式组参数问题的基础题型，解题关键是熟练掌握不等式组解集的判定口诀，尤其要注意对界点值的验证，避免因漏考虑等号导致错解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确不等式组无解的含义是两个不等式的解集没有公共部分，解题思路分为三步：第一步分别求解两个一元一次不等式，得到两个关于x的解集；第二步结合“大大小小找不到（即大于大数、小于小数时不等式组无解）”的判定规则，初步判断参数a和2的大小关系；第三步验证界点值a=2是否满足无解的条件，最终确定a的取值范围。
【解析】
先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5-3x≥ -1$：
移项得$-3x≥-1-5$，合并同类项得$-3x≥-6$，
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x≤2$。
2. 解不等式$a-x＜0$：
移项得$-x＜-a$，不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$x＞a$。
已知不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，即$a$不能小于2；当$a=2$时，解集为$x＞2$和$x≤2$，仍然没有公共部分，符合无解的要求，因此$a$的取值范围是$a≥2$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式求解、不等式组解集判定、含参数不等式组求解
【点评】
本题是一元一次不等式组参数问题的基础题型，解题关键是熟练掌握不等式组解集的判定口诀，尤其要注意对界点值的验证，避免因漏考虑等号导致错解。
【难度系数】
0.7
变式2:若不等式组$\begin{cases}-2x +5≥9, \\x +k＞1\end{cases}$无解，
则k的取值范围为 （
A.$k≤3$
B.$k＜3$
C.$k≥3$
D.$k＞3$
则k的取值范围为 （
A
）A.$k≤3$
B.$k＜3$
C.$k≥3$
D.$k＞3$
答案
A
解析
【分析】
解题时先分别求出两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组“无解”即两个解集没有公共部分的特征，结合不等式组解集的判断口诀“大大小小找不到”建立关于参数k的不等式，最后解不等式得到k的取值范围，注意系数为负时不等号要变向，还要验证边界值是否可取。
【解析】
第一步：解不等式$-2x +5≥9$
移项得：$-2x≥9-5$
合并同类项得：$-2x≥4$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x≤-2$
第二步：解不等式$x +k＞1$
移项得：$x＞1 - k$
第三步：根据不等式组无解得参数范围
不等式组无解，说明两个解集无公共部分，结合“大大小小找不到”的原则，可得：
$1 - k ≥ -2$
解这个不等式：
移项得：$-k≥-2 -1$
合并同类项得：$-k≥-3$
两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得：$k≤3$
因此选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组解集判定；含参不等式求解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组解集的应用，核心是掌握不等式组无解的判断规则，解题时需格外注意边界值的取舍，避免因漏加等号出现错误。
【难度系数】
0.7
解题时先分别求出两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组“无解”即两个解集没有公共部分的特征，结合不等式组解集的判断口诀“大大小小找不到”建立关于参数k的不等式，最后解不等式得到k的取值范围，注意系数为负时不等号要变向，还要验证边界值是否可取。
【解析】
第一步：解不等式$-2x +5≥9$
移项得：$-2x≥9-5$
合并同类项得：$-2x≥4$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x≤-2$
第二步：解不等式$x +k＞1$
移项得：$x＞1 - k$
第三步：根据不等式组无解得参数范围
不等式组无解，说明两个解集无公共部分，结合“大大小小找不到”的原则，可得：
$1 - k ≥ -2$
解这个不等式：
移项得：$-k≥-2 -1$
合并同类项得：$-k≥-3$
两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得：$k≤3$
因此选择A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组解集判定；含参不等式求解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式组解集的应用，核心是掌握不等式组无解的判断规则，解题时需格外注意边界值的取舍，避免因漏加等号出现错误。
【难度系数】
0.7
变式3:如果不等式组$\begin{cases}x≥ a, \\ x≤ b\end{cases}$无解，那么不等式组$\begin{cases}x＞2-a, \\ x＜2-b\end{cases}$的解集是（ ）
A.$2-a ＜ x ＜ 2-b$
B.$b-2 ＜ x ＜ a-2$
C.$2-b ＜ x ＜ 2-a$
D.无解
A.$2-a ＜ x ＜ 2-b$
B.$b-2 ＜ x ＜ a-2$
C.$2-b ＜ x ＜ 2-a$
D.无解
答案
A
解析
【分析】
首先根据一元一次不等式组无解的判定规则，推出参数a和b的大小关系；再利用不等式的基本性质推导新不等式组中两个端点值的大小关系，最后结合不等式组解集的判定口诀即可确定答案。
【解析】
已知不等式组$\begin{cases}x≥ a, \\ x≤ b\end{cases}$无解，根据不等式组无解的判定条件（若“大于等于大数，小于等于小数”则无公共解集），可得$a＞b$。
根据不等式的基本性质，对$a＞b$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-a＜-b$；再对不等式两边同时加2，不等号方向不变，得$2-a＜2-b$。
此时不等式组$\begin{cases}x＞2-a, \\ x＜2-b\end{cases}$符合“大于较小数、小于较大数”的解集规则，因此解集为$2-a ＜ x ＜ 2-b$。
【答案】
A
【知识点】
不等式组的解集判定、不等式的基本性质
【点评】
本题侧重考察不等式组解集的判定规则和不等式性质的灵活应用，解题核心是先通过第一个不等式组的无解条件得到参数的大小关系，再变形推导新不等式组端点的大小，熟练掌握解集判定口诀可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先根据一元一次不等式组无解的判定规则，推出参数a和b的大小关系；再利用不等式的基本性质推导新不等式组中两个端点值的大小关系，最后结合不等式组解集的判定口诀即可确定答案。
【解析】
已知不等式组$\begin{cases}x≥ a, \\ x≤ b\end{cases}$无解，根据不等式组无解的判定条件（若“大于等于大数，小于等于小数”则无公共解集），可得$a＞b$。
根据不等式的基本性质，对$a＞b$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-a＜-b$；再对不等式两边同时加2，不等号方向不变，得$2-a＜2-b$。
此时不等式组$\begin{cases}x＞2-a, \\ x＜2-b\end{cases}$符合“大于较小数、小于较大数”的解集规则，因此解集为$2-a ＜ x ＜ 2-b$。
【答案】
A
【知识点】
不等式组的解集判定、不等式的基本性质
【点评】
本题侧重考察不等式组解集的判定规则和不等式性质的灵活应用，解题核心是先通过第一个不等式组的无解条件得到参数的大小关系，再变形推导新不等式组端点的大小，熟练掌握解集判定口诀可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
原题 3: 若关于 $ x $ 的不等式组
$\{\begin{aligned}\frac{x-2}{4} &＜ \frac{x-1}{3}, \\4x - m &≤ 4 - x\end{aligned} $
恰有 2 个整数解,则所有符合条件的整数 $ m $ 的和为 （
A.0
B.−3
C.−7
D.−10
$\{\begin{aligned}\frac{x-2}{4} &＜ \frac{x-1}{3}, \\4x - m &≤ 4 - x\end{aligned} $
恰有 2 个整数解,则所有符合条件的整数 $ m $ 的和为 （
D
）A.0
B.−3
C.−7
D.−10
答案
D
【解析】对于不等式组：$\begin{cases}\frac{x-2}{4}＜\frac{x-1}{3},① \\4x-m≤4-x。②\end{cases}$ 解不等式①,得 $x＞-2$,解不等式②,得 $x≤\frac{4+m}{5}$,所以不等式组的解集为 $-2＜x≤\frac{4+m}{5}$,因为不等式组恰有 2 个整数解,且 $x＞-2$,整数解为 $x=-1$和 $x=0$,所以 $0≤\frac{4+m}{5}＜1$,因为 $0≤\frac{4+m}{5}$,得 $m≥-4$,又因为 $\frac{4+m}{5}＜1$,得 $m＜1$,所以 $m$ 的取值范围为 $-4≤m＜1$,因为 $m$ 为整数,所以 $m=-4,-3,-2,-1,0$,所有符合条件的整数 $m$ 的和为 $(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0=-10$。故选 D。
【解析】对于不等式组：$\begin{cases}\frac{x-2}{4}＜\frac{x-1}{3},① \\4x-m≤4-x。②\end{cases}$ 解不等式①,得 $x＞-2$,解不等式②,得 $x≤\frac{4+m}{5}$,所以不等式组的解集为 $-2＜x≤\frac{4+m}{5}$,因为不等式组恰有 2 个整数解,且 $x＞-2$,整数解为 $x=-1$和 $x=0$,所以 $0≤\frac{4+m}{5}＜1$,因为 $0≤\frac{4+m}{5}$,得 $m≥-4$,又因为 $\frac{4+m}{5}＜1$,得 $m＜1$,所以 $m$ 的取值范围为 $-4≤m＜1$,因为 $m$ 为整数,所以 $m=-4,-3,-2,-1,0$,所有符合条件的整数 $m$ 的和为 $(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0=-10$。故选 D。
解析
【分析】
解决这道题的思路分为三步：第一步，先分别解不等式组中的两个不等式，得到含参数m的公共解集；第二步，结合“恰有2个整数解”和x＞-2的条件，确定这两个整数解为-1和0，再根据整数解的范围推导参数m满足的不等式，这里要重点注意端点值能否取到：若上界≥1则会多出整数解1，若上界＜0则会缺少整数解0，因此上界需满足$0≤\frac{4+m}{5}＜1$；第三步，解出m的取值范围，找出其中的整数m，计算它们的和即可。
【解析】
解：先解不等式组$\begin{cases}\frac{x-2}{4}＜\frac{x-1}{3} \quad ① \\4x - m ≤ 4 - x \quad ②\end{cases}$
解不等式①：两边同乘12去分母，得$3(x-2)＜4(x-1)$，
去括号：$3x - 6 ＜ 4x - 4$，
移项合并同类项：$-x ＜ 2$，
系数化为1：$x＞-2$。
解不等式②：移项得$4x + x ≤ 4 + m$，
合并同类项：$5x ≤ 4 + m$，
系数化为1：$x ≤ \frac{4+m}{5}$。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ \frac{4+m}{5}$。
∵ 不等式组恰有2个整数解，且大于-2的最小整数为-1，
∴ 两个整数解为$x=-1$和$x=0$，
由此可得：$0 ≤ \frac{4+m}{5} ＜ 1$，
不等式三边同乘5：$0 ≤ 4 + m ＜ 5$，
三边同减4：$-4 ≤ m ＜ 1$。
∵ m为整数，
∴ m的取值为$-4、-3、-2、-1、0$，
它们的和为：$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0 = -10$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
1. 一元一次不等式组解法
2. 不等式组的整数解
3. 含参不等式参数求解
【点评】
本题是含参数一元一次不等式组的经典题型，核心考点是根据整数解的个数确定参数范围，解题时需特别注意端点值的取舍，避免因多取或漏取端点导致参数范围错误。
【难度系数】
0.6
解决这道题的思路分为三步：第一步，先分别解不等式组中的两个不等式，得到含参数m的公共解集；第二步，结合“恰有2个整数解”和x＞-2的条件，确定这两个整数解为-1和0，再根据整数解的范围推导参数m满足的不等式，这里要重点注意端点值能否取到：若上界≥1则会多出整数解1，若上界＜0则会缺少整数解0，因此上界需满足$0≤\frac{4+m}{5}＜1$；第三步，解出m的取值范围，找出其中的整数m，计算它们的和即可。
【解析】
解：先解不等式组$\begin{cases}\frac{x-2}{4}＜\frac{x-1}{3} \quad ① \\4x - m ≤ 4 - x \quad ②\end{cases}$
解不等式①：两边同乘12去分母，得$3(x-2)＜4(x-1)$，
去括号：$3x - 6 ＜ 4x - 4$，
移项合并同类项：$-x ＜ 2$，
系数化为1：$x＞-2$。
解不等式②：移项得$4x + x ≤ 4 + m$，
合并同类项：$5x ≤ 4 + m$，
系数化为1：$x ≤ \frac{4+m}{5}$。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ \frac{4+m}{5}$。
∵ 不等式组恰有2个整数解，且大于-2的最小整数为-1，
∴ 两个整数解为$x=-1$和$x=0$，
由此可得：$0 ≤ \frac{4+m}{5} ＜ 1$，
不等式三边同乘5：$0 ≤ 4 + m ＜ 5$，
三边同减4：$-4 ≤ m ＜ 1$。
∵ m为整数，
∴ m的取值为$-4、-3、-2、-1、0$，
它们的和为：$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0 = -10$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
1. 一元一次不等式组解法
2. 不等式组的整数解
3. 含参不等式参数求解
【点评】
本题是含参数一元一次不等式组的经典题型，核心考点是根据整数解的个数确定参数范围，解题时需特别注意端点值的取舍，避免因多取或漏取端点导致参数范围错误。
【难度系数】
0.6
变式4: 已知关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}5x＞3x+2,\\2x≤8+2a\end{cases}$ 有且只有4个整数解，那么 $a$ 的取值范围是 ______ 。
答案
$1≤a＜2$
解析
【分析】
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，用含参数a的式子表示出不等式组的解集；第二步根据“有且只有4个整数解”的条件，确定这4个整数解的具体值；第三步结合解集的端点取值要求，列出关于a的不等式组，注意区分端点是否可取，最后解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求解不等式 $5x＞3x+2$：
移项得 $5x-3x＞2$，合并同类项得 $2x＞2$，系数化为1得 $x＞1$。
2. 求解不等式 $2x≤8+2a$：
两边同时除以2得 $x≤4+a$。
3. 确定不等式组的解集：
不等式组的解集为 $1＜x≤4+a$。
4. 根据整数解的个数列不等式：
因为不等式组有且只有4个整数解，大于1的最小整数是2，依次可得4个整数解为2、3、4、5，因此可得不等式：
$5≤4+a＜6$
5. 解关于a的不等式：
不等式三边同时减4，得 $1≤a＜2$。
【答案】
$1≤a＜2$
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式组整数解分析、不等式的性质
【点评】
本题是含参数一元一次不等式组的常考题型，解题核心是先求出公共解集，再结合整数解的个数确定参数范围，需要特别注意端点值的取舍，避免因漏判端点是否可取导致答案错误。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，用含参数a的式子表示出不等式组的解集；第二步根据“有且只有4个整数解”的条件，确定这4个整数解的具体值；第三步结合解集的端点取值要求，列出关于a的不等式组，注意区分端点是否可取，最后解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求解不等式 $5x＞3x+2$：
移项得 $5x-3x＞2$，合并同类项得 $2x＞2$，系数化为1得 $x＞1$。
2. 求解不等式 $2x≤8+2a$：
两边同时除以2得 $x≤4+a$。
3. 确定不等式组的解集：
不等式组的解集为 $1＜x≤4+a$。
4. 根据整数解的个数列不等式：
因为不等式组有且只有4个整数解，大于1的最小整数是2，依次可得4个整数解为2、3、4、5，因此可得不等式：
$5≤4+a＜6$
5. 解关于a的不等式：
不等式三边同时减4，得 $1≤a＜2$。
【答案】
$1≤a＜2$
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式组整数解分析、不等式的性质
【点评】
本题是含参数一元一次不等式组的常考题型，解题核心是先求出公共解集，再结合整数解的个数确定参数范围，需要特别注意端点值的取舍，避免因漏判端点是否可取导致答案错误。
【难度系数】
0.6
原题4: 如果关于 $ x $ 的不等式组
$\{\begin{aligned}2(x-1) &＞ 4, \\x - a &≥ 0\end{aligned} $
的解集为 $ x ≥ a $，那么 $ a $ 的取值范围是 $\quad (\quad)$
A.$ a ＞ 3 $
B.$ a ＜ 3 $
C.$ a ≥ 3 $
D.$ a ≤ 3 $
$\{\begin{aligned}2(x-1) &＞ 4, \\x - a &≥ 0\end{aligned} $
的解集为 $ x ≥ a $，那么 $ a $ 的取值范围是 $\quad (\quad)$
A.$ a ＞ 3 $
B.$ a ＜ 3 $
C.$ a ≥ 3 $
D.$ a ≤ 3 $
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要先分别求解不等式组中的两个不等式，再结合一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则分析参数a的取值范围，尤其要注意验证a取边界值3时是否符合题意，避免错选带等号的选项。
【解析】
步骤1：分别解两个不等式
① 解不等式$2(x-1)＞4$：
去括号得$2x - 2＞4$，
移项、合并同类项得$2x＞6$，
系数化为1得$x＞3$。
② 解不等式$x - a≥0$，得$x≥a$。
步骤2：结合解集判断a的范围
已知不等式组的解集为$x≥a$，根据“同大取大”的解集判定规则，说明两个解集的公共部分为$x≥a$。
若$a=3$，此时两个不等式的解集为$x＞3$和$x≥3$，公共解集为$x＞3$，不符合题意；
若$a＜3$，公共解集为$x＞3$，也不符合题意；
只有当$a＞3$时，公共解集为$x≥a$，满足要求。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组解集的确定，含参数不等式组
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式组的典型题型，解题核心是熟练掌握不等式组解集的判定规则，需要特别注意验证边界值是否符合题意，避免因忽略等号的适用条件出错。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要先分别求解不等式组中的两个不等式，再结合一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则分析参数a的取值范围，尤其要注意验证a取边界值3时是否符合题意，避免错选带等号的选项。
【解析】
步骤1：分别解两个不等式
① 解不等式$2(x-1)＞4$：
去括号得$2x - 2＞4$，
移项、合并同类项得$2x＞6$，
系数化为1得$x＞3$。
② 解不等式$x - a≥0$，得$x≥a$。
步骤2：结合解集判断a的范围
已知不等式组的解集为$x≥a$，根据“同大取大”的解集判定规则，说明两个解集的公共部分为$x≥a$。
若$a=3$，此时两个不等式的解集为$x＞3$和$x≥3$，公共解集为$x＞3$，不符合题意；
若$a＜3$，公共解集为$x＞3$，也不符合题意；
只有当$a＞3$时，公共解集为$x≥a$，满足要求。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组解集的确定，含参数不等式组
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式组的典型题型，解题核心是熟练掌握不等式组解集的判定规则，需要特别注意验证边界值是否符合题意，避免因忽略等号的适用条件出错。
【难度系数】
0.6
