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变式5:若不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0, \\ x + b ＜ 6\end{cases}$的解集为$2 ＜ x ＜ 3$,则$(-2a + b)^{2026}$的值为 ______ 。
答案
1
解析
【分析】
首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，用含参数a、b的式子表示出不等式组的解集；再将得到的解集与题目给出的已知解集2＜x＜3对应，列出关于a、b的等式求出a、b的值；最后将a、b的值代入待求代数式，根据乘方运算规则计算结果即可。
【解析】
解：先解不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0 \quad① \\ x + b ＜ 6 \quad②\end{cases}$
解不等式①，移项得：$x ＞ a$
解不等式②，移项得：$x ＜ 6 - b$
因此该不等式组的解集为$a ＜ x ＜ 6 - b$
已知不等式组的解集为$2 ＜ x ＜ 3$，对应可得：
$\begin{cases}a = 2 \\ 6 - b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 2 \\ b = 3\end{cases}$
将$a=2$，$b=3$代入$(-2a + b)^{2026}$得：
$\begin{aligned}原式&=(-2×2 + 3)^{2026} \\&=(-4 + 3)^{2026} \\&=(-1)^{2026}\end{aligned}$
因为2026是偶数，负数的偶次幂为正数，所以$(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
一元一次不等式组的解集，代数式求值，有理数的乘方
【点评】
本题重点考查根据不等式组的解集求参数的值，解题关键是解出不等式组的解集后，和已知解集一一对应得到参数的取值，计算乘方时注意判断指数的奇偶性，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，用含参数a、b的式子表示出不等式组的解集；再将得到的解集与题目给出的已知解集2＜x＜3对应，列出关于a、b的等式求出a、b的值；最后将a、b的值代入待求代数式，根据乘方运算规则计算结果即可。
【解析】
解：先解不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0 \quad① \\ x + b ＜ 6 \quad②\end{cases}$
解不等式①，移项得：$x ＞ a$
解不等式②，移项得：$x ＜ 6 - b$
因此该不等式组的解集为$a ＜ x ＜ 6 - b$
已知不等式组的解集为$2 ＜ x ＜ 3$，对应可得：
$\begin{cases}a = 2 \\ 6 - b = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 2 \\ b = 3\end{cases}$
将$a=2$，$b=3$代入$(-2a + b)^{2026}$得：
$\begin{aligned}原式&=(-2×2 + 3)^{2026} \\&=(-4 + 3)^{2026} \\&=(-1)^{2026}\end{aligned}$
因为2026是偶数，负数的偶次幂为正数，所以$(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
一元一次不等式组的解集，代数式求值，有理数的乘方
【点评】
本题重点考查根据不等式组的解集求参数的值，解题关键是解出不等式组的解集后，和已知解集一一对应得到参数的取值，计算乘方时注意判断指数的奇偶性，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
原题5: 如果关于$x$的不等式组
$\begin{cases}\dfrac{x-4}{3} - x ＜ -4, \\x - m ＞ 0\end{cases}$的解集为$x＞4$，且整数$m$使得关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} mx + y = 8, \\ 3x + y = 1 \end{cases}$的解为整数（$x,y$均为整数），求符合条件的所有整数$m$的和。
【解析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组的能力，并据此得出$m$的值。解不等式组，结合其解集得出$m≤4$；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数$m$的值；综合前面$m$的取值范围确定$m$的最终取值，从而得出答案。
变式6: 若$m$使得关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} 2x + y = 3, \\ mx - 2y = 7 \end{cases}$有解，且使关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases} \dfrac{x-1}{2} - 2x ≤ 1, \\ 4x + m ＜ 2 \end{cases}$有且仅有3个整数解。求所有满足条件的整数$m$的值的和。
$\begin{cases}\dfrac{x-4}{3} - x ＜ -4, \\x - m ＞ 0\end{cases}$的解集为$x＞4$，且整数$m$使得关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} mx + y = 8, \\ 3x + y = 1 \end{cases}$的解为整数（$x,y$均为整数），求符合条件的所有整数$m$的和。
【解析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组的能力，并据此得出$m$的值。解不等式组，结合其解集得出$m≤4$；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数$m$的值；综合前面$m$的取值范围确定$m$的最终取值，从而得出答案。
变式6: 若$m$使得关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} 2x + y = 3, \\ mx - 2y = 7 \end{cases}$有解，且使关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases} \dfrac{x-1}{2} - 2x ≤ 1, \\ 4x + m ＜ 2 \end{cases}$有且仅有3个整数解。求所有满足条件的整数$m$的值的和。
答案
原题5答案：2
解不等式$\frac{x-4}{3}-x＜-4$,得 $x＞4$,解不等式 $x-m＞0$,得 $x＞m$。因为不等式组的解集为 $x＞4$,所以 $m≤4$。解方程组 $\begin{cases}mx+y=8,\\3x+y=1,\end{cases}$得 $\begin{cases}x=\frac{7}{m-3},\\y=\frac{m-24}{m-3},\end{cases}$ 因为 $x,y$ 均为整数,所以 $m=4$ 或 $m=10$ 或 $m=2$ 或 $m=-4$,又因为 $m≤4$,所以$m=-4$ 或 $m=2$ 或 $m=4$,所以 $-4+2+4=2$。
变式6答案：-14
$\begin{cases}2x+y=3,①\\mx-2y=7,②\end{cases}$ ①$×2+$②,得 $4x+mx=13$,即$(4+m)x=13$,因为方程组 $\begin{cases}2x+y=3,①\\mx-2y=7②\end{cases}$ 有解,所以 $4+m≠0$,即 $m≠-4$。解不等式 $\frac{x-1}{2}-2x≤1$,得 $x≥-1$,解不等式 $4x+m＜2$,得 $x＜\frac{2-m}{4}$,因为不等式组有且只有3个整数解,所以不等式组的解集为 $-1≤x＜\frac{2-m}{4}$,且整数解为 $-1,0,1$,所以 $1＜\frac{2-m}{4}≤2$,解得 $-6≤m＜-2$,所以符合条件的整数 $m$ 的值为 $-6,-5,-3$,它们的和为 $-6-5-3=-14$。
解不等式$\frac{x-4}{3}-x＜-4$,得 $x＞4$,解不等式 $x-m＞0$,得 $x＞m$。因为不等式组的解集为 $x＞4$,所以 $m≤4$。解方程组 $\begin{cases}mx+y=8,\\3x+y=1,\end{cases}$得 $\begin{cases}x=\frac{7}{m-3},\\y=\frac{m-24}{m-3},\end{cases}$ 因为 $x,y$ 均为整数,所以 $m=4$ 或 $m=10$ 或 $m=2$ 或 $m=-4$,又因为 $m≤4$,所以$m=-4$ 或 $m=2$ 或 $m=4$,所以 $-4+2+4=2$。
变式6答案：-14
$\begin{cases}2x+y=3,①\\mx-2y=7,②\end{cases}$ ①$×2+$②,得 $4x+mx=13$,即$(4+m)x=13$,因为方程组 $\begin{cases}2x+y=3,①\\mx-2y=7②\end{cases}$ 有解,所以 $4+m≠0$,即 $m≠-4$。解不等式 $\frac{x-1}{2}-2x≤1$,得 $x≥-1$,解不等式 $4x+m＜2$,得 $x＜\frac{2-m}{4}$,因为不等式组有且只有3个整数解,所以不等式组的解集为 $-1≤x＜\frac{2-m}{4}$,且整数解为 $-1,0,1$,所以 $1＜\frac{2-m}{4}≤2$,解得 $-6≤m＜-2$,所以符合条件的整数 $m$ 的值为 $-6,-5,-3$,它们的和为 $-6-5-3=-14$。
解析
原题5解答
【分析】
解题分三步进行：第一步解一元一次不等式组，根据"同大取大"的解集确定规则，结合已知解集x＞4得出m的取值范围；第二步用加减消元法解二元一次方程组，用含m的代数式表示x、y；第三步根据x、y均为整数的条件，找出可能的m值，再结合m的取值范围筛选出符合条件的m，最后求和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$\frac{x-4}{3} - x ＜ -4$，两边同乘3得$x-4-3x ＜ -12$，合并同类项得$-2x ＜ -8$，系数化为1得$x＞4$；
解不等式$x - m ＞ 0$，得$x＞m$；
已知不等式组解集为$x＞4$，根据同大取大原则，可得$m≤4$。
2. 解二元一次方程组：
$\begin{cases} mx + y = 8① \\ 3x + y = 1② \end{cases}$
用①-②消去y，得$(m-3)x=7$，解得$x=\frac{7}{m-3}$；
将$x=\frac{7}{m-3}$代入②，得$y=1-\frac{21}{m-3}=\frac{m-24}{m-3}$。
3. 确定符合条件的m：
因为x、y均为整数，所以$m-3$是7的整数因数，7的因数为$\pm1、\pm7$，对应得：
$m-3=1$时$m=4$；$m-3=-1$时$m=2$；$m-3=7$时$m=10$；$m-3=-7$时$m=-4$。
结合$m≤4$的条件，筛选得m为-4、2、4，三者之和为$-4+2+4=2$。
【答案】
2
【知识点】
解一元一次不等式组，解二元一次方程组，整数解分析
【点评】
本题综合考察不等式组解集的判定和二元一次方程组整数解的求解，关键是熟练掌握同大取大的解集规则，以及整数解时分母为分子的整数因数的分析方法，注意边界值m=4是符合条件的，不要漏判。
【难度系数】
0.6
---
变式6解答
【分析】
解题需同时满足两个条件：一是二元一次方程组有解，二是不等式组仅有3个整数解。首先通过加减消元法处理方程组，得出方程组有解时m的限制条件；再解不等式组，根据整数解的个数确定m的取值范围；最后结合两个条件筛选出符合要求的整数m，求和即可。
【解析】
1. 分析二元一次方程组有解的条件：
$\begin{cases} 2x + y = 3① \\ mx - 2y = 7② \end{cases}$
用①×2+②消去y，得$4x+mx=6+7$，整理得$(4+m)x=13$；
方程组有解，则x的系数不为0，即$4+m≠0$，解得$m≠-4$。
2. 解一元一次不等式组：
解不等式$\frac{x-1}{2} - 2x ≤ 1$，两边同乘2得$x-1-4x ≤2$，合并同类项得$-3x ≤3$，系数化为1得$x≥-1$；
解不等式$4x + m ＜ 2$，移项得$4x ＜ 2-m$，解得$x＜\frac{2-m}{4}$；
所以不等式组的解集为$-1≤x＜\frac{2-m}{4}$。
3. 根据整数解个数确定m范围：
不等式组仅有3个整数解，可知这三个整数解为-1、0、1，因此$\frac{2-m}{4}$的取值范围为$1＜\frac{2-m}{4}≤2$；
解该不等式：两边同乘4得$4＜2-m≤8$，两边减2得$2＜-m≤6$，系数化为1得$-6≤m＜-2$。
4. 筛选符合条件的m并求和：
结合$m≠-4$的条件，符合要求的整数m为-6、-5、-3，三者之和为$-6+(-5)+(-3)=-14$。
【答案】
-14
【知识点】
二元一次方程组有解条件，解一元一次不等式组，不等式组整数解
【点评】
本题需要同时满足多个限制条件，解题时要注意边界值的取舍，比如$\frac{2-m}{4}$可以等于2，但不能等于1，避免多解或漏解，同时牢记不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.55
【分析】
解题分三步进行：第一步解一元一次不等式组，根据"同大取大"的解集确定规则，结合已知解集x＞4得出m的取值范围；第二步用加减消元法解二元一次方程组，用含m的代数式表示x、y；第三步根据x、y均为整数的条件，找出可能的m值，再结合m的取值范围筛选出符合条件的m，最后求和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$\frac{x-4}{3} - x ＜ -4$，两边同乘3得$x-4-3x ＜ -12$，合并同类项得$-2x ＜ -8$，系数化为1得$x＞4$；
解不等式$x - m ＞ 0$，得$x＞m$；
已知不等式组解集为$x＞4$，根据同大取大原则，可得$m≤4$。
2. 解二元一次方程组：
$\begin{cases} mx + y = 8① \\ 3x + y = 1② \end{cases}$
用①-②消去y，得$(m-3)x=7$，解得$x=\frac{7}{m-3}$；
将$x=\frac{7}{m-3}$代入②，得$y=1-\frac{21}{m-3}=\frac{m-24}{m-3}$。
3. 确定符合条件的m：
因为x、y均为整数，所以$m-3$是7的整数因数，7的因数为$\pm1、\pm7$，对应得：
$m-3=1$时$m=4$；$m-3=-1$时$m=2$；$m-3=7$时$m=10$；$m-3=-7$时$m=-4$。
结合$m≤4$的条件，筛选得m为-4、2、4，三者之和为$-4+2+4=2$。
【答案】
2
【知识点】
解一元一次不等式组，解二元一次方程组，整数解分析
【点评】
本题综合考察不等式组解集的判定和二元一次方程组整数解的求解，关键是熟练掌握同大取大的解集规则，以及整数解时分母为分子的整数因数的分析方法，注意边界值m=4是符合条件的，不要漏判。
【难度系数】
0.6
---
变式6解答
【分析】
解题需同时满足两个条件：一是二元一次方程组有解，二是不等式组仅有3个整数解。首先通过加减消元法处理方程组，得出方程组有解时m的限制条件；再解不等式组，根据整数解的个数确定m的取值范围；最后结合两个条件筛选出符合要求的整数m，求和即可。
【解析】
1. 分析二元一次方程组有解的条件：
$\begin{cases} 2x + y = 3① \\ mx - 2y = 7② \end{cases}$
用①×2+②消去y，得$4x+mx=6+7$，整理得$(4+m)x=13$；
方程组有解，则x的系数不为0，即$4+m≠0$，解得$m≠-4$。
2. 解一元一次不等式组：
解不等式$\frac{x-1}{2} - 2x ≤ 1$，两边同乘2得$x-1-4x ≤2$，合并同类项得$-3x ≤3$，系数化为1得$x≥-1$；
解不等式$4x + m ＜ 2$，移项得$4x ＜ 2-m$，解得$x＜\frac{2-m}{4}$；
所以不等式组的解集为$-1≤x＜\frac{2-m}{4}$。
3. 根据整数解个数确定m范围：
不等式组仅有3个整数解，可知这三个整数解为-1、0、1，因此$\frac{2-m}{4}$的取值范围为$1＜\frac{2-m}{4}≤2$；
解该不等式：两边同乘4得$4＜2-m≤8$，两边减2得$2＜-m≤6$，系数化为1得$-6≤m＜-2$。
4. 筛选符合条件的m并求和：
结合$m≠-4$的条件，符合要求的整数m为-6、-5、-3，三者之和为$-6+(-5)+(-3)=-14$。
【答案】
-14
【知识点】
二元一次方程组有解条件，解一元一次不等式组，不等式组整数解
【点评】
本题需要同时满足多个限制条件，解题时要注意边界值的取舍，比如$\frac{2-m}{4}$可以等于2，但不能等于1，避免多解或漏解，同时牢记不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.55
