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8.如图，在由小正方形组成的“L”形图形中，请你用三种方法分别在三幅图中添加一个小正方形使它们成为轴对称图形，并用虚线画出对称轴。
答案
8.如图所示，三种添加方法及对应对称轴如下：
解析
【分析】
首先明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。解题时可以从不同方向的对称轴入手推导添加位置：①考虑竖直方向对称轴：要使图形左右对折后重合，观察原图形最下层只有2个小正方形，左右不对称，可在最下层对应侧的空缺处添加小正方形，使最下层布局满足左右对折重合的要求；②考虑水平方向对称轴：要使图形上下对折后重合，观察原图形竖列的结构，可在对应空缺处添加小正方形，使上下布局满足对折重合的要求；③考虑斜向对称轴：要使图形沿斜线对折后重合，观察原图形斜向的对应空缺，添加小正方形后沿斜向直线对折即可重合。
【解析】
解：根据轴对称图形的性质，三种添加方案如下：
1. 方案一：在原图形最下层右侧小正方形的右边添加1个小正方形，沿过最下层中间位置的竖直虚线折叠，图形两侧完全重合，该竖直虚线为对称轴；
2. 方案二：在原图形最上层小正方形的左边添加1个小正方形，沿过竖列中间位置的水平虚线折叠，图形上下部分完全重合，该水平虚线为对称轴；
3. 方案三：在原图形最上层小正方形的右边添加1个小正方形，沿斜向45°的虚线折叠，图形两侧完全重合，该斜向虚线为对称轴。
【答案】
如图所示，三种添加方法及对应对称轴如下：
【知识点】
轴对称图形的定义，对称轴的画法
【点评】
本题是开放性操作类题目，重点考查对轴对称图形概念的理解与应用，需要结合图形特征尝试不同的添加位置，能够有效锻炼空间想象能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
首先明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。解题时可以从不同方向的对称轴入手推导添加位置：①考虑竖直方向对称轴：要使图形左右对折后重合，观察原图形最下层只有2个小正方形，左右不对称，可在最下层对应侧的空缺处添加小正方形，使最下层布局满足左右对折重合的要求；②考虑水平方向对称轴：要使图形上下对折后重合，观察原图形竖列的结构，可在对应空缺处添加小正方形，使上下布局满足对折重合的要求；③考虑斜向对称轴：要使图形沿斜线对折后重合，观察原图形斜向的对应空缺，添加小正方形后沿斜向直线对折即可重合。
【解析】
解：根据轴对称图形的性质，三种添加方案如下：
1. 方案一：在原图形最下层右侧小正方形的右边添加1个小正方形，沿过最下层中间位置的竖直虚线折叠，图形两侧完全重合，该竖直虚线为对称轴；
2. 方案二：在原图形最上层小正方形的左边添加1个小正方形，沿过竖列中间位置的水平虚线折叠，图形上下部分完全重合，该水平虚线为对称轴；
3. 方案三：在原图形最上层小正方形的右边添加1个小正方形，沿斜向45°的虚线折叠，图形两侧完全重合，该斜向虚线为对称轴。
【答案】
如图所示，三种添加方法及对应对称轴如下：
【知识点】
轴对称图形的定义，对称轴的画法
【点评】
本题是开放性操作类题目，重点考查对轴对称图形概念的理解与应用，需要结合图形特征尝试不同的添加位置，能够有效锻炼空间想象能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$2×2$的正方形格纸中,有一个以格点为顶点的$△ ABC$,请你找出格纸中所有与$△ ABC$成轴对称且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
9.C 【解析】如图,与$△ ABC$成轴对称的有$△ ACG$，$△ AFE$，$△ BFD$，$△ CHD$，$△ CGB$，一共5个。故选C。
解析
【分析】
解决本题首先要明确轴对称的定义：若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，则这两个图形成轴对称。解题时可按以下思路进行：第一步先分类梳理2×2方格中所有可能的对称轴，包括竖直方向直线、水平方向直线、对角线方向直线三类；第二步分别作△ABC关于每条对称轴的对称图形，验证对称图形的三个顶点是否都为格点；第三步统计所有不重复的符合要求的三角形数量，计数时注意避免重复和遗漏。
【解析】
根据轴对称的定义，我们按对称轴分类查找对称三角形：
1. 沿竖直方向的对称轴查找，可得到1个符合要求的对称三角形；
2. 沿水平方向的对称轴查找，可得到1个符合要求的对称三角形；
3. 沿大正方形的两条对角线作为对称轴查找，可得到2个符合要求的对称三角形；
4. 沿其他格线类对称轴查找，还可得到1个不重复的符合要求的对称三角形。
综上，符合要求的三角形共有△ACG、△AFE、△BFD、△CHD、△CGB，总计5个。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的定义，对称轴的确定，格点图形识别
【点评】
本题重点考查轴对称概念的实际应用，解题的关键是先全面梳理所有可能的对称轴，再逐一验证对称图形是否满足格点要求，易错点是漏找对称轴或者重复计数，按对称轴方向分类查找可有效降低错误率。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确轴对称的定义：若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，则这两个图形成轴对称。解题时可按以下思路进行：第一步先分类梳理2×2方格中所有可能的对称轴，包括竖直方向直线、水平方向直线、对角线方向直线三类；第二步分别作△ABC关于每条对称轴的对称图形，验证对称图形的三个顶点是否都为格点；第三步统计所有不重复的符合要求的三角形数量，计数时注意避免重复和遗漏。
【解析】
根据轴对称的定义，我们按对称轴分类查找对称三角形：
1. 沿竖直方向的对称轴查找，可得到1个符合要求的对称三角形；
2. 沿水平方向的对称轴查找，可得到1个符合要求的对称三角形；
3. 沿大正方形的两条对角线作为对称轴查找，可得到2个符合要求的对称三角形；
4. 沿其他格线类对称轴查找，还可得到1个不重复的符合要求的对称三角形。
综上，符合要求的三角形共有△ACG、△AFE、△BFD、△CHD、△CGB，总计5个。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的定义，对称轴的确定，格点图形识别
【点评】
本题重点考查轴对称概念的实际应用，解题的关键是先全面梳理所有可能的对称轴，再逐一验证对称图形是否满足格点要求，易错点是漏找对称轴或者重复计数，按对称轴方向分类查找可有效降低错误率。
【难度系数】
0.6
10.如图,球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹,其中$∠ 1$叫作入射角,$∠ 2$叫作反射角,如果每次的入射角总是等于反射角,那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的
C
号袋。答案
10.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“入射角等于反射角”的规律，结合轴对称的性质，逐步推导球的反弹路径，直到球到达四个顶角的球袋为止。首先明确：只有桌子的四条外边缘是反弹面，球碰到顶角时会直接落入袋中，不再反弹。我们可以通过分析每次反弹前后路径的方向，结合网格辅助确定路径走向，最终判断落入的球袋。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系：令左下角B为$(0,0)$，则左上角$A(0,4)$，右上角$D(10,4)$，右下角$C(10,0)$。
1. 球的起点坐标为$(3,2)$，沿箭头1方向击出，第一次碰到上边缘（$y=4$）的反弹点为$(4,4)$。根据入射角等于反射角，反射后路径水平方向仍向右，竖直方向变为向下，路径斜率为$-2$，对应的路径方程为$y=-2x+12$。
2. 求该路径与桌子边缘的下一个交点：令$y=0$，解得$x=6$，即下一个反弹点为下边缘（$y=0$）的$(6,0)$。再次反弹后，竖直方向变为向上，路径斜率为$2$，对应的路径方程为$y=2x-12$。
3. 求该路径与桌子边缘的下一个交点：令$y=4$，解得$x=8$，即下一个反弹点为上边缘（$y=4$）的$(8,4)$。再次反弹后，竖直方向变为向下，路径斜率为$-2$，对应的路径方程为$y=-2x+20$。
4. 求该路径与桌子边缘的交点：令$y=0$，解得$x=10$，对应点为$(10,0)$，正好是右下角的C袋，球直接落入袋中。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的应用，反射原理，一次函数应用
【点评】
本题结合台球反弹的生活场景，考查轴对称性质的实际应用，解题的核心是理解入射角等于反射角的规律，能准确推导每次反弹后的路径走向，也可通过直接画路径的方式快速得到结果。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用“入射角等于反射角”的规律，结合轴对称的性质，逐步推导球的反弹路径，直到球到达四个顶角的球袋为止。首先明确：只有桌子的四条外边缘是反弹面，球碰到顶角时会直接落入袋中，不再反弹。我们可以通过分析每次反弹前后路径的方向，结合网格辅助确定路径走向，最终判断落入的球袋。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系：令左下角B为$(0,0)$，则左上角$A(0,4)$，右上角$D(10,4)$，右下角$C(10,0)$。
1. 球的起点坐标为$(3,2)$，沿箭头1方向击出，第一次碰到上边缘（$y=4$）的反弹点为$(4,4)$。根据入射角等于反射角，反射后路径水平方向仍向右，竖直方向变为向下，路径斜率为$-2$，对应的路径方程为$y=-2x+12$。
2. 求该路径与桌子边缘的下一个交点：令$y=0$，解得$x=6$，即下一个反弹点为下边缘（$y=0$）的$(6,0)$。再次反弹后，竖直方向变为向上，路径斜率为$2$，对应的路径方程为$y=2x-12$。
3. 求该路径与桌子边缘的下一个交点：令$y=4$，解得$x=8$，即下一个反弹点为上边缘（$y=4$）的$(8,4)$。再次反弹后，竖直方向变为向下，路径斜率为$-2$，对应的路径方程为$y=-2x+20$。
4. 求该路径与桌子边缘的交点：令$y=0$，解得$x=10$，对应点为$(10,0)$，正好是右下角的C袋，球直接落入袋中。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的应用，反射原理，一次函数应用
【点评】
本题结合台球反弹的生活场景，考查轴对称性质的实际应用，解题的核心是理解入射角等于反射角的规律，能准确推导每次反弹后的路径走向，也可通过直接画路径的方式快速得到结果。
【难度系数】
0.6
11. 下图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形。（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影）
答案
11.(答案不唯一)，四种参考图形如下：
解析
【分析】
首先要明确轴对称图形的核心特征：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。本题要求仅移动1个正方形，因此最终图形仍由5个小正方形构成。解题时可以先确定要构造的对称轴方向（竖直、水平、斜向均可），再保留4个正方形的位置不变，将剩余1个正方形移动到对称轴另一侧的对称位置，使整体满足轴对称的要求即可，多尝试不同的对称轴位置就能得到多种不同的方案。
【解析】
1. 首先回忆轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2. 原图形共5个全等小正方形，仅移动1个，因此构造的新图形小正方形总数仍为5。
3. 构造时可以先选定对称轴的位置，再调整单个正方形的位置：比如选竖直方向为对称轴时，调整单个正方形到对称轴另一侧的对应位置，让折叠后两侧图形完全重合；选斜向、水平方向为对称轴时同理。只要保证仅移动1个正方形，且最终图形存在至少1条对称轴，均符合要求。
【答案】
11.(答案不唯一)，四种参考图形如下：
【知识点】
轴对称图形，图形平移，对称轴判定
【点评】
本题是开放性操作类题目，重点考查对轴对称图形特征的掌握，需要结合空间想象尝试调整图形位置，解题时答案不唯一，只要满足移动1个正方形后是轴对称图形即可，能有效锻炼动手操作能力和空间思维能力。
【难度系数】
0.7
首先要明确轴对称图形的核心特征：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。本题要求仅移动1个正方形，因此最终图形仍由5个小正方形构成。解题时可以先确定要构造的对称轴方向（竖直、水平、斜向均可），再保留4个正方形的位置不变，将剩余1个正方形移动到对称轴另一侧的对称位置，使整体满足轴对称的要求即可，多尝试不同的对称轴位置就能得到多种不同的方案。
【解析】
1. 首先回忆轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2. 原图形共5个全等小正方形，仅移动1个，因此构造的新图形小正方形总数仍为5。
3. 构造时可以先选定对称轴的位置，再调整单个正方形的位置：比如选竖直方向为对称轴时，调整单个正方形到对称轴另一侧的对应位置，让折叠后两侧图形完全重合；选斜向、水平方向为对称轴时同理。只要保证仅移动1个正方形，且最终图形存在至少1条对称轴，均符合要求。
【答案】
11.(答案不唯一)，四种参考图形如下：
【知识点】
轴对称图形，图形平移，对称轴判定
【点评】
本题是开放性操作类题目，重点考查对轴对称图形特征的掌握，需要结合空间想象尝试调整图形位置，解题时答案不唯一，只要满足移动1个正方形后是轴对称图形即可，能有效锻炼动手操作能力和空间思维能力。
【难度系数】
0.7
12.如图,一牧马人从点A出发,到草地MN放牧,在傍晚回到帐篷B之前,先带马群到河边PQ去给马饮水。试问:牧马人应走哪条线路才能使整个放牧的路程最短?写出作法。
答案
12.作法如下:①作点 A 关于直线 MN 的对称点 A'，点 B 关于直线 PQ 的对称点 B';②连结 A'B' 交 MN 于点 C，交 PQ 于点 D;③连结 AC,BD，则牧马人应走的线路为 $A\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow B$。
解析
【分析】
本题是最短路径的实际应用问题，核心解题思路是利用轴对称性质将折线路径转化为直线段，结合两点之间线段最短的原理求解。首先明确总路程为A到MN上某点的距离+该点到PQ上某点的距离+该点到B的距离，我们可以通过作对称点，把A到MN上点的距离等价替换为A的对称点到该点的距离，把B到PQ上点的距离等价替换为B的对称点到该点的距离，此时总路程就转化为两个对称点之间的折线路程，当折线变为直线段时总路程最短。
【解析】
要得到最短放牧路程，具体作法与原理如下：
1. 依据轴对称的性质，作点A关于直线MN的对称点A'，此时对于MN上任意一点C，都满足AC=A'C；作点B关于直线PQ的对称点B'，此时对于PQ上任意一点D，都满足BD=B'D。
2. 连接A'B'，分别与MN交于点C、与PQ交于点D，根据两点之间线段最短，此时A'C+CD+DB'的长度是最小值，对应总路程AC+CD+BD也为最小值。
3. 最后连接AC、BD，即可得到最短路径。
【答案】
作法如下:①作点 A 关于直线 MN 的对称点 A'，点 B 关于直线 PQ 的对称点 B';②连结 A'B' 交 MN 于点 C，交 PQ 于点 D;③连结 AC,BD，则牧马人应走的线路为 $A\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow B$。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称知识解决实际问题的典型题型，解题关键是掌握对称转化的思路，将折线距离转化为两点间的直线距离，这类题型能有效锻炼数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是最短路径的实际应用问题，核心解题思路是利用轴对称性质将折线路径转化为直线段，结合两点之间线段最短的原理求解。首先明确总路程为A到MN上某点的距离+该点到PQ上某点的距离+该点到B的距离，我们可以通过作对称点，把A到MN上点的距离等价替换为A的对称点到该点的距离，把B到PQ上点的距离等价替换为B的对称点到该点的距离，此时总路程就转化为两个对称点之间的折线路程，当折线变为直线段时总路程最短。
【解析】
要得到最短放牧路程，具体作法与原理如下：
1. 依据轴对称的性质，作点A关于直线MN的对称点A'，此时对于MN上任意一点C，都满足AC=A'C；作点B关于直线PQ的对称点B'，此时对于PQ上任意一点D，都满足BD=B'D。
2. 连接A'B'，分别与MN交于点C、与PQ交于点D，根据两点之间线段最短，此时A'C+CD+DB'的长度是最小值，对应总路程AC+CD+BD也为最小值。
3. 最后连接AC、BD，即可得到最短路径。
【答案】
作法如下:①作点 A 关于直线 MN 的对称点 A'，点 B 关于直线 PQ 的对称点 B';②连结 A'B' 交 MN 于点 C，交 PQ 于点 D;③连结 AC,BD，则牧马人应走的线路为 $A\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow B$。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称知识解决实际问题的典型题型，解题关键是掌握对称转化的思路，将折线距离转化为两点间的直线距离，这类题型能有效锻炼数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
