1. 如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.$AD⊥DB$,原传送带AB与地面DB的夹角为$30°$,为了缩短货物传送距离,工人师傅欲增大传送带与地面的夹角,使其由$30°$改为$45°$.若原传送带AB长为8 m,则新传送带AC的长度为 ()

A.4 m
B.$4\sqrt{2}$ m
C.6 m
D.无法计算

1.B

【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图形，AD是Rt△ADB和Rt△ADC的公共直角边，是连接两个三角形的桥梁。第一步，先在Rt△ADB中，利用已知的AB长度和30°角的三角函数性质，求出AD的长度；第二步，在Rt△ADC中，利用45°角的三角函数性质，结合已求出的AD长度，计算出新传送带AC的长度即可。
【解析】
解：
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=8m
∴$AD = AB·\sin30° = 8×\frac{1}{2} = 4\mathrm{m}$
在Rt△ADC中，∠ACD=45°
∴$\sin45° = \frac{AD}{AC}$
∴$AC = \frac{AD}{\sin45°} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题的关键是找到两个直角三角形的公共边AD作为中间量，结合特殊角的三角函数值即可快速求解，考查了学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在坡角为$30°$的山坡上有一座信号塔AB,其右侧有一堵防护墙CD,测得BD的长度是10米,当光线AC与水平地面的夹角为$53°$时,测得信号塔落在防护墙上的影子DE的长为12米,则信号塔AB的高度约为(参考数据:$\sin 37° \approx 0.60,\cos 37° \approx 0.80,\tan 37° \approx 0.75,\sqrt{3} \approx 1.73$)
$\begin{array}{llll}\mathrm{A. }16.5\mathrm{米} & \mathrm{B. }17.6\mathrm{米} & \mathrm{C. }18.5\mathrm{米} & \mathrm{D. }19.3\mathrm{米}\end{array}$

2.C 解析:如图,过点 D 作 $DM⊥AB$ 交 AB 的延长线于 M,交 AH 于 N.

在 $\mathrm{Rt}△ DBM$ 中,
$\because ∠ BDM=30°,BD=10$ 米,
$\therefore BM=\frac{1}{2}BD=5$ 米,
$DM=\sqrt{3}BM=5\sqrt{3}$ 米.
在 $\mathrm{Rt}△ DEN$ 中,$\because ∠ DNE=53°,DE=12$ 米,
$\therefore ∠ DEN=90°-∠ DNE=90°-53°=37°$,
$\therefore DN=DE\tan 37°=12\tan 37°=12× 0.75=9$(米).
在 $\mathrm{Rt}△ AMN$ 中,$AM=\frac{MN}{\tan 37°}\approx\frac{5\sqrt{3}+9}{0.75}\approx23.5$(米),
$\therefore AB=AM-BM=23.5-5=18.5$(米).故选 C.

【分析】
这是解直角三角形在实际场景中的应用问题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，把分散的已知条件整合到直角三角形中。首先过点D作DM⊥AB，交AB延长线于M、交AH于N，构造出所需的直角三角形：①先利用坡角30°和BD长度，在Rt△DBM中求出BM、DM的长度；②再利用光线与水平地面夹角53°，在Rt△DEN中求出DN的长度，得到MN的总长；③最后在Rt△AMN中利用三角函数求出AM的长度，用AM减去BM即可得到AB的高度。
【解析】
如图，过点D作 $DM⊥AB$ 交AB的延长线于M，交AH于N。

在 $\mathrm{Rt}△ DBM$ 中，
$\because ∠ BDM=30°,BD=10$ 米，
$\therefore BM=\frac{1}{2}BD=5$ 米，
$DM=\sqrt{3}BM=5\sqrt{3}$ 米。
在 $\mathrm{Rt}△ DEN$ 中，$\because ∠ DNE=53°,DE=12$ 米，
$\therefore ∠ DEN=90°-∠ DNE=90°-53°=37°$，
$\therefore DN=DE\tan 37°=12\tan 37°=12× 0.75=9$(米)。
在 $\mathrm{Rt}△ AMN$ 中，$AM=\frac{MN}{\tan 37°}\approx\frac{5\sqrt{3}+9}{0.75}\approx23.5$(米)，
$\therefore AB=AM-BM=23.5-5=18.5$(米)。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，坡角应用
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，将实际场景中的角度、线段长度条件转化为直角三角形的边角关系求解，能有效考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

3 某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息：
①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料和水泥构筑；
②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角$∠ ABC = 26.5°$，$∠ DCB = 30°$，$∠ DEC = 45°$，坝顶$AD = 5$米，坝底黏土宽度$BE = 17.5$米，且$AD // BC$，点$B$、$E$、$C$在同一水平线上.
请根据上述数据，计算背水坡$CD$的长.
（参考数据：$\sin 26.5° \approx 0.45$，$\cos 26.5° \approx 0.89$，$\tan 26.5° \approx 0.50$）

3.解:如图,过点 A 作 $AG⊥BC$,垂足为 G,过点 D 作 $DH⊥BC$,垂足为 H,

则四边形 AGHD 为矩形.
$\therefore GH=AD=5$ 米,$AG=DH$.
设 $AG=DH=x$ 米.
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 中,$∠ AGB=90°,∠ ABG=26.5°$.
$\because \tan∠ ABG=\frac{AG}{BG},\therefore BG=\frac{AG}{\tan∠ ABG}=\frac{x}{0.5}$ 米.
在 $\mathrm{Rt}△ DEH$ 中,$\because ∠ DHE=90°,∠ DEH=45°$,
$\therefore ∠ HDE=∠ DEH=45°,\therefore EH=DH=x$ 米.
$\because BE+EH=BG+GH$,
$\therefore 17.5+x=\frac{x}{0.5}+5$,解得 $x=12.5$.
在 $\mathrm{Rt}△ DHC$ 中,$\because ∠ DHC=90°,∠ DCH=30°$,
$\therefore CD=2DH=2×12.5=25$(米).
$\therefore$ 背水坡 CD 的长约为 25 米.

【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先针对梯形的截面图形，通过过坝顶两端点向坝底作高，将梯形拆分为1个矩形和3个直角三角形，把分散的已知角、已知边条件整合到特殊图形中；其次设坝高为未知数，利用三角函数和45°直角三角形的边的性质，分别表示出坝底上对应线段的长度；再根据坝底上线段的和差等量关系列方程，求解得到坝高；最后利用30°直角三角形的边角关系求出背水坡CD的长度。
【解析】
如图，过点A作$AG⊥BC$，垂足为G，过点D作$DH⊥BC$，垂足为H，

则四边形AGHD为矩形。
$\therefore GH=AD=5$ 米，$AG=DH$。
设 $AG=DH=x$ 米。
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 中，$∠ AGB=90°，∠ ABG=26.5°$。
$\because \tan∠ ABG=\frac{AG}{BG}，\therefore BG=\frac{AG}{\tan∠ ABG}=\frac{x}{0.5}$ 米。
在 $\mathrm{Rt}△ DEH$ 中，$\because ∠ DHE=90°，∠ DEH=45°$，
$\therefore ∠ HDE=∠ DEH=45°，\therefore EH=DH=x$ 米。
$\because BE+EH=BG+GH$，
$\therefore 17.5+x=\frac{x}{0.5}+5$，解得 $x=12.5$。
在 $\mathrm{Rt}△ DHC$ 中，$\because ∠ DHC=90°，∠ DCH=30°$，
$\therefore CD=2DH=2×12.5=25$(米)。
【答案】
背水坡CD的长约为25米。
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题结合堤坝测量的实际场景命题，是坡度坡角类问题的典型考法，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何计算问题，同时需要结合线段的和差关系列方程求解，能够考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7