7. [2026南阳实验学校月考]如图，把$△ ABC$绕点$A$旋转得到$△ ADE$，当点$D$落在$BC$上时，连接$CE$.设$AC$，$DE$交于点$F$，则图中相似三角形(全等除外)有（）

A.3对
B.4对
C.6对
D.8对

如图,根据旋转的性质,得$△ABC≌△ADE,\therefore ∠2 = ∠1. \because ∠AFE = ∠DFC,\therefore △AFE∽△DFC,\therefore \frac{AF}{DF}=\frac{FE}{FC}$.
又$\because ∠AFD = ∠EFC,\therefore △AFD∽△EFC$. 把$△ABC$绕点 A 旋转得到$△ADE,\therefore ∠BAC = ∠DAE,AB = AD,AC = AE,\therefore ∠3 = ∠4,\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE},\therefore △ABD∽△ACE$.

【分析】
解题时先利用旋转的性质得到全等三角形，进而得到对应边、对应角相等的关系，再结合相似三角形的判定定理逐步排查相似三角形，注意排除全等的$△ABC$和$△ADE$。首先找有对顶角且有已知等角的三角形，得到第一组相似；再利用第一组相似得到的边成比例的结论，结合另一组对顶角得到第二组相似；最后通过角的和差关系得到相等的夹角，结合旋转得到的对应边相等推出边成比例，得到第三组相似。
【解析】
根据旋转的性质，得$△ABC≌△ADE$，
∴$∠2 = ∠1$，
∵$∠AFE = ∠DFC$（对顶角相等），
∴$△AFE∽△DFC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{FE}{FC}$。
又
∵$∠AFD = ∠EFC$（对顶角相等），
∴$△AFD∽△EFC$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵把$△ABC$绕点A旋转得到$△ADE$，
∴$∠BAC = ∠DAE$，$AB = AD$，$AC = AE$，
∴$∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC$，即$∠3 = ∠4$，且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴$△ABD∽△ACE$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
综上，全等除外的相似三角形共有3对。
【答案】
A

【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题考查旋转性质和相似三角形判定的综合应用，解题时要有序查找相似三角形，先利用明显的对顶角和等角找相似，再利用已证相似的性质推导新的边角关系，寻找剩余的相似三角形，同时注意排除全等的情况。
【难度系数】
0.6

8. [2026杭州拱墅区启正中学月考]如图1,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=8$,$BC=6$,$D$是$AB$上一点,且$AD=2$,过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$,将$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转到图2的位置,连接$BD$,$CE$,则图2中$\frac{BD}{CE}$的值为.

$\because ∠ABC = 90°,AB = 8,BC = 6,\therefore AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10. \because DE// BC,\therefore △ADE∽△ABC,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}. \because$ 将$△ADE$ 绕点 A 顺时针旋转到题图 2 的位置,$\therefore ∠DAB = ∠EAC,\therefore △ADB∽△AEC,\therefore \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

【分析】
解题时先从已知的直角三角形入手，先用勾股定理求出斜边AC的长度；再结合DE//BC的条件，可证△ADE∽△ABC，得到两组对应边的比例关系；最后根据旋转的性质得到相等的旋转角，利用“两边成比例且夹角相等”证明△ADB∽△AEC，即可推出BD与CE的比值。
【解析】
∵ ∠ABC = 90°,AB = 8,BC = 6，
∴ 由勾股定理得$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$。
∵ DE// BC，
∴ △ADE∽△ABC，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，变形得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$。
∵ 将△ADE绕点A顺时针旋转到题图2的位置，
∴ ∠DAB = ∠EAC，
∴ △ADB∽△AEC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将旋转、相似三角形、勾股定理的知识点结合考查，解题的核心是利用旋转的性质得到等角，结合已有边的比例关系证明新的相似三角形，掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

9. 新趋势·过程性学习 如图，$∠ ACB = ∠ ADE$，老师让大家适当地添加辅助线，看看能得到哪些相似三角形.小颖连接$CD,BE$，且$CD,BE$相交于点$F$，她得到了$△ ACD ∽ △ ABE$.下面是她证明过程的一部分，请你帮助她完成证明.
(1)证明:$\because ∠ A = ∠ A, ∠ ACB = ∠ ADE$，
$\therefore △ ACB ∽ △ ADE, \therefore \frac{AC}{AD} =$ .
$\because$ , ,
$\therefore △ ACD ∽ △ ABE$.
(2)你还能得到图中哪些三角形相似？写出两对,并选择其中一对进行证明.(不再添加辅助线及字母)

(1) $\frac{AB}{AE}$ $∠A = ∠A$ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$
(2)$△DFB∽△EFC,△BFC∽△DFE$.
选择$△DFB∽△EFC$,证明如下:
$\because △ACD∽△ABE,\therefore ∠BDF = ∠CEF$.
$\because ∠DFB = ∠EFC,\therefore △DFB∽△EFC$.

【分析】
(1) 首先根据已知的两组等角，先证明△ACB∽△ADE，利用相似三角形对应边成比例即可得到第一空的结果；要证明△ACD∽△ABE，可使用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，先确定公共夹角∠A，再将前面得到的比例式变形得到对应边成比例即可。
(2) 要找其余的相似三角形，可利用已证的△ACD∽△ABE得到对应角相等，再结合对顶角相等的性质，即可得到两组角分别相等的三角形，从而判定相似。
【解析】
(1) 已知∠A=∠A，∠ACB=∠ADE，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACB∽△ADE，因此相似三角形对应边成比例，即$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}$。
将该比例式交叉变形可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$，又因为∠A是△ACD和△ABE的公共角，即∠A=∠A，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得△ACD∽△ABE。
(2) 由△ACD∽△ABE可得对应角相等，即∠ADC=∠AEB，也就是∠BDF=∠CEF；观察图形可知∠DFB和∠EFC是对顶角，因此∠DFB=∠EFC，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△DFB∽△EFC。
同理，由△DFB∽△EFC可得$\frac{DF}{EF}=\frac{BF}{CF}$，变形得$\frac{DF}{BF}=\frac{EF}{CF}$，又因为∠BFC和∠DFE是对顶角，∠BFC=∠DFE，因此可证△BFC∽△DFE。
【答案】
(1) $\frac{AB}{AE}$；$∠ A = ∠ A$；$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$
(2) $△ DFB ∽ △ EFC$，$△ BFC ∽ △ DFE$；
选择$△ DFB ∽ △ EFC$证明：
$\because △ ACD ∽ △ ABE,\therefore ∠ BDF = ∠ CEF$，
又$\because ∠ DFB = ∠ EFC,\therefore △ DFB ∽ △ EFC$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的综合应用类典型题，需要先利用已知条件证明基础的相似三角形，再借助其得到的边、角关系推导其余的相似三角形，能很好地考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

10. 推理能力 在$△ OAB$ 和 $△ OCD$ 中，$∠ A ＜ 90°$，$∠ AOB = ∠ COD$，$∠ OAB$ 与 $∠ OCD$ 互补.
(1)如图1，当 $OB = OD$ 时，请探究线段 $AB$ 与 $CD$ 的数量关系，并证明；
(2)如图2，当 $OB = kOD$ 时，请探究线段 $AB$ 与 $CD$ 的数量关系，并证明.

(1)$AB = CD$. 证明如下:
如图1,在 OA 上取一点 E,使 OE = OC,连接 EB.
在$△OBE$ 和$△ODC$ 中,
$\begin{cases} OB = OD, \\ ∠EOB = ∠COD, \\ OE = OC, \end{cases}$
$\therefore △OBE≌△ODC(\mathrm{SAS}),\therefore EB = CD,∠OEB = ∠OCD$.
$\because ∠AEB + ∠OEB = 180°,∠OAB + ∠OCD = 180°$,
$\therefore ∠AEB = ∠OAB,\therefore EB = AB,\therefore AB = CD$.
(2)$AB = kCD$. 证明如下:
如图2,在 OA 上取一点 E,使 $OE = kOC$,连接 EB.
$\because OB = kOD,\therefore \frac{OB}{OD}=\frac{OE}{OC}=k$.
又$\because ∠EOB = ∠COD,\therefore △OEB∽△OCD$,
$\therefore \frac{EB}{CD}=\frac{OB}{OD}=k,∠OEB = ∠OCD,\therefore EB = kCD$.
$\because ∠OAB + ∠OCD = 180°,\therefore ∠OAB + ∠OEB = 180°$.
$\because ∠AEB + ∠OEB = 180°,\therefore ∠OAB = ∠AEB$,
$\therefore EB = AB,\therefore AB = kCD$.

【分析】
(1) 要推导AB和CD的数量关系，可通过构造全等三角形转化线段：已知∠AOB=∠COD、OB=OD，在OA上取点E使OE=OC，即可用SAS证明△OBE与△ODC全等，得到EB=CD；再结合∠OAB与∠OCD互补的条件，可推出∠AEB=∠OAB，得到EB=AB，即可得出AB与CD的等量关系。
(2) 当OB=kOD时，类比第一问的构造思路，构造相似三角形转化线段：在OA上取点E使OE=kOC，结合OB=kOD可得两组对应边成比例，加上相等的夹角即可证明△OEB与△OCD相似，得到EB=kCD；再利用角互补的条件推出EB=AB，即可得到AB与CD的倍数关系。
【解析】
(1) $AB = CD$，证明如下：
如图1，在 OA 上取一点 E，使 $OE = OC$，连接 EB。
在$△ OBE$ 和$△ ODC$ 中，
$\begin{cases} OB = OD, \\ ∠EOB = ∠COD, \\ OE = OC, \end{cases}$
$\therefore △ OBE≌△ ODC(\mathrm{SAS})$，$\therefore EB = CD$，$∠OEB = ∠OCD$。
$\because ∠AEB + ∠OEB = 180°$，$∠OAB + ∠OCD = 180°$，
$\therefore ∠AEB = ∠OAB$，$\therefore EB = AB$，$\therefore AB = CD$。
(2) $AB = kCD$，证明如下：
如图2，在 OA 上取一点 E，使 $OE = kOC$，连接 EB。
$\because OB = kOD$，$\therefore \frac{OB}{OD}=\frac{OE}{OC}=k$。
又$\because ∠EOB = ∠COD$，$\therefore △ OEB∽△ OCD$，
$\therefore \frac{EB}{CD}=\frac{OB}{OD}=k$，$∠OEB = ∠OCD$，$\therefore EB = kCD$。
$\because ∠OAB + ∠OCD = 180°$，$\therefore ∠OAB + ∠OEB = 180°$。
$\because ∠AEB + ∠OEB = 180°$，$\therefore ∠OAB = ∠AEB$，
$\therefore EB = AB$，$\therefore AB = kCD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AB=CD}$
(2) $\boldsymbol{AB=kCD}$
【知识点】
全等三角形判定与性质；相似三角形判定与性质；等腰三角形判定
【点评】
本题是典型的几何探究题，核心解题思路是通过构造辅助线将待研究的线段转化为全等/相似三角形的对应线段，结合角的互补关系推导等量结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6