活动一:想一想 说一说
探究:直线外一点和直线上各点的连线段中,垂线段最短.
（1）根据问题的已知条件和需要说明的结论画出图形；
（2）根据图形,请说明结论成立的理由.
活动二:做一做 写一写
如图3-3,CD为Rt△ABC的斜边AB上的高,设CD=h,AD=m,DB=n.求证:h²=mn.
证明:在Rt△ADC中,AC²=;
在Rt△DBC中,BC²=;
在Rt△ABC中,AC²+BC²==;
所以,得到等式.
即h²=mn.

图3-3
活动三:试一试 议一议
完成课本探究,回答以下问题:
（1）求$a_1,a_2,\dots,a_6$的值,你找到什么规律?
（2）请在课本上画出表示$\sqrt{6}$的点.
（3）写出$a_{99},a_n$的值.

活动一:略
活动二:略
活动三:(1)$\sqrt{2},\sqrt{3},\dots,\sqrt{7}$,第$n$个是$\sqrt{n+1}$
(2)略
(3)$\sqrt{100},\sqrt{n+1}$

【分析】
活动二的证明核心是勾股定理的应用：首先分别在三个直角三角形中表示出对应边的平方，再利用Rt△ABC中两直角边平方和等于斜边平方的关系，代入代数式化简即可得到$h^2=mn$的结论；活动三是利用勾股定理构造长度为无理数的线段，通过计算前几个$a$的值总结规律，再利用规律写出指定项的数值。
【解析】
活动二证明填空：
在Rt△ADC中，两条直角边分别为$AD=m$、$CD=h$，由勾股定理得$AC^2 = m^2+h^2$；
在Rt△DBC中，两条直角边分别为$DB=n$、$CD=h$，由勾股定理得$BC^2 = n^2+h^2$；
在Rt△ABC中，由勾股定理得$AC^2+BC^2 = AB^2$，又$AB=AD+DB=m+n$，因此$AB^2=(m+n)^2$；
将前两个式子代入$AC^2+BC^2=AB^2$，得到等式$m^2 + h^2 + n^2 + h^2 = (m+n)^2$；
对等式化简：右边展开为$m^2+2mn+n^2$，左边整理为$m^2+n^2+2h^2$，两边消去$m^2+n^2$后得$2h^2=2mn$，即$h^2=mn$。
活动三解答：
(1) 按构造规则：$a_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$a_2=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$，$a_3=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$，$a_4=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$a_5=\sqrt{1^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{6}$，$a_6=\sqrt{1^2+(\sqrt{6})^2}=\sqrt{7}$；规律为第n个值$a_n=\sqrt{n+1}$。
(2) 画$\sqrt{6}$的点：在数轴上以原点为直角顶点，构造两条直角边分别为2和$\sqrt{2}$的直角三角形，斜边长即为$\sqrt{6}$，用圆规截取斜边长度，以原点为圆心画弧，与数轴正方向的交点即为表示$\sqrt{6}$的点。
(3) 根据规律$a_n=\sqrt{n+1}$，得$a_{99}=\sqrt{99+1}=\sqrt{100}=10$，$a_n=\sqrt{n+1}$。
【答案】
活动二：$m^2+h^2$；$n^2+h^2$；$AB^2$；$(m+n)^2$；$m^2+h^2+n^2+h^2=(m+n)^2$
活动三：(1) $a_1=\sqrt{2},a_2=\sqrt{3},a_3=2,a_4=\sqrt{5},a_5=\sqrt{6},a_6=\sqrt{7}$，规律为第$n$个值为$\sqrt{n+1}$；(2) 略；(3) $a_{99}=10$，$a_n=\sqrt{n+1}$
【知识点】
勾股定理、规律探究、无理数的数轴表示
【点评】
本题通过分层活动设计，覆盖了勾股定理的证明、规律应用和实践操作类考点，既考查基础公式的掌握程度，也锻炼逻辑推导和动手实践能力，难度梯度设置合理。
【难度系数】
0.7