登录
7. 一个几何体是由若干个大小相同的小立方体搭成的，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图1-2-34所示，它最多需要多少个小立方体？最少需要多少个小立方体？
图1-2-34
图1-2-34
答案
7. 解:最多需要15个小立方体,最少需要10个小立方体。
解析
【分析】
要解决该问题，可按以下思路推导：1. 首先从上面看到的形状图能确定几何体底层的小立方体数量，俯视图中每个小正方形的位置都对应底层存在1个小立方体，该部分数量固定；2. 再结合从左面看到的形状图，能得到几何体前后各排的最大层数，左视图每一列的高度就是对应排的最高层数；3. 计算最多数量时，每一排的所有位置都按最大层数放置；计算最少数量时，每一排只需保证有1个位置达到最大层数，其余位置都只放1层，最后汇总数量即可。
【解析】
第一步：统计底层小立方体数量：数从上面看到的形状图，共有7个小正方形，因此几何体底层固定有7个小立方体。
第二步：结合左视图分析各排的层数范围：
左视图共3列，分别对应几何体的后排、中间排、前排的最大高度：
① 后排最大层数为3层，俯视图中后排有3个位置：
最多情况：3个位置均放3层，数量为 $3×3=9$ 个；
最少情况：仅1个位置放3层，剩余2个位置放1层，数量为 $3 + 1×2=5$ 个。
② 中间排最大层数为2层，俯视图中中间排有2个位置：
最多情况：2个位置均放2层，数量为 $2×2=4$ 个；
最少情况：仅1个位置放2层，剩余1个位置放1层，数量为 $2 + 1×1=3$ 个。
③ 前排最大层数为1层，俯视图中前排有2个位置，最多最少都只能放1层，数量为 $2×1=2$ 个。
第三步：汇总总数：
最多需要的小立方体总数：$9+4+2=15$ 个；
最少需要的小立方体总数：$5+3+2=10$ 个。
【答案】
最多需要15个小立方体，最少需要10个小立方体。
【知识点】
几何体的三视图、由视图还原几何体
【点评】
本题是三视图部分的典型题型，解题核心是明确俯视图确定底层小立方体数量、左视图确定各排高度范围的规则，区分最多、最少情况的计数逻辑，能很好地考查空间想象能力。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，可按以下思路推导：1. 首先从上面看到的形状图能确定几何体底层的小立方体数量，俯视图中每个小正方形的位置都对应底层存在1个小立方体，该部分数量固定；2. 再结合从左面看到的形状图，能得到几何体前后各排的最大层数，左视图每一列的高度就是对应排的最高层数；3. 计算最多数量时，每一排的所有位置都按最大层数放置；计算最少数量时，每一排只需保证有1个位置达到最大层数，其余位置都只放1层，最后汇总数量即可。
【解析】
第一步：统计底层小立方体数量：数从上面看到的形状图，共有7个小正方形，因此几何体底层固定有7个小立方体。
第二步：结合左视图分析各排的层数范围：
左视图共3列，分别对应几何体的后排、中间排、前排的最大高度：
① 后排最大层数为3层，俯视图中后排有3个位置：
最多情况：3个位置均放3层，数量为 $3×3=9$ 个；
最少情况：仅1个位置放3层，剩余2个位置放1层，数量为 $3 + 1×2=5$ 个。
② 中间排最大层数为2层，俯视图中中间排有2个位置：
最多情况：2个位置均放2层，数量为 $2×2=4$ 个；
最少情况：仅1个位置放2层，剩余1个位置放1层，数量为 $2 + 1×1=3$ 个。
③ 前排最大层数为1层，俯视图中前排有2个位置，最多最少都只能放1层，数量为 $2×1=2$ 个。
第三步：汇总总数：
最多需要的小立方体总数：$9+4+2=15$ 个；
最少需要的小立方体总数：$5+3+2=10$ 个。
【答案】
最多需要15个小立方体，最少需要10个小立方体。
【知识点】
几何体的三视图、由视图还原几何体
【点评】
本题是三视图部分的典型题型，解题核心是明确俯视图确定底层小立方体数量、左视图确定各排高度范围的规则，区分最多、最少情况的计数逻辑，能很好地考查空间想象能力。
【难度系数】
0.6
8. 图1-2-35①是一个大正方体切去一个小正方体后形成的几何体。
(1)图1-2-35②的三个图形中，从图1-2-35①的上面、左面、正面看到的形状图分别是
(2)若大正方体的棱长为20 cm，切去的小正方体的棱长为10 cm，求这个几何体的表面积和体积。
(1)图1-2-35②的三个图形中，从图1-2-35①的上面、左面、正面看到的形状图分别是
C
，B
，A
；(填字母)(2)若大正方体的棱长为20 cm，切去的小正方体的棱长为10 cm，求这个几何体的表面积和体积。
答案
8. 解:(1)C B A
(2)该几何体的表面积为6×20²=2 400(cm²)；
该几何体的体积为20³-10³=7 000(cm³)。
(2)该几何体的表面积为6×20²=2 400(cm²)；
该几何体的体积为20³-10³=7 000(cm³)。
解析
【分析】
(1) 判断三视图时，需分别站在上面、左面、正面三个观察方向，想象看到的平面轮廓，重点确定空缺小正方形的位置：原几何体切去的小正方体在大正方体靠近左上角的位置，对应不同观察方向的空缺位置即可匹配对应图形。
(2) 表面积计算：切去小正方体时，原大正方体表面会去掉3个小正方形的面，同时切面处会新增3个同样大小的小正方形的面，因此几何体表面积和原大正方体表面积相等；体积计算直接用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可。
【解析】
(1) ①从上面观察几何体：看到的大正方形内，空缺的小正方形位于左下角，对应图形C；②从左面观察几何体：看到的大正方形内，空缺的小正方形位于右上角，对应图形B；③从正面观察几何体：看到的大正方形内，空缺的小正方形位于左上角，对应图形A。
(2) 表面积计算：
切去小正方体后减少的面和新增的面面积相等，因此几何体表面积与原大正方体表面积相同：
$S=6× 20^2=6× 400=2400\ (\mathrm{cm}^2)$
体积计算：
几何体体积等于大正方体体积减去切去的小正方体体积：
$V=20^3-10^3=8000-1000=7000\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) C；B；A
(2) 表面积为$2400\ \mathrm{cm}^2$，体积为$7000\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
三视图识别；正方体表面积计算；正方体体积计算
【点评】
本题考查空间想象能力和几何体的相关计算，易错点是误判切去小正方体后的表面积变化，需明确切去小正方体时减少的面与新增的面面积相等，表面积不变。
【难度系数】
0.7
(1) 判断三视图时，需分别站在上面、左面、正面三个观察方向，想象看到的平面轮廓，重点确定空缺小正方形的位置：原几何体切去的小正方体在大正方体靠近左上角的位置，对应不同观察方向的空缺位置即可匹配对应图形。
(2) 表面积计算：切去小正方体时，原大正方体表面会去掉3个小正方形的面，同时切面处会新增3个同样大小的小正方形的面，因此几何体表面积和原大正方体表面积相等；体积计算直接用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可。
【解析】
(1) ①从上面观察几何体：看到的大正方形内，空缺的小正方形位于左下角，对应图形C；②从左面观察几何体：看到的大正方形内，空缺的小正方形位于右上角，对应图形B；③从正面观察几何体：看到的大正方形内，空缺的小正方形位于左上角，对应图形A。
(2) 表面积计算：
切去小正方体后减少的面和新增的面面积相等，因此几何体表面积与原大正方体表面积相同：
$S=6× 20^2=6× 400=2400\ (\mathrm{cm}^2)$
体积计算：
几何体体积等于大正方体体积减去切去的小正方体体积：
$V=20^3-10^3=8000-1000=7000\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) C；B；A
(2) 表面积为$2400\ \mathrm{cm}^2$，体积为$7000\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
三视图识别；正方体表面积计算；正方体体积计算
【点评】
本题考查空间想象能力和几何体的相关计算，易错点是误判切去小正方体后的表面积变化，需明确切去小正方体时减少的面与新增的面面积相等，表面积不变。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 学校超市货架上摆放着某品牌方便面，从正面、左面、上面看到的方便面形状图如图1-2-36，则该学校超市货架上的方便面至少有（
A.7盒
B.8盒
C.9盒
D.10盒
9. 学校超市货架上摆放着某品牌方便面，从正面、左面、上面看到的方便面形状图如图1-2-36，则该学校超市货架上的方便面至少有（
A
）。A.7盒
B.8盒
C.9盒
D.10盒
答案
9.A
解析
【分析】
要解决根据三视图求方便面最少盒数的问题，思考步骤如下：1. 先看俯视图，俯视图的每个位置对应货架上摆放方便面的一个位置，因此最底层的方便面数量等于俯视图中图形的个数；2. 再结合主视图和左视图确定第二层、第三层最少需要的方便面数量，要让总数最少，需让高层的方便面尽可能放在重叠的位置，避免多放。
【解析】
步骤1：确定第一层（最底层）数量：从上面看的视图有4个圆，说明底层有4个摆放位置，每个位置至少1盒，因此第一层共4盒。
步骤2：确定第二层最少数量：从正面看左列最高3层、右列最高2层，从左面看左行最高3层、右行最高2层，要满足右列和右行至少有2层的要求，第二层最少放2盒即可。
步骤3：确定第三层最少数量：要满足左列和左行最高3层的要求，仅需要在左列左行的位置放1盒第三层的方便面即可。
总最少盒数：$4+2+1=7$（盒）
【答案】
A
【知识点】
1. 三视图的识别
2. 由三视图确定物体个数
【点评】
本题是三视图的典型应用题型，解题核心是先通过俯视图确定底层固定数量，再结合主视图、左视图的层数要求，在满足“最少”的条件下让高层位置尽可能重合，易错点是误算成最多数量的情况，需注意审题。
【难度系数】
0.6
要解决根据三视图求方便面最少盒数的问题，思考步骤如下：1. 先看俯视图，俯视图的每个位置对应货架上摆放方便面的一个位置，因此最底层的方便面数量等于俯视图中图形的个数；2. 再结合主视图和左视图确定第二层、第三层最少需要的方便面数量，要让总数最少，需让高层的方便面尽可能放在重叠的位置，避免多放。
【解析】
步骤1：确定第一层（最底层）数量：从上面看的视图有4个圆，说明底层有4个摆放位置，每个位置至少1盒，因此第一层共4盒。
步骤2：确定第二层最少数量：从正面看左列最高3层、右列最高2层，从左面看左行最高3层、右行最高2层，要满足右列和右行至少有2层的要求，第二层最少放2盒即可。
步骤3：确定第三层最少数量：要满足左列和左行最高3层的要求，仅需要在左列左行的位置放1盒第三层的方便面即可。
总最少盒数：$4+2+1=7$（盒）
【答案】
A
【知识点】
1. 三视图的识别
2. 由三视图确定物体个数
【点评】
本题是三视图的典型应用题型，解题核心是先通过俯视图确定底层固定数量，再结合主视图、左视图的层数要求，在满足“最少”的条件下让高层位置尽可能重合，易错点是误算成最多数量的情况，需注意审题。
【难度系数】
0.6
10. 用一些大小相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看到的几何体的形状图如图1-2-37所示，从上面看到的几何体的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上的小立方块的个数，解答下列问题：
(1)d，e，f分别表示几？
(2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？
(3)当a=b=1，c=2时，画出这个几何体从左面看到的形状图。
(1)d，e，f分别表示几？
(2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？
(3)当a=b=1，c=2时，画出这个几何体从左面看到的形状图。
答案
10. 解:(1)d=1,e=1,f=3。(2)这个几何体最多由6+2+3=11(个)小立方块搭成;最少由4+2+3=9(个)小立方块搭成。
(3)如答图1-2-6所示：
解析
【分析】
首先解决第(1)问：从正面看到的形状图中，每一列的高度对应从上面看到的形状图中同列小立方块的最大层数。观察正面图，从左到右三列的最大高度分别为2、1、3；对应俯视图的三列：第一列（a、b、c所在列）最大高度为2，第二列（d、e所在列）最大高度为1，第三列（只有f）最大高度为3，因此d和e只能取1，f取3。
接着第(2)问：要计算总小立方块数，已知d、e、f固定为1、1、3，只需要确定a、b、c的取值。因为a、b、c所在列最大高度为2，因此每个位置最多取2，最少需要至少有一个位置取2（保证列最大高度为2），其余取1，分别求和即可得到最多和最少的总块数。
第(3)问：从左面看到的形状图的列数对应俯视图的行数，每列高度为俯视图对应行的最大层数。当a=b=1，c=2时，俯视图从后到前的三行最大高度分别为3、1、2，据此画出左视图即可。
【解析】
(1) 由正面视图的规律可知，从左到右三列的最大层数依次为2、1、3：
俯视图第二列为d、e所在列，最大层数为1，因此$d=1$，$e=1$；
俯视图第三列仅f一个位置，最大层数为3，因此$f=3$。
(2) 俯视图第一列a、b、c所在列的最大层数为2：
求最多块数时，a、b、c均取最大值2，总块数为$2+2+2+1+1+3=11$（个）；
求最少块数时，a、b、c中仅1个取2，其余两个取1，总块数为$2+1+1+1+1+3=9$（个）。
(3) 当$a=b=1$，$c=2$时，俯视图从后到前三行的最大高度分别为：最后一行（a、d、f）最大高度为3，中间行（b、e）最大高度为1，最前一行（c）高度为2，因此左视图从左到右三列高度依次为3、1、2，对应形状图如下。
【答案】
(1) $d=1,e=1,f=3$
(2) 最多由11个小立方块搭成，最少由9个小立方块搭成
(3)
【知识点】
几何体的三视图，由三视图判断几何体，画三视图
【点评】
本题核心是考查三视图之间的对应规律，解题关键是理解“主视图列高对应俯视图同列最大层数，左视图列高对应俯视图同行最大层数”，熟练掌握该规律即可快速解决这类三视图还原几何体的问题。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问：从正面看到的形状图中，每一列的高度对应从上面看到的形状图中同列小立方块的最大层数。观察正面图，从左到右三列的最大高度分别为2、1、3；对应俯视图的三列：第一列（a、b、c所在列）最大高度为2，第二列（d、e所在列）最大高度为1，第三列（只有f）最大高度为3，因此d和e只能取1，f取3。
接着第(2)问：要计算总小立方块数，已知d、e、f固定为1、1、3，只需要确定a、b、c的取值。因为a、b、c所在列最大高度为2，因此每个位置最多取2，最少需要至少有一个位置取2（保证列最大高度为2），其余取1，分别求和即可得到最多和最少的总块数。
第(3)问：从左面看到的形状图的列数对应俯视图的行数，每列高度为俯视图对应行的最大层数。当a=b=1，c=2时，俯视图从后到前的三行最大高度分别为3、1、2，据此画出左视图即可。
【解析】
(1) 由正面视图的规律可知，从左到右三列的最大层数依次为2、1、3：
俯视图第二列为d、e所在列，最大层数为1，因此$d=1$，$e=1$；
俯视图第三列仅f一个位置，最大层数为3，因此$f=3$。
(2) 俯视图第一列a、b、c所在列的最大层数为2：
求最多块数时，a、b、c均取最大值2，总块数为$2+2+2+1+1+3=11$（个）；
求最少块数时，a、b、c中仅1个取2，其余两个取1，总块数为$2+1+1+1+1+3=9$（个）。
(3) 当$a=b=1$，$c=2$时，俯视图从后到前三行的最大高度分别为：最后一行（a、d、f）最大高度为3，中间行（b、e）最大高度为1，最前一行（c）高度为2，因此左视图从左到右三列高度依次为3、1、2，对应形状图如下。
【答案】
(1) $d=1,e=1,f=3$
(2) 最多由11个小立方块搭成，最少由9个小立方块搭成
(3)
【知识点】
几何体的三视图，由三视图判断几何体，画三视图
【点评】
本题核心是考查三视图之间的对应规律，解题关键是理解“主视图列高对应俯视图同列最大层数，左视图列高对应俯视图同行最大层数”，熟练掌握该规律即可快速解决这类三视图还原几何体的问题。
【难度系数】
0.7
