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1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，由图中的尺规作图得到射线$BD$，$BD$与$AC$相交于点$E$，$F$为$BC$的中点，连结$EF$，若$BE=4$，$AC=6$，则$△ EFC$的周长为（
A.10
B.9
C.8.5
D.8
D
）A.10
B.9
C.8.5
D.8
答案
因为在$△ ABC$中，$AB=BC$，$BD$平分$∠ ABC$，
所以$AE=CE=\dfrac{1}{2}AC=3,∠ BEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$BE=4$，
所以$BC^2=BE^2+EC^2=16+9=25$，
所以$BC=5$。
因为$F$为$BC$的中点，
所以$EF=FC=\dfrac{1}{2}BC=2.5$，
所以$△ EFC$的周长为$2.5+2.5+3=8$。
所以$AE=CE=\dfrac{1}{2}AC=3,∠ BEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$BE=4$，
所以$BC^2=BE^2+EC^2=16+9=25$，
所以$BC=5$。
因为$F$为$BC$的中点，
所以$EF=FC=\dfrac{1}{2}BC=2.5$，
所以$△ EFC$的周长为$2.5+2.5+3=8$。
2. 数学课上，张老师给出下面的例题：
例1:在等腰三角形ABC中，∠A=110°,求∠B的度数。(答案:35°)
例2:在等腰三角形ABC中，∠A=40°,求∠B的度数。(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下题目：
变式:在等腰三角形ABC中，∠A=80°,求∠B的度数。
(1)变式中∠B的度数为
(2)解答完(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同。如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围。
例1:在等腰三角形ABC中，∠A=110°,求∠B的度数。(答案:35°)
例2:在等腰三角形ABC中，∠A=40°,求∠B的度数。(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下题目：
变式:在等腰三角形ABC中，∠A=80°,求∠B的度数。
(1)变式中∠B的度数为
20°或 50°或 80°
。(2)解答完(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同。如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围。
答案
(1)$20°$或$50°$或$80°$
(2)当$90≤ x＜180$时，$∠ A$只能为顶角，
所以$∠ B$的度数只有一个；
当$0＜x＜90$时，
若$∠ A$为顶角，则$∠ B=(\dfrac{180-x}{2})°$；
若$∠ A$为底角，$∠ B$为顶角，则$∠ B=(180-2x)°$；
若$∠ A$为底角，$∠ B$为底角，则$∠ B=x°$。
当$\dfrac{180-x}{2}≠180-2x$且$180-2x≠ x$且$\dfrac{180-x}{2}≠ x$，
即$x≠60$时，$∠ B$有三个不同的度数。
综上所述，$0＜x＜90$且$x≠60$。
(2)当$90≤ x＜180$时，$∠ A$只能为顶角，
所以$∠ B$的度数只有一个；
当$0＜x＜90$时，
若$∠ A$为顶角，则$∠ B=(\dfrac{180-x}{2})°$；
若$∠ A$为底角，$∠ B$为顶角，则$∠ B=(180-2x)°$；
若$∠ A$为底角，$∠ B$为底角，则$∠ B=x°$。
当$\dfrac{180-x}{2}≠180-2x$且$180-2x≠ x$且$\dfrac{180-x}{2}≠ x$，
即$x≠60$时，$∠ B$有三个不同的度数。
综上所述，$0＜x＜90$且$x≠60$。
3. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,O是AB的中点,且BC=2,将一块直角三角板的直角顶点放在点O处,始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC,BC相交,交点分别为D,E,则CD+CE=（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$CD$是斜边$AB$上的高线，若$AD=3$，则$AB$的长是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
12
5. 如图1，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，则图1中有
2
个等腰三角形。若过点D作EF//BC，交AB于点E，交AC于点F，则图2中又增加了3
个等腰三角形。答案
2 3
6. 如图，在$△ ABC$中，$BC = 5\ \mathrm{cm}$，$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线，且$PD // AB$，$PE // AC$，则$△ PDE$的周长为
5 cm
。答案
因为$BP,CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线，
所以$∠ ABP=∠ PBD,∠ ACP=∠ PCE$。
因为$PD// AB,PE// AC$，
所以$∠ ABP=∠ DPB,∠ ACP=∠ CPE$，
所以$∠ PBD=∠ DPB,∠ PCE=∠ CPE$，
所以$BD=PD,EC=PE$。
因为$BC=5\ \mathrm{cm}$，
所以$△ PDE$的周长为$PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5\ \mathrm{cm}$。
所以$∠ ABP=∠ PBD,∠ ACP=∠ PCE$。
因为$PD// AB,PE// AC$，
所以$∠ ABP=∠ DPB,∠ ACP=∠ CPE$，
所以$∠ PBD=∠ DPB,∠ PCE=∠ CPE$，
所以$BD=PD,EC=PE$。
因为$BC=5\ \mathrm{cm}$，
所以$△ PDE$的周长为$PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5\ \mathrm{cm}$。
