1. 一个正方形被分成 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个部分，如右图所示。已知 $A$ 和 $B$ 的面积比是 $2:3$，$B$ 和 $C$ 的面积比是 $2:1$。
(1)求 $A$，$B$，$C$ 三部分的面积比。

(2)如果 $D$ 的面积是 $35\mathrm{cm}^2$，求这个正方形的边长。

(1)因为$A:B = 2:3 = 4:6$，$B:C = 2:1 = 6:3$，所以$A:B:C = 4:6:3$。
(2)设$A = 4k$，$B = 6k$，$C = 3k$，正方形面积为$S$。由图形分割知$A + B = C + D$（均为正方形面积的一半），则$4k + 6k = 3k + 35$，解得$7k = 35$，$k = 5$。正方形面积$S = 2×(4k + 6k) = 2×10k = 20×5 = 100$，边长为$\sqrt{100} = 10\mathrm{cm}$。
(1) $4:6:3$；(2) $10\mathrm{cm}$

2. 有一个底面是正方形的长方体，若按图 $1$ 沿虚线切开，则表面积增加 $50$ 平方厘米；若按如图 $2$ 沿虚线切开，则表面积增加 $120$ 平方厘米。这个长方体的体积是多少？

设底面正方形边长为$a$厘米，长方体高为$h$厘米。
1. 分析图1切割： 切开后表面积增加50平方厘米，增加两个正方形底面，故$2a^2 = 50$，解得$a^2=25$，$a=5$（厘米）。
2. 分析图2切割： 切开后表面积增加120平方厘米，增加两个长方形侧面，故$2ah = 120$，即$ah=60$。
3. 求高$h$： 由$a=5$，得$h=60÷ a=60÷5=12$（厘米）。
4. 计算体积： $V=a× a× h=5×5×12=300$（立方厘米）。
答：这个长方体的体积是300立方厘米。