1 [2026 河南郑州期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=65°,∠ ACB=45°,AD$是高,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B,E为圆心,大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径画弧,两弧在$∠ BAC$的内部交于点F,作射线AF,则$∠ DAF$的度数是度.

(第1题图)
(第3题图)

由三角形内角和得$∠ BAC=180°-65°-45°=70°$. 由尺规作图知, $AF$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=35°. \because AD$ 是高, $\therefore ∠ ADB = 90°, \therefore ∠ BAD = 180°-90°-65°=25°,\therefore ∠ DAF = ∠ BAF - ∠ BAD = 35°-25°=10°$. 故答案为10.

2 分别画出已知钝角和平角的平分线.

如图所示,射线 OC 即为角平分线.

3[2026 陕西榆林质检]在如图所示的网格中，∠QBC的位置如图所示，Q,B,C,P,A,M,N在格点上，则P,A,M,N中到∠QBC两边距离相等的点是（）

A.P
B.A
C.N
D.M

由题图可知,点 $M$ 在 $∠ QBC$ 的平分线上,点 $P,A,N$ 均不在 $∠ QBC$ 的平分线上, $\therefore$ 点 $M$ 到 $∠ QBC$ 两边距离相等,故选 D.

4 点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（）

A.$PQ＞6$
B.$PQ≥ 6$
C.$PQ＜6$
D.$PQ≤ 6$

如图, $OP$ 平分 $∠ AOB, PM = 6$, $PM ⊥ OA$, 过点 $P$ 作 $PN ⊥ OB$ 于 $N$, 则 $PM = PN = 6$. $\because$ 点 $Q$ 是 $OB$ 边上的任意一点, $\therefore PQ≥ 6$. 故选 B.

5 如图,已知△ABC的周长是34,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4,则△ABC的面积是 ()

A.17
B.34
C.38
D.68

如图,过点 $O$ 作 $OE ⊥ AB$ 于 $E$, $OF ⊥ AC$ 于 $F$, 连接 $OA$. $\because BO, CO$ 分别平分 $∠ ABC$ 和 $∠ ACB, OD ⊥ BC, \therefore OE = OD, OD = OF$,即 $OE = OF = OD = 4$, $\therefore △ ABC$ 的面积为
$S_{△ AOB}+S_{△ AOC}+S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× AC× OF+\frac{1}{2}× BC× OD=\frac{1}{2}×4×(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}×4×34=68$. 故选 D.

6如图,点P是∠AOB的平分线OC上一点,PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一点.已知OM=3,ON=5,点D为OA上一点,若满足PD=PM,则OD的长度为.

如图,过点 $P$ 作 $PE ⊥ OA$ 于点 $E$. $\because OC$ 平分 $∠ AOB, PE ⊥ OA, PN ⊥ OB$, $\therefore PE = PN$. $\because OP = OP$, $\therefore \mathrm{Rt}△ OPE ≌ \mathrm{Rt}△ OPN(\mathrm{HL}), \therefore OE = ON = 5$.
$\because OM = 3, ON = 5, \therefore MN = 2$. 若点 $D$ 在线段 $OE$ 上, $\because PM = PD, PE = PN, \therefore \mathrm{Rt}△ PMN ≌ \mathrm{Rt}△ PDE(\mathrm{HL}), \therefore DE = MN = 2, \therefore OD = OE - DE = 3$. 若点 $D'$ 在射线 $EA$ 上, 同理可得 $D'E = MN = 2, \therefore OD' = OE + D'E = 7$. 故答案为 3 或 7.

易错警示
点 $D$ 位置不确定,注意不要漏解.

7[2026湖南长沙质检]如图,在$△ ABC$中,按如下步骤作图:以点B为圆心,适当长为半径作圆弧,交AB于点M,交BC于点N;分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作圆弧,两弧在$∠ ABC$内交于点P;作射线BP,交AC于点D.
(1)连接MP,NP,通过证明$△ BMP ≌ △ BNP$,得到$∠ ABD=∠ CBD$,从而得到BD是$∠ ABC$的平分线,其中证明$△ BMP ≌ △ BNP$的依据是(填序号).
①SAS;②ASA;③AAS;④SSS.
(2)若$AB=16,BC=14,S_{△ ABC}=75$,过点D作$DE ⊥ AB$于E,求DE的长.

(1) 在 $△ MBP$ 和 $△ NBP$ 中, $\begin{cases} BM = BN, \\ BP = BP, \\ MP = NP, \end{cases}$ $\therefore △ MBP ≌ △ NBP(\mathrm{SSS})$. 故答案为④.
(2) 如图,过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$ 于 $F$. 由(1) 可知 $∠ ABD = ∠ CBD$, 又 $\because DE ⊥ AB, DF ⊥ BC, \therefore DE = DF, \therefore S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = \frac{1}{2} · AB · DE + \frac{1}{2} · BC · DF = \frac{1}{2} · DE · (AB + BC)$, 即 $75 = \frac{1}{2} · DE · (16+14), \therefore DE = 5$.