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13. 若$x^2 - xy = 60$，$xy - y^2 = 40$，则式子$\frac{1}{2}(x^2 +1) - \frac{1}{2}(y^2 -2)$的值为
$\frac{103}{2}$
。答案
$2x ÷ 2 = 24 ÷ 2$
$y ÷ 3 × 3 = 12 × 3$
$y ÷ 3 × 3 = 12 × 3$
14. 先化简,再求值:$2(x^2 - 2x^2y) - [3(x^2 - xy^2) - (x^2y - 2xy^2 + x^2)]$,其中$x=-\dfrac{1}{3}, y=-2$.
答案
原式=$2x^2-4x^2y-(3x^2-3xy^2-x^2y+2xy^2-x^2)=2x^2-4x^2y-2x^2+xy^2+x^2y=-3x^2y+xy^2$.当$x=-\frac{1}{3},y=-2$时,原式=$-3×(-\frac{1}{3})^2×(-2)+(-\frac{1}{3})×(-2)^2=-\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
本题属于整式的化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步去括号，按照先去小括号、再去中括号的顺序操作，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第二步合并同类项，把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步代入x、y的数值计算结果，先化简再代入的方法能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 去小括号：
$2(x^2 - 2x^2y) - [3(x^2 - xy^2) - (x^2y - 2xy^2 + x^2)]$
$=2x^2 - 4x^2y - [3x^2 - 3xy^2 - x^2y + 2xy^2 - x^2]$
2. 合并中括号内的同类项后去中括号：
$=2x^2 - 4x^2y - (2x^2 - xy^2 - x^2y)$
$=2x^2 - 4x^2y - 2x^2 + xy^2 + x^2y$
3. 合并同类项得最简式：
$=-3x^2y + xy^2$
再代入$x=-\dfrac{1}{3}, y=-2$计算：
原式$=-3× (-\dfrac{1}{3})^2× (-2) + (-\dfrac{1}{3})× (-2)^2$
$=-3× \dfrac{1}{9}× (-2) + (-\dfrac{1}{3})× 4$
$=\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3}$
$=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，易错点是去括号时的符号处理，以及代入负数计算乘方、乘法时的符号判断，按照步骤逐步运算即可有效避免失误。
【难度系数】
0.7
本题属于整式的化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步去括号，按照先去小括号、再去中括号的顺序操作，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；第二步合并同类项，把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步代入x、y的数值计算结果，先化简再代入的方法能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 去小括号：
$2(x^2 - 2x^2y) - [3(x^2 - xy^2) - (x^2y - 2xy^2 + x^2)]$
$=2x^2 - 4x^2y - [3x^2 - 3xy^2 - x^2y + 2xy^2 - x^2]$
2. 合并中括号内的同类项后去中括号：
$=2x^2 - 4x^2y - (2x^2 - xy^2 - x^2y)$
$=2x^2 - 4x^2y - 2x^2 + xy^2 + x^2y$
3. 合并同类项得最简式：
$=-3x^2y + xy^2$
再代入$x=-\dfrac{1}{3}, y=-2$计算：
原式$=-3× (-\dfrac{1}{3})^2× (-2) + (-\dfrac{1}{3})× (-2)^2$
$=-3× \dfrac{1}{9}× (-2) + (-\dfrac{1}{3})× 4$
$=\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3}$
$=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，易错点是去括号时的符号处理，以及代入负数计算乘方、乘法时的符号判断，按照步骤逐步运算即可有效避免失误。
【难度系数】
0.7
15. 已知$A-2B=7a^2-7ab$，且$B=-4a^2+6ab+7$。
(1)求A等于多少；
(2)若$|a+1|+(b-2)^2=0$，求A的值。
(1)求A等于多少；
(2)若$|a+1|+(b-2)^2=0$，求A的值。
答案
(1) $x+35=y\boldsymbol{+}\boldsymbol{35}$
(2) $x-74=y\boldsymbol{-}\boldsymbol{74}$
(3) $x\boldsymbol{×}\boldsymbol{8}=y×8$
(4) $x÷18=y\boldsymbol{÷}\boldsymbol{18}$
(2) $x-74=y\boldsymbol{-}\boldsymbol{74}$
(3) $x\boldsymbol{×}\boldsymbol{8}=y×8$
(4) $x÷18=y\boldsymbol{÷}\boldsymbol{18}$
16. 新趋势 代数推理 x表示一个两位数，y表示一个三位数，若把x放在y的左边组成一个五位数记为A，把y放在x的左边组成一个五位数记为B.
(1)用含x,y的式子表示A-B.
(2)A-B是9的倍数吗？为什么？
(3)已知一个三位正整数的百位上的数字为m，个位上的数字为n，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于495，则m-n=
(1)用含x,y的式子表示A-B.
(2)A-B是9的倍数吗？为什么？
(3)已知一个三位正整数的百位上的数字为m，个位上的数字为n，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于495，则m-n=
5
.答案
由题意可知华华带的总钱数固定，可得等式：
3本笔记本的价钱 + 5支圆珠笔的价钱 = 2本笔记本的价钱 + 9支圆珠笔的价钱
等式两边同时减去2本笔记本的价钱：
1本笔记本的价钱 + 5支圆珠笔的价钱 = 9支圆珠笔的价钱
等式两边同时减去5支圆珠笔的价钱：
1本笔记本的价钱 = 4支圆珠笔的价钱
答：1本笔记本的价钱相当于4支圆珠笔的价钱。
3本笔记本的价钱 + 5支圆珠笔的价钱 = 2本笔记本的价钱 + 9支圆珠笔的价钱
等式两边同时减去2本笔记本的价钱：
1本笔记本的价钱 + 5支圆珠笔的价钱 = 9支圆珠笔的价钱
等式两边同时减去5支圆珠笔的价钱：
1本笔记本的价钱 = 4支圆珠笔的价钱
答：1本笔记本的价钱相当于4支圆珠笔的价钱。
17. 有三个人数均相等的学习小组(小组人数足够多)分别记为智慧小组、创新小组、高效小组,依次完成以下三个步骤:第一步,智慧小组2人去创新小组;第二步,高效小组3人去创新小组;第三步,智慧小组还有几个人,创新小组就去多少人到智慧小组,最终创新小组的人数为 (
A.3
B.5
C.7
D.9
C
)A.3
B.5
C.7
D.9
答案
C 解析:设三个小组人数都为$x$,第一步后:智慧小组有$(x-2)$人,创新小组有$(x+2)$人,高效小组有$x$人;第二步后:智慧小组有$(x-2)$人,创新小组有$(x+2+3)=(x+5)$人,高效小组有$(x-3)$人;第三步后:创新小组有$(x+5)-(x-2)=7$(人),故选C.
解析
【分析】
解题时首先注意到三个小组初始人数相等，我们可以设每组初始人数为x，再按照题目给出的三个操作步骤，依次推导每一步完成后三个小组的人数，重点明确第三步的数量关系：从创新小组转到智慧小组的人数，等于前两步操作后智慧小组剩余的人数，最后计算创新小组最终人数时，未知数x会自然抵消，即可得到固定的结果。
【解析】
设三个小组的初始人数都为$x$。
第一步操作后：智慧小组有$(x-2)$人，创新小组有$(x+2)$人，高效小组有$x$人；
第二步操作后：智慧小组人数不变仍为$(x-2)$人，创新小组有$x+2+3=(x+5)$人，高效小组有$(x-3)$人；
第三步操作：从创新小组转到智慧小组的人数等于此时智慧小组的人数，即$(x-2)$人，
因此最终创新小组的人数为：
$(x+5)-(x-2)=x+5-x+2=7$（人）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；整式的加减；去括号法则
【点评】
本题是代数式实际应用的典型题型，核心是通过设未知参数表示各阶段的人数，准确梳理每一步的人数变化关系，无需纠结未知参数的具体取值，最终参数会相互抵消得到定值即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先注意到三个小组初始人数相等，我们可以设每组初始人数为x，再按照题目给出的三个操作步骤，依次推导每一步完成后三个小组的人数，重点明确第三步的数量关系：从创新小组转到智慧小组的人数，等于前两步操作后智慧小组剩余的人数，最后计算创新小组最终人数时，未知数x会自然抵消，即可得到固定的结果。
【解析】
设三个小组的初始人数都为$x$。
第一步操作后：智慧小组有$(x-2)$人，创新小组有$(x+2)$人，高效小组有$x$人；
第二步操作后：智慧小组人数不变仍为$(x-2)$人，创新小组有$x+2+3=(x+5)$人，高效小组有$(x-3)$人；
第三步操作：从创新小组转到智慧小组的人数等于此时智慧小组的人数，即$(x-2)$人，
因此最终创新小组的人数为：
$(x+5)-(x-2)=x+5-x+2=7$（人）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；整式的加减；去括号法则
【点评】
本题是代数式实际应用的典型题型，核心是通过设未知参数表示各阶段的人数，准确梳理每一步的人数变化关系，无需纠结未知参数的具体取值，最终参数会相互抵消得到定值即可求解。
【难度系数】
0.7
18. 将式子$4x+(3x-x)=4x+3x-x$，$4x-(3x-x)=4x-3x+x$分别反过来，你得到两个怎样的等式？
(1) 比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？
(2) 根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式$-3x^5 -4x^2 +3x^3 -2$的值，把它的后两项放在：
①前面带有“+”号的括号里；
②前面带有“-”号的括号里。
(3) 在多项式$x-y-z-m-n$中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”。例如：$(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n$，$x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n······$
下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”最多有8种不同运算结果。
其中正确的有
(1) 比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？
(2) 根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式$-3x^5 -4x^2 +3x^3 -2$的值，把它的后两项放在：
①前面带有“+”号的括号里；
②前面带有“-”号的括号里。
(3) 在多项式$x-y-z-m-n$中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”。例如：$(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n$，$x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n······$
下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”最多有8种不同运算结果。
其中正确的有
①②③
（填序号）。答案
解：
将两个等式左右两边分别相加：
(x+x+y)+(x+y+y) = 18+12
3x + 3y = 30
可得：x + y = 10
把x+y=10代入x+x+y=18：
x + 10 = 18
x = 8
把x+y=10代入x+y+y=12：
10 + y = 12
y = 2
答：x是8，y是2。
将两个等式左右两边分别相加：
(x+x+y)+(x+y+y) = 18+12
3x + 3y = 30
可得：x + y = 10
把x+y=10代入x+x+y=18：
x + 10 = 18
x = 8
把x+y=10代入x+y+y=12：
10 + y = 12
y = 2
答：x是8，y是2。
