1. 如图,已知$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ BOC$,$∠ COD=∠ AOD=3∠ AOB$,则$∠ COD$的度数为 ()


A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$

解：
(1) 将一次函数解析式变形为 $y = a(x+3) + 1$，
令 $x+3=0$，得 $x=-3$，此时 $y=1$，该结果与$a$的取值无关，
因此这个定点的坐标为 $\boldsymbol{(-3,1)}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当 $a＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，
则在 $2≤ x≤4$ 范围内，$x=4$ 时$y$取得最大值6，
将 $x=4$，$y=6$ 代入解析式得：
$4a + 3a + 1 = 6$
解得 $a=\frac{5}{7}$，符合 $a＞0$ 的条件。
② 当 $a＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，
则在 $2≤ x≤4$ 范围内，$x=2$ 时$y$取得最大值6，
将 $x=2$，$y=6$ 代入解析式得：
$2a + 3a + 1 = 6$
解得 $a=1$，不符合 $a＜0$ 的条件，舍去。
综上，$a$ 的值为 $\frac{5}{7}$。

【分析】
首先观察图形可知，∠AOB、∠BOC、∠COD、∠AOD共同组成周角，和为360°；题目中所有角的度数都和∠AOB存在明确的倍数关系，因此可以设∠AOB的度数为x，将其余三个角都用含x的式子表示，再根据四个角的和为360°列方程求解，最后根据∠COD和∠AOB的倍数关系算出∠COD的度数即可。
【解析】
设$∠ AOB=x°$，
由$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ BOC$可得$∠ BOC=2x°$，
由$∠ COD=∠ AOD=3∠ AOB$可得$∠ COD=∠ AOD=3x°$，
因为四个角的和为周角$360°$，因此列方程：
$x+2x+3x+3x=360$
合并同类项得$9x=360$，解得$x=40$，
因此$∠ COD=3x°=3×40°=120°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
周角的性质；角的和差计算；方程思想求角度
【点评】
本题是角度计算的典型基础题，解题核心是梳理清楚各角的数量关系，通过设未知数将所有角统一表示，结合周角的度数列方程求解，能够很好地考察学生对角度关系和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.8

2. 如图,已知O为直线AB上一点,过点O向直线AB上方引三条射线OC,OD,OE,且OC平分∠AOD,∠2=3∠1.
(1)设∠1=18°,则∠COE=°;
(2)若∠COE=70°,求∠2的度数.

(1)72 解析:因为$∠1=18°$,$∠2=3∠1$,所以$∠2=54°$,所以$∠AOD=180°-∠1-∠2=108°$.因为OC平分$∠AOD$,所以$∠3=54°$,所以$∠COE=∠1+∠3=18°+54°=72°$.
(2)设$∠1=x°$,因为OC平分$∠AOD$,$∠COE=∠1+∠3=70°$,所以$∠3=∠4=70°-x°$.又因为$∠1+∠2+∠3+∠4=180°$,所以$x°+∠2+2(70°-x°)=180°$,所以$∠2=40°+x°$.因为$∠2=3∠1$,即$40°+x°=3x°$,解得$x=20$,所以$∠2=3∠1=3×20°=60°$.

【分析】
(1) 解决第一问时，先根据∠2与∠1的倍数关系求出∠2的度数，再利用平角为180°求出∠AOD的度数，结合OC平分∠AOD得到∠3的度数，最后通过∠COE=∠3+∠1算出结果。
(2) 解决第二问时，先设∠1为x°，用含x的式子表示出∠3，再结合角平分线的性质得到∠4与∠3相等，根据平角的定义和∠2与∠1的倍数关系列方程求解，最后算出∠2的度数。
【解析】
(1) 已知∠1=18°，∠2=3∠1，因此∠2=3×18°=54°。
因为O在直线AB上，∠AOB是平角为180°，所以∠AOD=180°-∠1-∠2=180°-18°-54°=108°。
又因为OC平分∠AOD，所以∠3=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×108°=54°。
因此∠COE=∠3+∠1=54°+18°=72°。
(2) 设∠1=x°，则∠2=3∠1=3x°。
因为∠COE=∠1+∠3=70°，所以∠3=70°-x°。
因为OC平分∠AOD，所以∠4=∠3=70°-x°。
根据平角的定义，∠4+∠3+∠1+∠2=180°，代入角度表达式得：
$(70-x)+(70-x)+x+3x=180$
化简得：$140+2x=180$
解得$x=20$
因此∠2=3x°=3×20°=60°。
【答案】
(1)72；(2)60°
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的常见题型，解题核心是理清不同角之间的数量关系，结合角平分线性质、平角的定义建立等量关系，第二小问运用方程思想可以简化思考过程，需要熟练掌握这类角度计算的思路。
【难度系数】
0.7

3. 同学们,闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑,可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后,你能解决很多关于闹钟的有趣问题:
(1) 三点整时时针与分针所夹的角是度.
(2)7点25分时针与分针所夹的角是度.
(3)一昼夜(0点到24点)时针与分针互相垂直的次数有多少次？

(1)90 解析:三点整时时针与分针所夹的角是$360°÷12×3=90°$.
(2)72.5 解析:7点25分时针与分针所夹的角是$360°÷12×7\frac{5}{12}-360°÷60×25=72.5°$.
(3)设从重合到第一次垂直所需要的时间为t分钟,则$6t-0.5t=90$,解得$t=\frac{180}{11}$.设一次垂直到下一次垂直经过x分钟,则$6x-0.5x=2×90,5.5x=180,x=\frac{360}{11},(24×60-\frac{180}{11})÷\frac{360}{11}=24×60×\frac{11}{360}-0.5=43.5$(次),取整为43次.
故总次数为$43+1=44$(次).
答:一昼夜(0点到24点)时针与分针互相垂直的次数有44次.

【分析】
首先明确钟面角度的基础规律：整个钟面为周角360°，一共12个大格，因此每个大格对应30°；分针60分钟转一圈，每分钟走6°；时针12小时转一圈，每分钟走0.5°。解题思路如下：
(1) 三点整时分针指向12、时针指向3，二者间隔3个大格，直接用大格数乘单个大格的角度即可求出夹角。
(2) 计算7点25分的夹角时，分别算出此时时针、分针从0点开始转过的总角度，二者的差就是两针的夹角度数。
(3) 两针垂直时夹角为90°，属于追及问题：分针转速比时针快，先算出相邻两次垂直的时间间隔，再用一昼夜的总分钟数除以间隔，结合实际情况取整即可得到总垂直次数。
【解析】
先确定时针和分针的转速：分针每分钟走$360°÷60=6°$，时针每分钟走$360°÷(12×60)=0.5°$。
(1) 三点整时，时针与分针间隔3个大格，夹角度数为：$360°÷12×3=90°$。
(2) 7点25分时，时针转过的总角度为$360°÷12×7\frac{5}{12}=222.5°$，分针转过的总角度为$360°÷60×25=150°$，因此两针夹角为$222.5°-150°=72.5°$。
(3) 设从两针重合到第一次垂直需要t分钟，此时分针比时针多走90°，列方程得：$6t-0.5t=90$，解得$t=\frac{180}{11}$分钟。
设相邻两次垂直的间隔时间为x分钟，此时分针需要比时针多走180°，列方程得：$6x-0.5x=180$，解得$x=\frac{360}{11}$分钟。
一昼夜总时长为$24×60=1440$分钟，减去第一次垂直的时间后，剩余时间包含的垂直次数为$(1440-\frac{180}{11})÷\frac{360}{11}=43.5$，取整为43次，加上第一次的垂直，总次数为$43+1=44$次。
【答案】
(1) 90
(2) 72.5
(3) 44次
【知识点】
钟面角计算，一元一次方程应用，追及问题
【点评】
本题结合生活中常见的钟表场景出题，将角度计算和行程中的追及问题相结合，解题核心是先准确掌握时针、分针的转动速度，再根据不同问题的要求分步计算，求解垂直次数时要注意结合实际情况对计算结果取整，避免出现多算或者漏算的错误。
【难度系数】
0.5

4. (2025·郑州期末)如图,将长方形纸片ABCD沿直线EN,EM进行折叠后(点E在AB边上),B'点刚好落在A'E上,若折叠角∠AEN=30°15',则另一个折叠角∠BEM的度数为 ()

A.60°85'
B.60°45'
C.59°85'
D.59°45'

解析:将长方形纸片ABCD沿直线EN,EM进行折叠后(点E在AB边上),B'点刚好落在A'E上,所以$∠AEA'=2∠AEN,∠BEB'=2∠BEM$,所以$∠AEA'+∠BEB'=2(∠AEN+∠BEM)=180°$,所以$∠BEM+∠AEN=90°$.因为$∠AEN=30°15'$,所以$∠BEM=59°45'$.故选 D.

【分析】
解决本题首先要明确折叠问题的核心性质：折叠前后对应角相等。第一步，根据折叠特征，确定∠AEN与∠A'EN相等，∠BEM与∠B'EM相等；第二步，结合点E在AB上，∠AEB是平角即180°，可得四个角的和为180°，进而推导出∠AEN与∠BEM的和为90°；第三步，代入已知∠AEN的度数，按照角度60进制的运算规则计算即可得到∠BEM的度数。
【解析】
由折叠的性质可得：$∠ A'EN=∠ AEN$，$∠ B'EM=∠ BEM$，
∴ $∠ AEA'=2∠ AEN$，$∠ BEB'=2∠ BEM$，
∵ 点A、E、B共线，$∠ AEB=180°$，即$∠ AEA'+∠ BEB'=180°$，
∴ $2∠ AEN + 2∠ BEM = 180°$，化简得$∠ AEN+∠ BEM=90°$，
已知$∠ AEN=30°15'$，则$∠ BEM=90° - 30°15'$，
将$90°$转化为$89°60'$，计算得$89°60'-30°15'=59°45'$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度运算
【点评】
本题是角度计算的常见题型，核心是利用折叠的性质得到等角，再结合平角的特征建立角度和的关系，解题时需注意角度为60进制，计算时借位要按60换算，避免出现分大于等于60的错误。
【难度系数】
0.7

5. 如图，$∠ AOB = 90°$, $OC$ 在 $∠ AOB$ 的外部，$∠ COB$ 是锐角，$OP$ 平分 $∠ AOC$, $OQ$ 平分 $∠ COB$,若$∠ COB$度数逐渐变大,则$∠ POQ$变化情况是 ()

A.变大
B.变小
C.保持不变
D.无法确定

解析:因为OP平分$∠AOC$,OQ平分$∠BOC$,所以$∠COP=\frac{1}{2}∠AOC$,$∠COQ=\frac{1}{2}∠BOC$,所以$∠POQ=∠COP-∠COQ=\frac{1}{2}∠AOC-\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}(∠AOC-∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$,所以$∠POQ$的度数不变.故选 C.

【分析】
解题时先梳理已知条件：∠AOB为固定的90°，OP平分∠AOC，OQ平分∠COB，需要判断∠POQ随∠COB增大的变化情况。首先我们可以借助角平分线的性质，把∠POQ用已知角的关系表示出来：先根据角平分线定义得到两个半角的表达式，再观察∠POQ和这两个半角的和差关系，代入化简后如果消去了和∠COB相关的变量，就说明∠POQ是定值，反之则会变化。
【解析】
解：
∵OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC，
∴$∠ COP=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COQ=\frac{1}{2}∠ BOC$，
∴$∠ POQ=∠ COP - ∠ COQ=\frac{1}{2}∠ AOC - \frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC - ∠ BOC)$，
又
∵$∠ AOC - ∠ BOC=∠ AOB=90°$，
∴$∠ POQ=\frac{1}{2}×90°=45°$，是固定值，不随∠COB的度数变化而变化。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角度计算的典型题型，核心是通过角平分线性质将待求角转化为已知固定角的相关表达式，消去变化的未知量即可判断角度的变化情况，解题的关键是找准各角之间的和差关系。
【难度系数】
0.8

6. 如图,将三个相同的三角尺$60°$角的顶点重合放置,如果$∠ 1=22°$,$∠ 2=26°$,那么$∠ 3$的度数是.

$12°$ 解析:如图,因为$∠1+∠4+∠2=∠4+∠2+∠5=60°$,所以$∠5=∠1$.因为$∠2+∠5+∠3=60°$,所以$∠3=60°-∠1-∠2=60°-22°-26°=12°$.

【分析】
解题时首先明确三个相同三角尺的60°角顶点重合，因此每个三角尺对应的60°角都等于其内部相邻三个小角的和。第一步先观察两组包含公共部分的60°角，通过和差关系推导出∠5与∠1相等；第二步再利用最下方三角尺的60°角的组成关系，代入已知角度即可求出∠3的度数。
【解析】
如图，已知三个相同三角尺的60°角顶点重合，可得：
$∠ 1 + ∠ 4 + ∠ 2 = 60°$，
$∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5 = 60°$，
对比两个等式可推出$∠ 5 = ∠ 1 = 22°$。
又因为最下方三角尺的60°角满足$∠ 2 + ∠ 5 + ∠ 3 = 60°$，
将$∠ 2=26°$、$∠ 5=22°$代入得：
$∠ 3 = 60° - ∠ 2 - ∠ 5 = 60° - 26° - 22° = 12°$。
【答案】
$12°$
【知识点】
角的和差计算，三角尺的角度特征
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是利用三角尺固定的60°角，理清重叠角之间的等量关系，通过简单的和差运算即可得出结果，有助于训练学生观察角度组成的能力。
【难度系数】
0.7

7. 已知$∠ AOB = 120°$, $OC$ 在它的内部, 且把$∠ AOB$分成$1:3$的两个角, 那么$∠ AOC$的度数是 ()

A.$40°$
B.$40°$或$80°$
C.$30°$
D.$30°$或$90°$

A

根据自变量、因变量、常量的定义逐一判断：
1. 由题意金额随数量的变化而变化，可知数量是自变量，金额是因变量，故A正确，B错误；
2. 单价7.76是固定不变的常量，31是当前的加油数量，属于变量，故C错误；
3. 金额=单价×数量，单价为正值，因此金额随着数量的增大而增大，故D错误。
综上，正确选项为A。

8. (2025·雅安期中)已知∠AOC=50°, ∠AOB:∠BOC=2:3,则∠BOC的度数为.

$150°或30°$ 解析:①OB在OA左边,如图①,因为$∠AOC=50°$,$∠AOB:∠BOC=2:3$,所以$∠AOB:(∠AOB+∠AOC)=2:3$,所以$∠AOB=100°$,所以$∠BOC=∠AOB+∠AOC=100°+50°=150°$;
②OB在OA右边,如图②,因为$∠AOC=50°$,$∠AOB:∠BOC=2:3$,所以$∠AOB=20°$,所以$∠BOC=∠AOC-∠AOB=50°-20°=30°$.

【分析】
本题未明确射线OB与∠AOC的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①OB在∠AOC的外部（OA左侧）；②OB在∠AOC的内部（OA右侧）。再结合已知的∠AOC度数和∠AOB与∠BOC的比例关系，利用角的和差分别计算两种情况下∠BOC的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
①当OB在OA左侧，即OB在∠AOC外部时，如图①：
已知∠AOC=50°，∠AOB:∠BOC=2:3，此时∠BOC = ∠AOB + ∠AOC，即$∠ AOB:(∠ AOB+50°)=2:3$，解得$∠ AOB=100°$，因此$∠ BOC=100°+50°=150°$。
②当OB在OA右侧，即OB在∠AOC内部时，如图②：
已知∠AOC=50°，∠AOB:∠BOC=2:3，此时$∠ AOB+∠ BOC=∠ AOC=50°$，角度总份数为$2+3=5$份，每份对应度数为$50°÷5=10°$，∠BOC占3份，因此$∠ BOC=10°×3=30°$。
【答案】
$150°或30°$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，比例的应用
【点评】
本题易错点是忽略射线OB位置的不确定性，漏算其中一种情况。解题时需要先根据题意画出所有可能的图形，再结合角度的和差关系与比例条件计算，有助于提升分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6