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11.「★☆」如图,有下列说法:①∠1与∠AOB不是同一个角;②∠AOC也可以用∠O表示;③∠BOC可以看作射线OB绕着它的端点O旋转至OC而形成的图形,也可以看作由有公共端点O的两条射线OC,OB组成的图形;④若∠β=26.37°,则∠BOC=26°22′12″;⑤若∠1=37°27′36″,则∠AOB=37.45°.其中正确是
③④
(填序号).答案
③④
解析 ∠1与∠AOB是同一个角,$37°27'36''=37.46°$,所以若$∠1=37°27'36''$,则$∠AOB=37.46°$,故①⑤错误;$∠AOC$不可以用$∠O$表示,故②错误;③说法正确;$∠β$与$∠BOC$是同一个角,$26.37°=26°22'12''$,故④正确.综上,正确的是③④.
解析 ∠1与∠AOB是同一个角,$37°27'36''=37.46°$,所以若$∠1=37°27'36''$,则$∠AOB=37.46°$,故①⑤错误;$∠AOC$不可以用$∠O$表示,故②错误;③说法正确;$∠β$与$∠BOC$是同一个角,$26.37°=26°22'12''$,故④正确.综上,正确的是③④.
解析
【分析】
解题时需逐一判断每个说法的正误，结合角的相关概念和度分秒换算规则分析：首先明确判断两个角是否为同一个角，看顶点和两条边是否完全一致；用单个顶点字母表示角的前提是该顶点处只有1个角，避免混淆；角有静态（公共端点的两条射线组成）和动态（射线绕端点旋转形成）两种定义；度分秒为60进制，度转分、秒乘60，秒转分、度除以60。按照以上规则逐个验证5个说法即可。
【解析】
我们逐个分析各说法：
①∠1和∠AOB的顶点都是O，两条边都是射线OA、OB，是同一个角，故①错误；
②顶点O处共有∠AOB、∠BOC、∠AOC三个角，不能用∠O单独表示∠AOC，否则无法区分是哪个角，故②错误；
③符合角的两种定义：静态定义是有公共端点的两条射线组成的图形，动态定义是射线绕端点旋转形成的图形，故③正确；
④∠β就是∠BOC，换算单位：$0.37°=0.37×60'=22.2'$，$0.2'=0.2×60''=12''$，所以$26.37°=26°22'12''$，即$∠BOC=26°22'12''$，故④正确；
⑤换算单位：$36''=36÷60'=0.6'$，$27.6'=27.6÷60°=0.46°$，所以$37°27'36''=37.46°≠37.45°$，故⑤错误。
综上，正确的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
角的定义；角的表示；度分秒换算
【点评】
本题属于角的基础题，主要考查角的相关概念和度分秒的运算，解题时要注意度分秒是60进制，换算时不要误按10进制计算，同时要牢记角的表示规则，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时需逐一判断每个说法的正误，结合角的相关概念和度分秒换算规则分析：首先明确判断两个角是否为同一个角，看顶点和两条边是否完全一致；用单个顶点字母表示角的前提是该顶点处只有1个角，避免混淆；角有静态（公共端点的两条射线组成）和动态（射线绕端点旋转形成）两种定义；度分秒为60进制，度转分、秒乘60，秒转分、度除以60。按照以上规则逐个验证5个说法即可。
【解析】
我们逐个分析各说法：
①∠1和∠AOB的顶点都是O，两条边都是射线OA、OB，是同一个角，故①错误；
②顶点O处共有∠AOB、∠BOC、∠AOC三个角，不能用∠O单独表示∠AOC，否则无法区分是哪个角，故②错误；
③符合角的两种定义：静态定义是有公共端点的两条射线组成的图形，动态定义是射线绕端点旋转形成的图形，故③正确；
④∠β就是∠BOC，换算单位：$0.37°=0.37×60'=22.2'$，$0.2'=0.2×60''=12''$，所以$26.37°=26°22'12''$，即$∠BOC=26°22'12''$，故④正确；
⑤换算单位：$36''=36÷60'=0.6'$，$27.6'=27.6÷60°=0.46°$，所以$37°27'36''=37.46°≠37.45°$，故⑤错误。
综上，正确的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
角的定义；角的表示；度分秒换算
【点评】
本题属于角的基础题，主要考查角的相关概念和度分秒的运算，解题时要注意度分秒是60进制，换算时不要误按10进制计算，同时要牢记角的表示规则，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
12.「2026黑龙江哈尔滨期末，★☆」下列图表是学校周边线路及相关信息，请仔细阅读，回答下列问题：
(1)结合图表信息，把表格补充完整.
(2)根据图表信息，在图中标出小丽家的位置.
(距离、角度等位置信息要标注清楚)
(1)结合图表信息，把表格补充完整.
(2)根据图表信息，在图中标出小丽家的位置.
(距离、角度等位置信息要标注清楚)
答案
(1)表格补充如下:
|路线|方向|距离/米|
| ---- | ---- | ---- |
|书店→小丽家|北偏西$30°$|400|
|小玲家→学校|南偏东$45°$|1 000|
|书店→学校|南偏西$60°$|600|
(2)小丽家的位置如图所示
.解析
【分析】
解题时先明确图中的方向规则为“上北下南，左西右东”，第一步先确定单位长度代表的实际距离：通过路线的对应距离可算出每段单位长度对应200米；第二步描述路线时要先确定观测点，再判断目标点相对于观测点的方向，数出两点之间的单位段数计算总距离；第二问标注位置时，同样以书店为观测点，结合给定的方向、距离找到对应位置即可。
【解析】
1. 计算单位长度代表的距离：观察可得书店到小丽家的线段共2段，对应距离400米，因此每段单位长度代表的距离为$400÷2=200$米。
2. 填写表格：
书店→小丽家：观测点为书店，小丽家在书店北偏西$30°$方向，共2段，总距离为$2×200=400$米。
小玲家→学校：观测点为小玲家，学校在小玲家南偏东$45°$方向，共5段，总距离为$5×200=1000$米。
书店→学校：观测点为书店，学校在书店南偏西$60°$方向，共3段，总距离为$3×200=600$米。
3. 标注小丽家位置：以书店为观测点，沿北偏西$30°$方向画2段单位长度的线段，线段端点即为小丽家，标注出$30°$角和距离400米即可。
【答案】
(1) 表格补充如下:
|路线|方向|距离/米|
| ---- | ---- | ---- |
|书店→小丽家|北偏西$30°$|400|
|小玲家→学校|南偏东$45°$|1 000|
|书店→学校|南偏西$60°$|600|
(2) 小丽家的位置如图所示。
【知识点】
1. 方向与位置
2. 方位角识别
3. 距离计算
【点评】
本题考查根据方位图描述和确定位置的能力，解题核心是找准观测点，明确方向、距离两个确定位置的必要要素，注意方向表述要规范，单位长度换算要准确。
【难度系数】
0.8
解题时先明确图中的方向规则为“上北下南，左西右东”，第一步先确定单位长度代表的实际距离：通过路线的对应距离可算出每段单位长度对应200米；第二步描述路线时要先确定观测点，再判断目标点相对于观测点的方向，数出两点之间的单位段数计算总距离；第二问标注位置时，同样以书店为观测点，结合给定的方向、距离找到对应位置即可。
【解析】
1. 计算单位长度代表的距离：观察可得书店到小丽家的线段共2段，对应距离400米，因此每段单位长度代表的距离为$400÷2=200$米。
2. 填写表格：
书店→小丽家：观测点为书店，小丽家在书店北偏西$30°$方向，共2段，总距离为$2×200=400$米。
小玲家→学校：观测点为小玲家，学校在小玲家南偏东$45°$方向，共5段，总距离为$5×200=1000$米。
书店→学校：观测点为书店，学校在书店南偏西$60°$方向，共3段，总距离为$3×200=600$米。
3. 标注小丽家位置：以书店为观测点，沿北偏西$30°$方向画2段单位长度的线段，线段端点即为小丽家，标注出$30°$角和距离400米即可。
【答案】
(1) 表格补充如下:
|路线|方向|距离/米|
| ---- | ---- | ---- |
|书店→小丽家|北偏西$30°$|400|
|小玲家→学校|南偏东$45°$|1 000|
|书店→学校|南偏西$60°$|600|
(2) 小丽家的位置如图所示
。【知识点】
1. 方向与位置
2. 方位角识别
3. 距离计算
【点评】
本题考查根据方位图描述和确定位置的能力，解题核心是找准观测点，明确方向、距离两个确定位置的必要要素，注意方向表述要规范，单位长度换算要准确。
【难度系数】
0.8
13.核心素养 几何直观 解答下列问题.
(1)在∠AOB内部画1条射线OC,则图1中有
(2)在∠AOB内部画2条射线OC,OD,则图2中有
(3)在∠AOB内部画3条射线OC,OD,OE,则图3中有
(4)在∠AOB内部画10条射线OC,OD,OE,…,则图10中有多少个不同的角?
(5)在∠AOB内部画n条射线OC,OD,OE,…,则图n中有多少个不同的角?
(1)在∠AOB内部画1条射线OC,则图1中有
3
个不同的角.(2)在∠AOB内部画2条射线OC,OD,则图2中有
6
个不同的角.(3)在∠AOB内部画3条射线OC,OD,OE,则图3中有
10
个不同的角.(4)在∠AOB内部画10条射线OC,OD,OE,…,则图10中有多少个不同的角?
(5)在∠AOB内部画n条射线OC,OD,OE,…,则图n中有多少个不同的角?
答案
(1)题图1中有1+2=3个不同的角.
(2)题图2中有1+2+3=6个不同的角.
(3)题图3中有1+2+3+4=10个不同的角.
(4)图10中有1+2+3+…+10+11=66个不同的角.
(5)图n中有$1+2+3+…+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个不同的角.
(2)题图2中有1+2+3=6个不同的角.
(3)题图3中有1+2+3+4=10个不同的角.
(4)图10中有1+2+3+…+10+11=66个不同的角.
(5)图n中有$1+2+3+…+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个不同的角.
解析
【分析】
解决角的计数问题时，首先明确角是由两条有公共端点的射线组成的图形。为避免计数时重复或遗漏，可按固定顺序计数：先以最外侧的边OA为始边，数出所有以OA为边的角，再依次以下一条射线为始边，数出不重复的角，最后求和即可。观察规律可发现：若∠AOB内部有k条射线，则总射线数为k+2条，角的总个数就是从1开始连续相加到(k+1)，再利用等差数列求和公式即可推导通用规律。
【解析】
(1) 当∠AOB内部画1条射线时，共有3条射线，不同角的个数为$1+2=3$；
(2) 当∠AOB内部画2条射线时，共有4条射线，不同角的个数为$1+2+3=6$；
(3) 当∠AOB内部画3条射线时，共有5条射线，不同角的个数为$1+2+3+4=10$；
(4) 当∠AOB内部画10条射线时，共有$10+2=12$条射线，不同角的个数为$1+2+3+\dots+11=\frac{(1+11)×11}{2}=66$；
(5) 当∠AOB内部画n条射线时，共有$n+2$条射线，不同角的个数为$1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
(1)$3$；(2)$6$；(3)$10$；(4)$66$；(5)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
角的计数，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题考查角的计数及规律归纳，解题核心是按顺序计数避免重复漏算，通过特殊情形推导一般规律，能够锻炼逻辑推理能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.7
解决角的计数问题时，首先明确角是由两条有公共端点的射线组成的图形。为避免计数时重复或遗漏，可按固定顺序计数：先以最外侧的边OA为始边，数出所有以OA为边的角，再依次以下一条射线为始边，数出不重复的角，最后求和即可。观察规律可发现：若∠AOB内部有k条射线，则总射线数为k+2条，角的总个数就是从1开始连续相加到(k+1)，再利用等差数列求和公式即可推导通用规律。
【解析】
(1) 当∠AOB内部画1条射线时，共有3条射线，不同角的个数为$1+2=3$；
(2) 当∠AOB内部画2条射线时，共有4条射线，不同角的个数为$1+2+3=6$；
(3) 当∠AOB内部画3条射线时，共有5条射线，不同角的个数为$1+2+3+4=10$；
(4) 当∠AOB内部画10条射线时，共有$10+2=12$条射线，不同角的个数为$1+2+3+\dots+11=\frac{(1+11)×11}{2}=66$；
(5) 当∠AOB内部画n条射线时，共有$n+2$条射线，不同角的个数为$1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
(1)$3$；(2)$6$；(3)$10$；(4)$66$；(5)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
角的计数，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题考查角的计数及规律归纳，解题核心是按顺序计数避免重复漏算，通过特殊情形推导一般规律，能够锻炼逻辑推理能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.7
1.从早上7:20到同一天早上的9:00，分针旋转了
600°
。答案
600°
解析 因为从早上7:20到当天早上9:00,一共经过了100分钟,时钟的分针一分钟旋转$360°÷60=6°$,所以时钟的分针旋转了$100×6°=600°$.
解析 因为从早上7:20到当天早上9:00,一共经过了100分钟,时钟的分针一分钟旋转$360°÷60=6°$,所以时钟的分针旋转了$100×6°=600°$.
解析
【分析】
要计算分针旋转的角度，首先需要明确两个关键条件：一是两个时间点之间的经过时长，二是分针每分钟旋转的角度。第一步先计算从7:20到9:00的总分钟数；第二步回忆分针的旋转规律：分针60分钟旋转一圈（360°），由此可算出每分钟的旋转角度；最后用总时长乘每分钟旋转的角度，就能得到分针总共旋转的度数。
【解析】
首先计算经过的时间：
$9时 - 7时20分 = 1小时40分钟 = 100分钟$
时钟上分针旋转一圈是$360°$，对应时长为60分钟，因此分针每分钟旋转的角度为：
$360° ÷ 60 = 6°$
那么100分钟内分针旋转的总角度为：
$100 × 6° = 600°$
【答案】
$600°$
【知识点】
1. 经过时间计算
2. 钟面角计算
【点评】
本题是钟面角度的基础计算题，解题核心是准确计算时间间隔，再结合分针每分钟旋转6°的固定规律求解，计算时注意时间单位的换算，避免把时间差算错即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算分针旋转的角度，首先需要明确两个关键条件：一是两个时间点之间的经过时长，二是分针每分钟旋转的角度。第一步先计算从7:20到9:00的总分钟数；第二步回忆分针的旋转规律：分针60分钟旋转一圈（360°），由此可算出每分钟的旋转角度；最后用总时长乘每分钟旋转的角度，就能得到分针总共旋转的度数。
【解析】
首先计算经过的时间：
$9时 - 7时20分 = 1小时40分钟 = 100分钟$
时钟上分针旋转一圈是$360°$，对应时长为60分钟，因此分针每分钟旋转的角度为：
$360° ÷ 60 = 6°$
那么100分钟内分针旋转的总角度为：
$100 × 6° = 600°$
【答案】
$600°$
【知识点】
1. 经过时间计算
2. 钟面角计算
【点评】
本题是钟面角度的基础计算题，解题核心是准确计算时间间隔，再结合分针每分钟旋转6°的固定规律求解，计算时注意时间单位的换算，避免把时间差算错即可得分。
【难度系数】
0.8
2.「2026 四川绵阳期末」我国古代人民用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二个时辰，对应现代的二十四小时，又划分为九十六刻，一刻对应现代的十五分钟.已知寅时为凌晨三点到五点，则寅时二刻对应的现代时间的时针和分针之间的夹角为
75°
.答案
75°
解析 寅时二刻对应的时间是3:30,此时时针在钟面上3和4的中间,分针正对着6,即时针和分针之间有2.5个大格,所以寅时二刻对应的现代时间的时针和分针之间的夹角为$30°×2.5=75°$.
解析 寅时二刻对应的时间是3:30,此时时针在钟面上3和4的中间,分针正对着6,即时针和分针之间有2.5个大格,所以寅时二刻对应的现代时间的时针和分针之间的夹角为$30°×2.5=75°$.
解析
【分析】
解题时首先要根据题目给出的古代计时规则，将寅时二刻转换为现代的具体时间；再回忆钟面角的相关常识：钟表一圈为360°，被平均分为12个大格，每个大格对应30°；最后确定该时间点时针和分针的位置，算出两者间隔的大格数，乘每个大格的角度即可得到夹角。
【解析】
第一步：转换现代时间：寅时从凌晨3点开始，一刻为15分钟，二刻对应$15×2=30$分钟，因此寅时二刻对应现代时间为3:30。
第二步：计算钟面单个大格的角度：钟表一圈为$360°$，共12个大格，因此每个大格的角度为$360°÷12=30°$。
第三步：确定时针、分针位置：3:30时分针正指向数字6；时针每60分钟走1个大格，30分钟会走半个大格，因此时针在数字3和4的正中间。
第四步：计算夹角：时针和分针之间间隔$6-3.5=2.5$个大格，因此夹角为$2.5×30°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
钟面角计算，时间单位换算
【点评】
本题结合古代计时文化考查角的实际应用，解题核心是先完成古今时间的转换，再结合钟面的基本特征计算两针夹角，题目贴近生活，能锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据题目给出的古代计时规则，将寅时二刻转换为现代的具体时间；再回忆钟面角的相关常识：钟表一圈为360°，被平均分为12个大格，每个大格对应30°；最后确定该时间点时针和分针的位置，算出两者间隔的大格数，乘每个大格的角度即可得到夹角。
【解析】
第一步：转换现代时间：寅时从凌晨3点开始，一刻为15分钟，二刻对应$15×2=30$分钟，因此寅时二刻对应现代时间为3:30。
第二步：计算钟面单个大格的角度：钟表一圈为$360°$，共12个大格，因此每个大格的角度为$360°÷12=30°$。
第三步：确定时针、分针位置：3:30时分针正指向数字6；时针每60分钟走1个大格，30分钟会走半个大格，因此时针在数字3和4的正中间。
第四步：计算夹角：时针和分针之间间隔$6-3.5=2.5$个大格，因此夹角为$2.5×30°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
钟面角计算，时间单位换算
【点评】
本题结合古代计时文化考查角的实际应用，解题核心是先完成古今时间的转换，再结合钟面的基本特征计算两针夹角，题目贴近生活，能锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
3. 学科 特色
方程思想 某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针之间的夹角是$120°$，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针之间的夹角还是$120°$，则该同学做作业大约用了多少分钟？
方程思想 某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针之间的夹角是$120°$，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针之间的夹角还是$120°$，则该同学做作业大约用了多少分钟？
答案
设他开始做作业的时间是晚上6时x分,因为分针一分钟走6°,时针一分钟走0.5°,所以$6x-0.5x=180-120$,解得$x≈11$;设他做完作业的时间是晚上6时y分,所以$6y-0.5y=120+180$,解得$y≈55$,所以该同学做作业大约用了$55-11=44$(分钟).
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确钟表上时针和分针的转动速度：分针每分钟转动的角度为$360°÷60=6°$，时针每分钟转动的角度为$30°÷60=0.5°$（时针1小时转$30°$，即$360°÷12$）。6点整时，时针和分针的夹角是$180°$，开始做作业时分针还没追上时针，夹角为$120°$，此时分针比时针多走的角度是$180°-120°$；做完作业时分针已经超过时针，夹角再次为$120°$，此时分针比时针多走的角度是$180°+120°$。分别列方程求出开始和结束的时间，两者的差就是做作业的时长。
【解析】
首先明确转速：分针每分钟走$6°$，时针每分钟走$0.5°$。
设该同学开始做作业的时间是晚上6时$x$分，此时分针还未追上时针，根据角度差列方程：
$6x-0.5x=180-120$
$5.5x=60$
解得$x\approx11$
设该同学做完作业的时间是晚上6时$y$分，此时分针已经超过时针，根据角度差列方程：
$6y-0.5y=180+120$
$5.5y=300$
解得$y\approx55$
则做作业的用时为$55-11=44$（分钟）
【答案】
该同学做作业大约用了44分钟。
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际考查角度计算与方程的应用，解题的核心是准确把握时针、分针的转动速度，分清两种$120°$夹角对应的时针、分针位置关系，找准等量关系列方程求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确钟表上时针和分针的转动速度：分针每分钟转动的角度为$360°÷60=6°$，时针每分钟转动的角度为$30°÷60=0.5°$（时针1小时转$30°$，即$360°÷12$）。6点整时，时针和分针的夹角是$180°$，开始做作业时分针还没追上时针，夹角为$120°$，此时分针比时针多走的角度是$180°-120°$；做完作业时分针已经超过时针，夹角再次为$120°$，此时分针比时针多走的角度是$180°+120°$。分别列方程求出开始和结束的时间，两者的差就是做作业的时长。
【解析】
首先明确转速：分针每分钟走$6°$，时针每分钟走$0.5°$。
设该同学开始做作业的时间是晚上6时$x$分，此时分针还未追上时针，根据角度差列方程：
$6x-0.5x=180-120$
$5.5x=60$
解得$x\approx11$
设该同学做完作业的时间是晚上6时$y$分，此时分针已经超过时针，根据角度差列方程：
$6y-0.5y=180+120$
$5.5y=300$
解得$y\approx55$
则做作业的用时为$55-11=44$（分钟）
【答案】
该同学做作业大约用了44分钟。
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际考查角度计算与方程的应用，解题的核心是准确把握时针、分针的转动速度，分清两种$120°$夹角对应的时针、分针位置关系，找准等量关系列方程求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
