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8.「2026安徽蚌埠期末，★☆」如图所示的是某月的月历表，用一个“十”字形框架框出5个数，则这5个数的和不可能是（
A.50
B.65
C.90
D.100
C
）A.50
B.65
C.90
D.100
答案
设“十”字形框架框出的5个数中,最中间的数为x,则另外4个数分别为x-7,x-1,x+1,x+7,所以这5个数的和为x-7+x-1+x+x+1+x+7=5x.A.5x=50,解得x=10,B.5x=65,解得x=13,D.5x=100,解得x=20,均符合月历表中的数的分布情况.C.5x=90,解得x=18,不符合月历表中的数的分布情况.故选C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7（一周共7天）。“十”字形框的5个数以中间数为核心，上下两数分别比中间数小7、大7，左右两数分别比中间数小1、大1。我们可以设中间数为x，用含x的代数式表示其余4个数，推导出5个数的和的表达式，再结合选项求出对应的中间数，最后判断该中间数是否能作为十字框的中心（即中间数的上下左右都需要有数字，不能在月历的第一列、最后一列、第一行、最后一行）即可。
【解析】
设“十”字形框架框出的5个数中，最中间的数为x，根据月历的数字规律，另外4个数分别为$x-7$（上方的数）、$x-1$（左侧的数）、$x+1$（右侧的数）、$x+7$（下方的数）。
则5个数的和为：
$\begin{split} &(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)\\ =&x-7+x-1+x+x+1+x+7\\ =&5x \end{split}$
即5个数的和一定是5的倍数，对各选项逐一判断：
A. 若$5x=50$，解得$x=10$。10位于周六列，上方是3，左侧是9，右侧是11，下方是17，符合框选要求；
B. 若$5x=65$，解得$x=13$。13位于周二列，上方是6，左侧是12，右侧是14，下方是20，符合框选要求；
C. 若$5x=90$，解得$x=18$。18位于周日列（最右列），右侧没有数字，无法作为十字框中心，不符合要求；
D. 若$5x=100$，解得$x=20$。20位于周二列，上方是13，左侧是19，右侧是21，下方是27，符合框选要求。
因此这5个数的和不可能是90。
【答案】
C
【知识点】
月历数字规律；一元一次方程的应用；代数式化简
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律探究与方程的实际应用，解题核心是找到十字框中5个数的和与中间数的数量关系，同时要注意结合月历的行列排列特点，判断求出的中间数是否符合实际框选要求，避免仅根据和是5的倍数就盲目选择。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7（一周共7天）。“十”字形框的5个数以中间数为核心，上下两数分别比中间数小7、大7，左右两数分别比中间数小1、大1。我们可以设中间数为x，用含x的代数式表示其余4个数，推导出5个数的和的表达式，再结合选项求出对应的中间数，最后判断该中间数是否能作为十字框的中心（即中间数的上下左右都需要有数字，不能在月历的第一列、最后一列、第一行、最后一行）即可。
【解析】
设“十”字形框架框出的5个数中，最中间的数为x，根据月历的数字规律，另外4个数分别为$x-7$（上方的数）、$x-1$（左侧的数）、$x+1$（右侧的数）、$x+7$（下方的数）。
则5个数的和为：
$\begin{split} &(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)\\ =&x-7+x-1+x+x+1+x+7\\ =&5x \end{split}$
即5个数的和一定是5的倍数，对各选项逐一判断：
A. 若$5x=50$，解得$x=10$。10位于周六列，上方是3，左侧是9，右侧是11，下方是17，符合框选要求；
B. 若$5x=65$，解得$x=13$。13位于周二列，上方是6，左侧是12，右侧是14，下方是20，符合框选要求；
C. 若$5x=90$，解得$x=18$。18位于周日列（最右列），右侧没有数字，无法作为十字框中心，不符合要求；
D. 若$5x=100$，解得$x=20$。20位于周二列，上方是13，左侧是19，右侧是21，下方是27，符合框选要求。
因此这5个数的和不可能是90。
【答案】
C
【知识点】
月历数字规律；一元一次方程的应用；代数式化简
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律探究与方程的实际应用，解题核心是找到十字框中5个数的和与中间数的数量关系，同时要注意结合月历的行列排列特点，判断求出的中间数是否符合实际框选要求，避免仅根据和是5的倍数就盲目选择。
【难度系数】
0.7
9.「★☆」实验室有甲、乙两种酒精溶液，现在某容器中装有甲溶液300 mL.若加入乙溶液100 mL，得到的酒精溶液的浓度为25%；若加入乙溶液300 mL，得到的酒精溶液的浓度为35%.那么加入乙溶液200 mL时，得到的酒精溶液的浓度为
31%
.答案
31%
解析 加入100 mL乙溶液后,形成的酒精溶液A为100+300=400(mL),其中酒精有400×25%=100(mL),
加入300 mL乙溶液后,形成的酒精溶液B为300+300=600(mL),其中酒精有600×35%=210(mL),
则A,B溶液相差600-400=200 mL乙溶液,酒精含量相差210-100=110(mL),所以乙溶液的浓度为110÷200×100%=55%.
设甲溶液的浓度为x,则300x+100×55%=400×25%,解得x=0.15=15%,所以加入200 mL乙溶液后,得到的酒精溶液的浓度为$\frac{300×15\%+200×55\%}{300+200}×100\%=31\%$.
解析 加入100 mL乙溶液后,形成的酒精溶液A为100+300=400(mL),其中酒精有400×25%=100(mL),
加入300 mL乙溶液后,形成的酒精溶液B为300+300=600(mL),其中酒精有600×35%=210(mL),
则A,B溶液相差600-400=200 mL乙溶液,酒精含量相差210-100=110(mL),所以乙溶液的浓度为110÷200×100%=55%.
设甲溶液的浓度为x,则300x+100×55%=400×25%,解得x=0.15=15%,所以加入200 mL乙溶液后,得到的酒精溶液的浓度为$\frac{300×15\%+200×55\%}{300+200}×100\%=31\%$.
解析
【分析】
这是一道溶液混合的浓度问题，解题核心是牢记浓度公式：浓度=纯酒精体积÷溶液总体积×100%。我们可以先根据两次加入不同体积乙溶液后的浓度，分别算出两次混合后溶液里的纯酒精总量；对比两次的数值，会发现两次纯酒精的差值就是多加的那部分乙溶液里的纯酒精，这样就能先算出乙溶液的浓度；再用乙的浓度求出甲溶液的浓度，最后就能算出加入200mL乙溶液时的混合浓度了。
【解析】
1. 计算两次混合后的纯酒精量：
加入100mL乙溶液时，总溶液体积为$300+100=400\ \mathrm{mL}$，纯酒精体积为$400×25\%=100\ \mathrm{mL}$；
加入300mL乙溶液时，总溶液体积为$300+300=600\ \mathrm{mL}$，纯酒精体积为$600×35\%=210\ \mathrm{mL}$。
2. 求乙溶液的浓度：
两次混合的纯酒精差值为$210-100=110\ \mathrm{mL}$，对应的乙溶液体积差为$300-100=200\ \mathrm{mL}$，因此乙溶液浓度为$\frac{110}{200}×100\%=55\%$。
3. 求甲溶液的浓度：
设甲溶液浓度为$x$，根据第一次混合的纯酒精总量列方程：
$300x + 100×55\% = 100$
解得$x=0.15$，即甲溶液浓度为15%。
4. 计算加入200mL乙溶液后的浓度：
总溶液体积为$300+200=500\ \mathrm{mL}$，纯酒精总量为$300×15\% + 200×55\% = 155\ \mathrm{mL}$，
浓度为$\frac{155}{500}×100\%=31\%$。
【答案】
31%
【知识点】
1. 浓度计算
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的溶液混合浓度问题，解题的突破口是利用两次加入不同体积乙溶液的溶质差和溶液差求出乙溶液的浓度，再逐步求解未知量，考查对浓度公式的掌握和逻辑推理能力，解题思路清晰，计算量不大。
【难度系数】
0.7
这是一道溶液混合的浓度问题，解题核心是牢记浓度公式：浓度=纯酒精体积÷溶液总体积×100%。我们可以先根据两次加入不同体积乙溶液后的浓度，分别算出两次混合后溶液里的纯酒精总量；对比两次的数值，会发现两次纯酒精的差值就是多加的那部分乙溶液里的纯酒精，这样就能先算出乙溶液的浓度；再用乙的浓度求出甲溶液的浓度，最后就能算出加入200mL乙溶液时的混合浓度了。
【解析】
1. 计算两次混合后的纯酒精量：
加入100mL乙溶液时，总溶液体积为$300+100=400\ \mathrm{mL}$，纯酒精体积为$400×25\%=100\ \mathrm{mL}$；
加入300mL乙溶液时，总溶液体积为$300+300=600\ \mathrm{mL}$，纯酒精体积为$600×35\%=210\ \mathrm{mL}$。
2. 求乙溶液的浓度：
两次混合的纯酒精差值为$210-100=110\ \mathrm{mL}$，对应的乙溶液体积差为$300-100=200\ \mathrm{mL}$，因此乙溶液浓度为$\frac{110}{200}×100\%=55\%$。
3. 求甲溶液的浓度：
设甲溶液浓度为$x$，根据第一次混合的纯酒精总量列方程：
$300x + 100×55\% = 100$
解得$x=0.15$，即甲溶液浓度为15%。
4. 计算加入200mL乙溶液后的浓度：
总溶液体积为$300+200=500\ \mathrm{mL}$，纯酒精总量为$300×15\% + 200×55\% = 155\ \mathrm{mL}$，
浓度为$\frac{155}{500}×100\%=31\%$。
【答案】
31%
【知识点】
1. 浓度计算
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的溶液混合浓度问题，解题的突破口是利用两次加入不同体积乙溶液的溶质差和溶液差求出乙溶液的浓度，再逐步求解未知量，考查对浓度公式的掌握和逻辑推理能力，解题思路清晰，计算量不大。
【难度系数】
0.7
10.「★☆」如图,某疗养中心出入口附近有一块长方形区域,计划在区域内设置20个无障碍停车位.规定每个停车位旁需设置下车区,相邻的停车位可以共享下车区,且每两个相邻的停车位之间皆有下车区.已知每个停车位的宽度相同,且每个停车位的宽度与下车区的宽度比均为5:3,停车区的总宽度为78.5米,求每个停车位的宽度是多少米.
答案
设每个停车位和下车区的宽度分别是5x米、3x米,因为每两个相邻的停车位可以共享下车区,所以20个停车位需设置19个下车区,所以可列方程为20×5x+19×3x=78.5,解得x=0.5,则5x=5×0.5=2.5.
答:每个停车位的宽度为2.5米.
答:每个停车位的宽度为2.5米.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：① 已知停车位和下车区的宽度比为5:3，对于比例类问题，我们可以设每份宽度为x，即可用含x的式子分别表示停车位和下车区的宽度，简化计算；② 确定下车区的数量：20个停车位相邻排列，每两个停车位之间有1个下车区，间隔数=物体数-1，因此下车区共有20-1=19个；③ 找等量关系列方程：停车位总宽度+下车区总宽度=区域总宽度78.5米，解方程求出x后，即可计算得到停车位的宽度。
【解析】
解：设每个停车位的宽度为5x米，每个下车区的宽度为3x米。
20个停车位之间的下车区数量为：20-1=19（个）
根据总宽度为78.5米，列方程得：
$\begin{aligned}20×5x + 19×3x &=78.5\\100x+57x &=78.5\\157x &=78.5\\x &=0.5\end{aligned}$
因此每个停车位的宽度为$5x=5×0.5=2.5$（米）。
【答案】
2.5米
【知识点】
一元一次方程的应用、比例分配问题
【点评】
这是一道结合实际场景的应用题，解题的关键一是根据比例关系合理设未知数，二是准确计算下车区的数量，避免间隔数计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：① 已知停车位和下车区的宽度比为5:3，对于比例类问题，我们可以设每份宽度为x，即可用含x的式子分别表示停车位和下车区的宽度，简化计算；② 确定下车区的数量：20个停车位相邻排列，每两个停车位之间有1个下车区，间隔数=物体数-1，因此下车区共有20-1=19个；③ 找等量关系列方程：停车位总宽度+下车区总宽度=区域总宽度78.5米，解方程求出x后，即可计算得到停车位的宽度。
【解析】
解：设每个停车位的宽度为5x米，每个下车区的宽度为3x米。
20个停车位之间的下车区数量为：20-1=19（个）
根据总宽度为78.5米，列方程得：
$\begin{aligned}20×5x + 19×3x &=78.5\\100x+57x &=78.5\\157x &=78.5\\x &=0.5\end{aligned}$
因此每个停车位的宽度为$5x=5×0.5=2.5$（米）。
【答案】
2.5米
【知识点】
一元一次方程的应用、比例分配问题
【点评】
这是一道结合实际场景的应用题，解题的关键一是根据比例关系合理设未知数，二是准确计算下车区的数量，避免间隔数计算错误。
【难度系数】
0.8
11. 核心素养 应用意识 「2025黑龙江哈尔滨南岗期末」甲、乙公司一起竞标了一项工程.当甲、乙公司分别单独完成此工程时,甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2:3,且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10.
(1)若甲、乙公司同时获批,两公司合作需要多少天才能完成?
(2)若甲、乙公司合作10天后,甲公司离开,剩下的工程由乙公司单独完成,则乙公司还需要多少天才能完成此工程?
(3)在(2)的条件下,施工过程中,监管部门要派一名监督员现场检查,每天补助100元,是乙公司每天雇佣费用的10%,且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天的雇佣费用的$\frac{4}{5}$还少200元,则完成此工程的总费用为多少?
(1)若甲、乙公司同时获批,两公司合作需要多少天才能完成?
(2)若甲、乙公司合作10天后,甲公司离开,剩下的工程由乙公司单独完成,则乙公司还需要多少天才能完成此工程?
(3)在(2)的条件下,施工过程中,监管部门要派一名监督员现场检查,每天补助100元,是乙公司每天雇佣费用的10%,且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天的雇佣费用的$\frac{4}{5}$还少200元,则完成此工程的总费用为多少?
答案
(1)设甲公司单独完成此工程需要x天,则乙公司单独完成此工程需要$\frac{3}{2}x$天,
根据题意得$\frac{3}{2}x-x=10$,解得x=20,
所以$\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×20=30$,所以$\frac{1}{\frac{1}{20}+\frac{1}{30}}=12$(天).
答:若甲、乙公司同时获批,两公司合作需要12天才能完成.
(2)设乙公司还需要y天才能完成此工程,
根据题意得$\frac{10}{20}+\frac{10+y}{30}=1$,解得y=5.
答:乙公司还需要5天才能完成此工程.
(3)由题意得,乙公司每天的雇佣费用为100÷10%=1 000(元),所以甲公司每天的雇佣费用为(1 000+200)÷$\frac{4}{5}$=1 500(元),所以总费用为1 500×10+1 000×(10+5)+100×(10+5)=31 500(元).
答:完成此工程的总费用为31 500元.
根据题意得$\frac{3}{2}x-x=10$,解得x=20,
所以$\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}×20=30$,所以$\frac{1}{\frac{1}{20}+\frac{1}{30}}=12$(天).
答:若甲、乙公司同时获批,两公司合作需要12天才能完成.
(2)设乙公司还需要y天才能完成此工程,
根据题意得$\frac{10}{20}+\frac{10+y}{30}=1$,解得y=5.
答:乙公司还需要5天才能完成此工程.
(3)由题意得,乙公司每天的雇佣费用为100÷10%=1 000(元),所以甲公司每天的雇佣费用为(1 000+200)÷$\frac{4}{5}$=1 500(元),所以总费用为1 500×10+1 000×(10+5)+100×(10+5)=31 500(元).
答:完成此工程的总费用为31 500元.
解析
【分析】
这是工程类实际应用问题，解题可分三步思考：
1. 求解第(1)问：先根据甲乙单独完成的天数比和天数差，设未知数求出甲乙单独完成工程的天数，再把总工作量看作单位“1”，得到甲乙的工作效率，用总工作量除以合作效率即可得到合作所需时间。
2. 求解第(2)问：抓住“总工作量为1”的等量关系，合作10天的工作量加上乙后续单独做的工作量等于总工作量，列一元一次方程求解即可。
3. 求解第(3)问：先根据监督员补助与乙雇佣费用的关系求出乙每天的雇佣费用，再根据甲乙雇佣费用的关系求出甲每天的雇佣费用，最后分别计算甲的总雇佣费、乙的总雇佣费、监督员总补助，三者相加就是工程总费用。
【解析】
(1) 设甲公司单独完成此工程需要x天，由甲、乙单独完成所需天数比为2:3，可得乙公司单独完成需要$\frac{3}{2}x$天。
根据甲比乙少10天列方程：
$\frac{3}{2}x - x = 10$
解得$x=20$
则乙单独完成的天数为$\frac{3}{2}×20=30$（天）
甲乙合作的工作效率为$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$，合作所需时间为：
$1÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})=12$（天）
(2) 设乙公司还需要y天才能完成此工程，根据“甲10天工作量+乙(10+y)天工作量=总工作量1”列方程：
$\frac{10}{20}+\frac{10+y}{30}=1$
两边同乘60去分母得：$30 + 2(10+y)=60$
解得$y=5$
(3) 先计算乙公司每天雇佣费用：$100÷10\%=1000$（元）
再计算甲公司每天雇佣费用：$(1000+200)÷\frac{4}{5}=1500$（元）
总施工天数为$10+5=15$天，总费用为甲雇佣费、乙雇佣费、监督员补助之和：
$1500×10 + 1000×(10+5) + 100×(10+5)=31500$（元）
【答案】
(1) 12天；(2) 5天；(3) 31500元
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题；百分数应用
【点评】
本题以实际工程场景为背景，结合比例关系、费用计算考察实际问题的分析求解能力，解题关键是明确工程问题中总工作量为单位“1”的隐含条件，理清各量之间的等量关系，计算时注意工作时间和对应费用的匹配，避免错算天数。
【难度系数】
0.7
这是工程类实际应用问题，解题可分三步思考：
1. 求解第(1)问：先根据甲乙单独完成的天数比和天数差，设未知数求出甲乙单独完成工程的天数，再把总工作量看作单位“1”，得到甲乙的工作效率，用总工作量除以合作效率即可得到合作所需时间。
2. 求解第(2)问：抓住“总工作量为1”的等量关系，合作10天的工作量加上乙后续单独做的工作量等于总工作量，列一元一次方程求解即可。
3. 求解第(3)问：先根据监督员补助与乙雇佣费用的关系求出乙每天的雇佣费用，再根据甲乙雇佣费用的关系求出甲每天的雇佣费用，最后分别计算甲的总雇佣费、乙的总雇佣费、监督员总补助，三者相加就是工程总费用。
【解析】
(1) 设甲公司单独完成此工程需要x天，由甲、乙单独完成所需天数比为2:3，可得乙公司单独完成需要$\frac{3}{2}x$天。
根据甲比乙少10天列方程：
$\frac{3}{2}x - x = 10$
解得$x=20$
则乙单独完成的天数为$\frac{3}{2}×20=30$（天）
甲乙合作的工作效率为$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$，合作所需时间为：
$1÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})=12$（天）
(2) 设乙公司还需要y天才能完成此工程，根据“甲10天工作量+乙(10+y)天工作量=总工作量1”列方程：
$\frac{10}{20}+\frac{10+y}{30}=1$
两边同乘60去分母得：$30 + 2(10+y)=60$
解得$y=5$
(3) 先计算乙公司每天雇佣费用：$100÷10\%=1000$（元）
再计算甲公司每天雇佣费用：$(1000+200)÷\frac{4}{5}=1500$（元）
总施工天数为$10+5=15$天，总费用为甲雇佣费、乙雇佣费、监督员补助之和：
$1500×10 + 1000×(10+5) + 100×(10+5)=31500$（元）
【答案】
(1) 12天；(2) 5天；(3) 31500元
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题；百分数应用
【点评】
本题以实际工程场景为背景，结合比例关系、费用计算考察实际问题的分析求解能力，解题关键是明确工程问题中总工作量为单位“1”的隐含条件，理清各量之间的等量关系，计算时注意工作时间和对应费用的匹配，避免错算天数。
【难度系数】
0.7
