8.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=8 m，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8 m.现计划将此余料进行切割.若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积.

8.解:如图,由题意得 $A(-4,0),B(4,0),C(0,8)$,设抛物线的解析式为 $y=ax^2+8$,把 $B(4,0)$ 代入,得 $0=16a+8,∴a=-\dfrac{1}{2},∴$ 抛物线的解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+8.∵$ 四边形 EFGH 是正方形,
∴$GH=FG=2OG$,设 $H(t,-\dfrac{1}{2}t^2+8)(t＞0)$,
∴$-\dfrac{1}{2}t^2+8=2t$,解得 $t_1=-2+2\sqrt{5},t_2=-2-2\sqrt{5}$(不符合题意,舍去),
∴此正方形的面积 $=FG^2=(2t)^2=4t^2=4(-2+2\sqrt{5})^2=(96-32\sqrt{5})\ \mathrm{m}^2$.

9.如图,用一块长为 50 cm、宽为 30 cm 的长方形铁片制作一个无盖的盒子,若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形,设小正方形的边长为 x cm.
(1)底面的长 AB = cm,宽 BC = cm(用含 x 的代数式表示);
(2)当做成盒子的底面积为 300 cm²时,求该盒子的容积;
(3)该盒子的侧面积 S 是否存在最大的情况?若存在,求出 x 的值及最大值;若不存在,请说明理由.

9.(1)$(50-2x)$ $(30-2x)$
(2)解:依题意得$(50-2x)(30-2x)=300$,整理得 $x^2-40x+300=0$,解得 $x_1=10,x_2=30$(不符合题意,舍去),当 $x=10$ 时,盒子容积$=(50-20)(30-20)×10=3\ 000(\mathrm{cm}^3)$.
(3)解:盒子的侧面积为 $S=2x(50-2x)+2x(30-2x)=100x-4x^2+60x-4x^2=-8x^2+160x=-8(x^2-20x)=-8[(x-10)^2-100]=-8(x-10)^2+800.∵-8＜0$,且 $0＜x＜15$,
∴当 $x=10$ 时,$S$ 有最大值,最大值为 800.

10.[几何直观]如图1，放置两个全等的含有$30°$角的直角三角尺$ABC$与$DEF$($∠ B=∠ E=30°$).若将三角尺$ABC$向右以每秒1个单位长度的速度移动(点$C$与点$E$重合时移动终止)，移动过程中始终保持点$B$，$F$，$C$，$E$在同一条直线上，如图2，$AB$与$DF$，$DE$分别交于点$P$，$M$，$AC$与$DE$交于点$Q$，其中$AC=DF=\sqrt{3}$，设三角尺$ABC$的移动时间为$x$秒.
(1)在移动过程中，试用含$x$的代数式表示$△ AMQ$的面积；
(2)当$x$等于多少时，两个三角尺重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

10.解:(1)$∵$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠B=30°$,
$∴∠BAC=60°.∵∠E=30°,∴∠EQC=∠AQM=60°,∴△ AMQ$ 为等边三角形,如图,过点 $M$ 作 $MN⊥AQ$,垂足为 $N$.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠B=30°,AC=\sqrt{3}$,则 $AB=2\sqrt{3},∴BC=3,∴EF=BC=3$.根据题意知 $CF=x,∴CE=EF-CF=3-x.∵∠E=30°,∴EQ=2CQ,∴CQ^2=4CQ^2-CE^2$,易得 $CQ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(3-x),∴AQ=AC-CQ=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}(3-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x,∴AM=AQ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$,
$∴AN=\dfrac{\sqrt{3}}{6}x$,由勾股定理可得 $MN=\dfrac{1}{2}x,∴S_{△ AMQ}=\dfrac{1}{2}AQ·MN=\dfrac{1}{2}·\dfrac{\sqrt{3}}{3}x·\dfrac{1}{2}x=\dfrac{\sqrt{3}}{12}x^2$.
(2)由(1)知 $BF=CE=3-x,PF=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(3-x)$,设两个三角尺重叠部分的面积为 $S_{重叠}.S_{重叠}=S_{△ ABC}-S_{△ AMQ}-S_{△ BPF}=\dfrac{1}{2}AC·BC-S_{△ AMQ}-\dfrac{1}{2}BF·PF=\dfrac{1}{2}×3×\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{12}x^2-\dfrac{1}{2}(3-x)·\dfrac{\sqrt{3}}{3}(3-x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2+\sqrt{3}x=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}(x-2)^2+\sqrt{3}$.
$∵-\dfrac{\sqrt{3}}{4}＜0,∴$ 当 $x=2$ 时,重叠部分面积有最大值,最大值是 $\sqrt{3}$.