1 若$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，则$\frac{a - b}{b}$的值为（）

A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$-\frac{1}{4}$

1. A

【分析】
解题时有两种常用思路：一是对所求分式进行拆分变形，转化为含有已知$\frac{a}{b}$的形式，直接代入已知比例值计算；二是利用比例的性质设参数，将a、b用含同一非零参数的式子表示，再代入所求分式约分消去参数得到结果，两种思路均贴合学段知识要求，计算难度低。
【解析】
方法一：拆分所求分式
根据分式的运算规则，$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a}{b}-1$，
将$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$代入上式，可得：
原式$=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$。
方法二：设参数代入
由$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，设$a=4k$，$b=3k$（$k≠0$），
将其代入$\frac{a-b}{b}$得：
$\frac{a-b}{b}=\frac{4k-3k}{3k}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的性质、分式的运算
【点评】
本题是比例运算的基础题型，两种常规解题思路都能快速得出结果，熟练掌握分式变形规则和比例的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

2 如果$\frac{x+y}{y}=\frac{5}{4}$，那么$\frac{x}{y}=$。

2. $\frac{1}{4}$

【分析】
本题是已知含x、y的比例式求$\frac{x}{y}$的值，有两种常规解题思路：一是利用同分母分式的加法法则，将左侧分式拆分为两个分式相加，简化式子后直接求解；二是利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），将比例式转化为整式等式，再通过移项化简得到x与y的比值，两种方法均符合学段知识要求，计算难度低。
【解析】
方法一（拆分分式法）：
根据同分母分式加法规则，将等式左边拆分：
$\frac{x+y}{y} = \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = \frac{x}{y} + 1$
代入原等式可得：
$\frac{x}{y} + 1 = \frac{5}{4}$
移项计算得：
$\frac{x}{y} = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}$
方法二（比例基本性质法）：
由比例的基本性质，交叉相乘得：
$4(x+y) = 5y$
去括号：
$4x + 4y = 5y$
移项合并同类项：
$4x = y$
原式有意义则$y≠0$，两边同时除以$4y$得：
$\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
比例的性质、分式的运算
【点评】
本题属于基础的比例计算类题目，核心考查对比例性质和分式运算法则的掌握，解题思路简单直接，熟练掌握相关知识点即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

3 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，求证：$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$

3. 设$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$，则$a = bk, c = dk. \therefore \frac{a+b}{b} = \frac{bk+b}{b} = \frac{b(k+1)}{b}=k+1, \frac{c+d}{d} = \frac{dk+d}{d} = \frac{d(k+1)}{d}=k+1. \therefore \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

【分析】
本题是比例等式的证明题，可采用比例问题常用的设k法解题：首先将已知相等的两个比值设为公共参数k，就能把a、c分别用含b、d和k的代数式表示，再将其代入待证等式的左右两边分别化简，若两边化简后结果相同，即可证明等式成立。
【解析】
证明：设$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$，
则$a = bk$，$c = dk$，
左边：$\frac{a+b}{b} = \frac{bk+b}{b} = \frac{b(k+1)}{b}=k+1$，
右边：$\frac{c+d}{d} = \frac{dk+d}{d} = \frac{d(k+1)}{d}=k+1$，
∵左边=右边，
∴$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$。
【答案】
$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，得证
【知识点】
比例的性质，等比设k法，代数式化简
【点评】
本题属于比例相关的基础证明题，核心考察等比问题中设公共比值为参数的解题思路，该方法是解决比例类计算、证明题的常用技巧，熟练掌握可大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8

4 (1) 分别求出当$x=-3,-2,-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,3$时$x^2+\frac{1}{x^2}$的值.

(2) 由表可知，当$x^2+\frac{1}{x^2}=9\frac{1}{9}$时，x的值为；当$x^2+\frac{1}{x^2}=25\frac{1}{25}$时，x的值为.
(3) 解关于x的方程$x^2+\frac{1}{x^2}=n^2+\frac{1}{n^2}$.
(4) 根据以上探索，提出关于$x^2+\frac{1}{x^2}$的值的一些猜想.

4. (1) $\frac{82}{9}\ \ \frac{17}{4}\ \ 2\ \ \frac{17}{4}\ \ \frac{82}{9}\ \ \frac{82}{9}\ \ \frac{17}{4}\ \ 2\ \ \frac{17}{4}\ \ \frac{82}{9}$
(2) $\pm3,\pm\frac{1}{3}\ \ \pm5,\pm\frac{1}{5}$
(3) $\because x^2+\frac{1}{x^2}=n^2+\frac{1}{n^2},\therefore x^2+\frac{1}{x^2}+2=n^2+\frac{1}{n^2}+2. \therefore (x+\frac{1}{x})^2=(n+\frac{1}{n})^2. \therefore x+\frac{1}{x}=n+\frac{1}{n}$或$x+\frac{1}{x}+n+\frac{1}{n}=0.$ 当$x+\frac{1}{x}=n+\frac{1}{n}$时，$x-n+\frac{n-x}{xn}=0,$即$(x-n)(1-\frac{1}{xn})=0. \therefore x=n$或$x=\frac{1}{n}.$当$x+\frac{1}{x}+n+\frac{1}{n}=0$时，即$(x+n)(1+\frac{1}{xn})=0. \therefore x=-n$或$x=-\frac{1}{n}. \therefore$ 原方程的解为$x=\pm n$或$x=\pm\frac{1}{n}$
(4) ① $x^2+\frac{1}{x^2}$的最小值为2；② 当$x=\pm n,\pm\frac{1}{n}(n≠0)$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相同(合理即可)

【分析】
本题从特殊值代入计算出发，逐步引导探索代数式的规律并应用规律解方程。解题思路如下：1. 第(1)问直接将给定的x值代入代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$计算，利用平方的性质可知互为相反数、互为倒数的x代入结果相同，可简化计算；2. 第(2)问对照第(1)问的计算结果，结合规律反推x的取值；3. 第(3)问利用完全平方公式对等式两边变形，转化为可因式分解的形式，分类讨论求解方程，注意分母不为0的隐含条件；4. 第(4)问结合前3问的计算、结论归纳代数式的性质即可。
【解析】
(1) 逐个代入x计算：
当$x=-3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-3)^2+\frac{1}{(-3)^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$；
当$x=-2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-2)^2+\frac{1}{(-2)^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
当$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-1)^2+\frac{1}{(-1)^2}=1+1=2$；
当$x=-\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$；
当$x=-\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}$；
根据平方的性质，x取互为相反数、互为倒数的非零值时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等，因此$x=\frac{1}{3}$时值为$\frac{82}{9}$，$x=\frac{1}{2}$时值为$\frac{17}{4}$，$x=1$时值为2，$x=2$时值为$\frac{17}{4}$，$x=3$时值为$\frac{82}{9}$。
(2) 由(1)的规律可知，若$x^2+\frac{1}{x^2}=a+\frac{1}{a}$（$a＞0$），则$x=\pm a,\pm\frac{1}{a}$：
当$x^2+\frac{1}{x^2}=9\frac{1}{9}=9+\frac{1}{9}$时，对应$a=3$，因此$x=\pm3,\pm\frac{1}{3}$；
当$x^2+\frac{1}{x^2}=25\frac{1}{25}=25+\frac{1}{25}$时，对应$a=25$，因此$x=\pm5,\pm\frac{1}{5}$。
(3) 解方程$x^2+\frac{1}{x^2}=n^2+\frac{1}{n^2}$：
等式两边同时加2凑完全平方，得$x^2+\frac{1}{x^2}+2=n^2+\frac{1}{n^2}+2$，即$(x+\frac{1}{x})^2=(n+\frac{1}{n})^2$；
开平方分两种情况讨论：
① $x+\frac{1}{x}=n+\frac{1}{n}$，移项通分整理得$(x-n)(1-\frac{1}{xn})=0$，解得$x=n$或$x=\frac{1}{n}$；
② $x+\frac{1}{x}=-(n+\frac{1}{n})$，移项通分整理得$(x+n)(1+\frac{1}{xn})=0$，解得$x=-n$或$x=-\frac{1}{n}$；
经检验，上述4个解均满足分母不为0的条件，是原方程的解。
(4) 结合前面的结论可归纳猜想：① $x^2+\frac{1}{x^2}$的最小值为2，当$x=\pm1$时取到最小值；② 当$x=\pm n、\pm\frac{1}{n}(n≠0)$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等（合理即可）。
【答案】
(1) 依次为$\frac{82}{9}、\frac{17}{4}、2、\frac{17}{4}、\frac{82}{9}、\frac{82}{9}、\frac{17}{4}、2、\frac{17}{4}、\frac{82}{9}$
(2) $\pm3,\pm\frac{1}{3}$；$\pm5,\pm\frac{1}{5}$
(3) 原方程的解为$x=\pm n$或$x=\pm\frac{1}{n}$（$n≠0$）
(4) ① $x^2+\frac{1}{x^2}$的最小值为2；② 当$x=\pm n,\pm\frac{1}{n}(n≠0)$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相同（合理即可）
【知识点】
代数式求值，完全平方公式，分式方程解法
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查基础的代数计算能力，又引导学生主动归纳规律、应用规律解决方程问题，能有效锻炼学生的归纳思维和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7