1 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，能说明$∠ AOC=∠ BOC$的依据是（）

A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS

A

【分析】
要确定∠AOC=∠BOC的依据，首先回忆尺规作角平分线的操作步骤，提取作图过程中得到的相等线段，再判断△OMC和△ONC的全等判定定理，通过全等三角形对应角相等即可得到两角相等的依据。第一步以O为圆心画弧得到OM、ON，二者是同圆半径，长度相等；第二步分别以M、N为圆心画弧得到交点C，可得MC、NC长度相等；再结合公共边OC，即可找到全等的判定依据。
【解析】
根据尺规作角平分线的步骤可知：
1. 以点O为圆心画弧，交OA、OB于N、M，因此$OM=ON$（同圆的半径相等）；
2. 分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧交于点C，因此$MC=NC$（等圆的半径相等）；
3. OC是$△ OMC$和$△ ONC$的公共边，因此$OC=OC$。
在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases}OM=ON \\MC=NC \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ OMC ≌ △ ONC$（SSS）
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$（全等三角形对应角相等）
因此依据是SSS，选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线的尺规作图原理，需要结合作图过程梳理相等线段，再对应全等三角形的判定定理求解，属于基础类考题，是对作图操作背后原理的考查。
【难度系数】
0.8

2 新情境 生活实际 如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河岸AB与两条铁路分别交于点A处和点B处，试在河岸AB上（点A，B之间）建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？

作∠AOB的平分线交AB于点M，点M处即为该水厂所建位置

【分析】
要确定水厂的位置，首先明确选址的两个要求：一是水厂要在河岸AB上（A、B之间），二是水厂到两条铁路OA、OB的距离相等。结合角平分线的相关性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此满足“到OA、OB距离相等”的点都在∠AOB的平分线上。只需找到∠AOB的平分线与线段AB的交点，该交点就能同时满足两个选址条件，即为所求的水厂位置。
【解析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
1. 首先利用尺规作图作出∠AOB的角平分线；
2. 找到该角平分线与线段AB的交点，记为M。
此时点M既在∠AOB的平分线上（满足到OA、OB的距离相等），又在AB上，完全符合建厂要求。
【答案】
作∠AOB的平分线交AB于点M，点M处即为该水厂所建位置
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定，尺规作角平分线
【点评】
本题结合生活中的实际选址场景，考查角平分线性质的实际应用，解题核心是将实际需求转化为几何条件，是几何知识对接生活应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8

3 点P在∠ABC的平分线上，点P到AB边的距离等于5，D是BC边上的任意一点，连接PD，则下列判断正确的是（）

A.$PD＞5$
B.$PD≥5$
C.$PD＜5$
D.$PD≤5$

B

【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：①角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；②垂线段最短：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短。首先利用角平分线性质算出点P到BC边的距离，再结合垂线段最短的性质判断PD的取值范围即可。
【解析】
∵点P在∠ABC的平分线上，点P到AB边的距离等于5，
∴根据角平分线的性质，点P到BC边的距离也等于5。
∵点到直线的所有连线中，垂线段最短，D是BC边上的任意一点，
∴当PD⊥BC时，PD取最小值，最小值为5，其余情况PD的长度均大于5，
∴PD≥5。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是先借助角平分线的性质确定点P到BC的距离，再结合垂线段最短的性质判断线段的取值范围。
【难度系数】
0.8

4 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，AD平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，垂足为E.
（1）若$BC=8$，$BD=5$，则$DE=$；
（2）若$BC=20$，$BD:CD=3:2$，则点D到AB的距离是.

(1) 3 (2) 8

【分析】
本题考查角平分线性质的应用，解题核心是利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”建立等量关系。已知AD是∠BAC的角平分线，点D在AD上，DC⊥AC、DE⊥AB，因此DC和DE长度相等，DE就是点D到AB的距离。（1）先通过线段和差求出CD长度，即可得到DE的长度；（2）先根据线段比例求出CD长度，即可得到点D到AB的距离。
【解析】
（1）
∵AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：$DE=CD$。
已知$BC=8$，$BD=5$，
∴$CD=BC-BD=8-5=3$，
∴$DE=3$。
（2）已知$BC=20$，$BD:CD=3:2$，
∴$CD=BC×\frac{2}{3+2}=20×\frac{2}{5}=8$，
∵AD是∠BAC的角平分线，DC⊥AC，点D到AB的距离为DE的长度，由角平分线的性质得$DE=CD=8$，
即点D到AB的距离是8。
【答案】
（1）$\boldsymbol{3}$；（2）$\boldsymbol{8}$
【知识点】
角平分线的性质，线段和差计算，比例计算
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用题，解题关键是牢记角平分线的性质，将未知的距离转化为已知线段的相关计算，难度较低。
【难度系数】
0.8

5 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，$DE ⊥ AC$，垂足为$E$。若$△ ABD$的面积为5，则$DE$的长为________。

2

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中AD是∠BAC的角平分线，因此点D到AB的距离和点D到AC的距离（即DE）相等。接下来结合已知的△ABD的面积和AB的边长，利用三角形面积公式即可求出点D到AB的距离，该距离与DE相等，进而得到DE的长度。
【解析】
过点D作$DF ⊥ AB$，垂足为F。
∵AD平分$∠BAC$，$DE ⊥ AC$，$DF ⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质可得：$DE = DF$。
已知$△ ABD$的面积为5，$AB=5$，由三角形面积公式$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DF$，代入数值：
$5 = \frac{1}{2} × 5 × DF$，
解得$DF = 2$，
∴$DE = DF = 2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础的几何计算题型，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线构造出点D到AB的垂线段，将求DE的长度转化为求△ABD中AB边上的高，要注意对基础性质的熟练掌握和灵活运用。
【难度系数】
0.7

6 教材P52习题T1变式 如图,在$△ ABC$中,$BE=CF$,$AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$.求证:$D$是$BC$的中点.

∵ AD 平分∠BAC, DE ⊥ AB, DF ⊥ AC,
∴ DE = DF, ∠BED=∠CFD=90°. 在△BED 和△CFD 中,$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠BED=∠CFD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ △BED≌△CFD.
∴ BD=CD,即 D 是 BC 的中点

【分析】
要证明D是BC的中点，本质是证BD=CD，可通过证明BD、CD所在的△BED和△CFD全等来推导。首先由AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线的性质可得到DE=DF；再结合已知的BE=CF，以及两个三角形对应直角相等的条件，即可用SAS判定△BED≌△CFD，由全等三角形对应边相等得到BD=CD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠BED=∠CFD=90°。
在△BED 和△CFD 中，
$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠BED=∠CFD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ △BED≌△CFD（SAS）。
∴ BD=CD，即D是BC的中点。
【答案】
D是BC的中点
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查角平分线性质和全等三角形的综合应用，解题的关键是先通过角平分线性质得到全等所需的相等边，再结合已知条件完成全等证明，进而推导得到结论，有助于夯实几何证明的基础逻辑。
【难度系数】
0.8

7 证明命题“角的平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，写出证明过程。下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证。
（1）补全已知和求证。
已知:如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，，，求证:。
（2）写出证明过程。

(1) $PD⊥OA$ 于点 D $PE⊥OB$ 于点 E $PD=PE$
(2)
∵ PD⊥OA, PE⊥OB,
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在△PDO 和△PEO 中,$\begin{cases} ∠DOP=∠EOP, \\ ∠PDO=∠PEO, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴ △PDO≌△PEO.
∴ PD=PE

【分析】
本题考查角平分线性质定理的证明，解题思路如下：
1. 补全已知和求证：首先明确“点到角两边的距离”指的是点到角两边的垂线段长度，因此已知需要补充点P到OA、OB的垂直条件，求证就是这两条垂线段长度相等。
2. 证明过程：要证明两条线段相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知PD、PE分别在△PDO和△PEO中，已知有角平分线得到的一组角相等，垂直得到的一组直角相等，还有公共边OP，利用AAS即可判定两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
(1) 根据“点到直线的距离是垂线段的长度”，结合命题内容补全：
已知需补充点P到角两边作垂线的条件，求证为两条垂线段相等。
(2) 证明：
$\because PD⊥OA, PE⊥OB$，
$\therefore ∠ PDO = ∠ PEO = 90°$。
在$△ PDO$ 和$△ PEO$ 中，
$\begin{cases} ∠ DOP=∠ EOP, \\ ∠ PDO=∠ PEO, \\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore △ PDO≌△ PEO \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore PD=PE$。
【答案】
(1) $PD⊥OA$ 于点 D；$PE⊥OB$ 于点 E；$PD=PE$
(2) 证明过程：
∵ PD⊥OA, PE⊥OB,
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在△PDO 和△PEO 中,$\begin{cases} ∠DOP=∠EOP, \\ ∠PDO=∠PEO, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴ △PDO≌△PEO.
∴ PD=PE
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础证明题，注重考察几何证明的规范书写，以及利用三角形全等推导线段相等的基本逻辑，是几何中线段相等证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.85