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1 一套仪器由1个A部件和3个B部件构成，用1 $\mathrm{m}^3$钢材可做40个A部件或240个B部件。现要用6 $\mathrm{m}^3$钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件恰好配成整套的这种仪器？
答案
设应用$x\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$y\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件. 由题意，得
$\begin{cases} x+y=6, \\ 3×40x=240y, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4, \\ y=2. \end{cases}$
所以应用$4\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$2\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件
$\begin{cases} x+y=6, \\ 3×40x=240y, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4, \\ y=2. \end{cases}$
所以应用$4\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$2\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件
解析
【分析】
这是典型的配套类应用题，解题时首先梳理题目中的等量关系：①做A部件的钢材体积+做B部件的钢材体积=总钢材体积6$\mathrm{m}^3$；②因为1套仪器需要1个A部件和3个B部件，所以恰好配套时，B部件的总数量=A部件总数量×3。接下来设两个未知数分别表示做A、B部件的钢材体积，根据上述两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到答案。
【解析】
解：设应用$x\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$y\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件。
根据钢材总用量可得第一个方程：$x+y=6$；
已知$1\ \mathrm{m}^3$钢材可做40个A部件或240个B部件，因此A部件总数量为$40x$个，B部件总数量为$240y$个，结合配套时B的数量是A的3倍，可得第二个方程：$3×40x=240y$。
联立得到方程组：
$\begin{cases} x+y=6, \\ 120x=240y, \end{cases}$
化简第二个方程得$x=2y$，将其代入$x+y=6$中，得$2y+y=6$，解得$y=2$，再代入$x=2y$得$x=4$。
【答案】
应用$4\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$2\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件
【知识点】
二元一次方程组应用，配套问题，解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际配套问题中的应用，解题核心是准确挖掘两个核心等量关系，一是原材料的总量关系，二是配套所需的部件数量比例关系，掌握二元一次方程组的基本解法就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
这是典型的配套类应用题，解题时首先梳理题目中的等量关系：①做A部件的钢材体积+做B部件的钢材体积=总钢材体积6$\mathrm{m}^3$；②因为1套仪器需要1个A部件和3个B部件，所以恰好配套时，B部件的总数量=A部件总数量×3。接下来设两个未知数分别表示做A、B部件的钢材体积，根据上述两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到答案。
【解析】
解：设应用$x\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$y\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件。
根据钢材总用量可得第一个方程：$x+y=6$；
已知$1\ \mathrm{m}^3$钢材可做40个A部件或240个B部件，因此A部件总数量为$40x$个，B部件总数量为$240y$个，结合配套时B的数量是A的3倍，可得第二个方程：$3×40x=240y$。
联立得到方程组：
$\begin{cases} x+y=6, \\ 120x=240y, \end{cases}$
化简第二个方程得$x=2y$，将其代入$x+y=6$中，得$2y+y=6$，解得$y=2$，再代入$x=2y$得$x=4$。
【答案】
应用$4\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，$2\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件
【知识点】
二元一次方程组应用，配套问题，解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际配套问题中的应用，解题核心是准确挖掘两个核心等量关系，一是原材料的总量关系，二是配套所需的部件数量比例关系，掌握二元一次方程组的基本解法就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
2 小明受故事《乌鸦喝水》的启发，利用水杯、大球和小球进行了如图所示的操作.
（1）放入1个小球水面升高
（2）小明想在水杯中放入大球、小球共10个.如果要使水面上升到50 cm，那么应放入大球、小球各多少个？
（1）放入1个小球水面升高
2
cm，放入1个大球水面升高3
cm.（2）小明想在水杯中放入大球、小球共10个.如果要使水面上升到50 cm，那么应放入大球、小球各多少个？
答案
(1) 2 3
(2) 设应放入大球$x$个，小球$y$个. 由题意，得
$\begin{cases} x+y=10, \\ 3x+2y=50-26, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4, \\ y=6. \end{cases}$
所以应放入大球4个，小球6个
(2) 设应放入大球$x$个，小球$y$个. 由题意，得
$\begin{cases} x+y=10, \\ 3x+2y=50-26, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=4, \\ y=6. \end{cases}$
所以应放入大球4个，小球6个
解析
【分析】
（1）要计算单个小球、大球使水面升高的高度，首先从图中读取初始水面高度为26cm，放入3个小球后水面高度为32cm，先算3个小球使水面升高的总高度，再除以小球数量即可得到1个小球的升高高度；同理，放入2个大球后水面高度也为32cm，用总升高高度除以大球数量即可得到1个大球的升高高度。
（2）求解大球、小球的数量，可设大球$x$个，小球$y$个，找到两个等量关系：①大球和小球总数量为10个；②放入10个球后水面从26cm上升到50cm，总升高高度等于所有大球、小球使水面升高的高度之和，据此列二元一次方程组，求解即可得到结果。
【解析】
（1）初始水面高度为26cm，放入3个小球后水面高度为32cm，水面总升高高度为：$32-26=6(\mathrm{cm})$，因此放入1个小球水面升高：$6÷3=2(\mathrm{cm})$；
放入2个大球后水面高度同样为32cm，水面总升高高度为6cm，因此放入1个大球水面升高：$6÷2=3(\mathrm{cm})$。
（2）设应放入大球$x$个，小球$y$个。
由大球、小球共10个，得：$x+y=10$；
水面要上升到50cm，总升高高度为$50-26=24(\mathrm{cm})$，结合单个大、小球的升高高度，得：$3x+2y=24$。
联立得方程组$\begin{cases} x+y=10, \\ 3x+2y=50-26, \end{cases}$
将$y=10-x$代入第二个方程，得$3x+2(10-x)=24$，解得$x=4$，则$y=10-4=6$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{3}$
(2) 应放入大球4个，小球6个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，液面变化问题，解二元一次方程组
【点评】
本题结合趣味情境考查实际问题的方程解法，要求学生能从图示中提取有效信息，找准等量关系建立数学模型，解题核心是先求出单个大、小球使水面上升的高度，整体难度适中，能较好锻炼学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要计算单个小球、大球使水面升高的高度，首先从图中读取初始水面高度为26cm，放入3个小球后水面高度为32cm，先算3个小球使水面升高的总高度，再除以小球数量即可得到1个小球的升高高度；同理，放入2个大球后水面高度也为32cm，用总升高高度除以大球数量即可得到1个大球的升高高度。
（2）求解大球、小球的数量，可设大球$x$个，小球$y$个，找到两个等量关系：①大球和小球总数量为10个；②放入10个球后水面从26cm上升到50cm，总升高高度等于所有大球、小球使水面升高的高度之和，据此列二元一次方程组，求解即可得到结果。
【解析】
（1）初始水面高度为26cm，放入3个小球后水面高度为32cm，水面总升高高度为：$32-26=6(\mathrm{cm})$，因此放入1个小球水面升高：$6÷3=2(\mathrm{cm})$；
放入2个大球后水面高度同样为32cm，水面总升高高度为6cm，因此放入1个大球水面升高：$6÷2=3(\mathrm{cm})$。
（2）设应放入大球$x$个，小球$y$个。
由大球、小球共10个，得：$x+y=10$；
水面要上升到50cm，总升高高度为$50-26=24(\mathrm{cm})$，结合单个大、小球的升高高度，得：$3x+2y=24$。
联立得方程组$\begin{cases} x+y=10, \\ 3x+2y=50-26, \end{cases}$
将$y=10-x$代入第二个方程，得$3x+2(10-x)=24$，解得$x=4$，则$y=10-4=6$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；$\boxed{3}$
(2) 应放入大球4个，小球6个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，液面变化问题，解二元一次方程组
【点评】
本题结合趣味情境考查实际问题的方程解法，要求学生能从图示中提取有效信息，找准等量关系建立数学模型，解题核心是先求出单个大、小球使水面上升的高度，整体难度适中，能较好锻炼学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.7
3 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某公司计划购买一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表：
（1）甲、乙两种型号的汽车每辆分别多少万元？
（2）若该公司计划正好用150万元购买甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请写出该公司的购买方案.
（1）甲、乙两种型号的汽车每辆分别多少万元？
（2）若该公司计划正好用150万元购买甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请写出该公司的购买方案.
答案
(1) 设甲型汽车每辆$x$万元，乙型汽车每辆$y$万元. 根据题意，得
$\begin{cases} 2x+y=60, \\ 3x+4y=115, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=25, \\ y=10. \end{cases}$
所以甲型汽车每辆25万元，乙型汽车每辆10万元
(2) 设购买$m$辆甲型汽车，$n$辆乙型汽车. 根据题意，得$25m+10n=150$，所以$m=6-\frac{2}{5}n$. 又因为$m$，$n$均为正整数，所以$\begin{cases} m=4, \\ n=5 \end{cases}$或$\begin{cases} m=2, \\ n=10. \end{cases}$
故该公司共有2种购买方案，方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车；方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车
$\begin{cases} 2x+y=60, \\ 3x+4y=115, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=25, \\ y=10. \end{cases}$
所以甲型汽车每辆25万元，乙型汽车每辆10万元
(2) 设购买$m$辆甲型汽车，$n$辆乙型汽车. 根据题意，得$25m+10n=150$，所以$m=6-\frac{2}{5}n$. 又因为$m$，$n$均为正整数，所以$\begin{cases} m=4, \\ n=5 \end{cases}$或$\begin{cases} m=2, \\ n=10. \end{cases}$
故该公司共有2种购买方案，方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车；方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车
解析
【分析】
第（1）问要求甲、乙两种汽车的单价，我们可以通过设两个未知数，从表格中提取两组等量关系：2辆甲型车总费用+1辆乙型车费用=60万元，3辆甲型车总费用+4辆乙型车费用=115万元，列二元一次方程组即可求解。第（2）问已知总购车费用，且两种车型都要购买，我们设两种车的购买数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，再结合车辆数为正整数的实际要求，筛选出符合条件的解，就能得到所有购买方案。
【解析】
（1）设甲型汽车每辆$x$万元，乙型汽车每辆$y$万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 2x+y=60 \\ 3x+4y=115 \end{cases}$
由第一个方程得$y=60-2x$，将其代入第二个方程：
$3x+4(60-2x)=115$
$3x+240-8x=115$
$-5x=-125$
解得$x=25$，代入$y=60-2x$得$y=10$。
（2）设购买$m$辆甲型汽车，$n$辆乙型汽车，其中$m、n$均为正整数。
根据总费用为150万元列方程：
$25m+10n=150$
整理得$5m+2n=30$，变形为$m=6-\frac{2}{5}n$。
由于$m、n$都是正整数，因此$n$需为5的正整数倍，且$m＞0$：
当$n=5$时，$m=6-\frac{2}{5}×5=4$，符合要求；
当$n=10$时，$m=6-\frac{2}{5}×10=2$，符合要求；
当$n≥15$时，$m≤0$，不符合两种车型均购买的要求，舍去。
因此符合条件的解为$\begin{cases} m=4 \\ n=5 \end{cases}$和$\begin{cases} m=2 \\ n=10 \end{cases}$。
【答案】
(1) 甲型汽车每辆25万元，乙型汽车每辆10万元；
(2) 共有2种购买方案：方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车；方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了二元一次方程组的建模、求解以及实际问题中未知数的取值限制，解题的关键是准确提取题干和表格中的等量关系，同时注意车辆数为正整数的隐含条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
第（1）问要求甲、乙两种汽车的单价，我们可以通过设两个未知数，从表格中提取两组等量关系：2辆甲型车总费用+1辆乙型车费用=60万元，3辆甲型车总费用+4辆乙型车费用=115万元，列二元一次方程组即可求解。第（2）问已知总购车费用，且两种车型都要购买，我们设两种车的购买数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，再结合车辆数为正整数的实际要求，筛选出符合条件的解，就能得到所有购买方案。
【解析】
（1）设甲型汽车每辆$x$万元，乙型汽车每辆$y$万元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 2x+y=60 \\ 3x+4y=115 \end{cases}$
由第一个方程得$y=60-2x$，将其代入第二个方程：
$3x+4(60-2x)=115$
$3x+240-8x=115$
$-5x=-125$
解得$x=25$，代入$y=60-2x$得$y=10$。
（2）设购买$m$辆甲型汽车，$n$辆乙型汽车，其中$m、n$均为正整数。
根据总费用为150万元列方程：
$25m+10n=150$
整理得$5m+2n=30$，变形为$m=6-\frac{2}{5}n$。
由于$m、n$都是正整数，因此$n$需为5的正整数倍，且$m＞0$：
当$n=5$时，$m=6-\frac{2}{5}×5=4$，符合要求；
当$n=10$时，$m=6-\frac{2}{5}×10=2$，符合要求；
当$n≥15$时，$m≤0$，不符合两种车型均购买的要求，舍去。
因此符合条件的解为$\begin{cases} m=4 \\ n=5 \end{cases}$和$\begin{cases} m=2 \\ n=10 \end{cases}$。
【答案】
(1) 甲型汽车每辆25万元，乙型汽车每辆10万元；
(2) 共有2种购买方案：方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车；方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了二元一次方程组的建模、求解以及实际问题中未知数的取值限制，解题的关键是准确提取题干和表格中的等量关系，同时注意车辆数为正整数的隐含条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
4 一个三位数比一个两位数的2倍少49.把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数的右边得到一个新的五位数，新的五位数比前面的五位数的7倍大3 876，求这个两位数和这个三位数.
答案
设这个两位数为$a$，这个三位数为$b$. 由题意，得
$\begin{cases} b=2a-49, \\ 7(100b+a)+3\ 876=1\ 000a+b, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=75, \\ b=101. \end{cases}$
所以这个两位数为75，这个三位数为101
$\begin{cases} b=2a-49, \\ 7(100b+a)+3\ 876=1\ 000a+b, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=75, \\ b=101. \end{cases}$
所以这个两位数为75，这个三位数为101
解析
【分析】
本题存在两个未知量，即两位数和三位数，适合用二元一次方程组求解。首先梳理题干中的等量关系：①三位数等于两位数的2倍减49；②将三位数放在两位数右边得到的五位数，等于将三位数放在两位数左边得到的五位数的7倍加3876。拼接多位数时要注意数位变化：三位数放在两位数左边，相当于三位数扩大100倍后再加两位数；三位数放在两位数右边，相当于两位数扩大1000倍后再加三位数，据此列方程组求解即可。
【解析】
设这个两位数为$a$，这个三位数为$b$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} b=2a-49\quad① \\ 7(100b+a)+3876=1000a+b\quad② \end{cases}$
将①代入②，得：
$7[100(2a-49)+a]+3876=1000a+(2a-49)$
展开计算：
$7(201a-4900)+3876=1002a-49$
$1407a-34300+3876=1002a-49$
移项合并同类项得：
$405a=30375$
解得$a=75$。
把$a=75$代入①，得$b=2×75-49=101$。
经检验，所得结果符合题意。
【答案】
这个两位数为75，这个三位数为101
【知识点】
二元一次方程组的应用，数位表示，二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于数字类二元一次方程组应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，其中多位数拼接的数位变化是易错点，明确不同位置的数对应的扩大倍数即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
本题存在两个未知量，即两位数和三位数，适合用二元一次方程组求解。首先梳理题干中的等量关系：①三位数等于两位数的2倍减49；②将三位数放在两位数右边得到的五位数，等于将三位数放在两位数左边得到的五位数的7倍加3876。拼接多位数时要注意数位变化：三位数放在两位数左边，相当于三位数扩大100倍后再加两位数；三位数放在两位数右边，相当于两位数扩大1000倍后再加三位数，据此列方程组求解即可。
【解析】
设这个两位数为$a$，这个三位数为$b$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} b=2a-49\quad① \\ 7(100b+a)+3876=1000a+b\quad② \end{cases}$
将①代入②，得：
$7[100(2a-49)+a]+3876=1000a+(2a-49)$
展开计算：
$7(201a-4900)+3876=1002a-49$
$1407a-34300+3876=1002a-49$
移项合并同类项得：
$405a=30375$
解得$a=75$。
把$a=75$代入①，得$b=2×75-49=101$。
经检验，所得结果符合题意。
【答案】
这个两位数为75，这个三位数为101
【知识点】
二元一次方程组的应用，数位表示，二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于数字类二元一次方程组应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，其中多位数拼接的数位变化是易错点，明确不同位置的数对应的扩大倍数即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
