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5 本地某快递公司规定:寄件不超过1千克的部分按起步价计费;寄件超过1千克的部分按千克计费.小文分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如下表:
收费标准
|目的地|起步价/元|超过1千克的部分/(元/千克)|
|上海|7|
|b|
|北京|10|b+4|
实际收费
|目的地|质量/千克|费用/元|
|上海|
|a−6|
|北京|3|a+7|
(1) 求$a,b$的值;
(2) 若小文寄5千克的快递到上海,7千克的快递到北京,则共需花多少元运费?
收费标准
|目的地|起步价/元|超过1千克的部分/(元/千克)|
|上海|7|
|b||北京|10|b+4|
实际收费
|目的地|质量/千克|费用/元|
|上海|
|a−6||北京|3|a+7|
(1) 求$a,b$的值;
(2) 若小文寄5千克的快递到上海,7千克的快递到北京,则共需花多少元运费?
答案
(1) 由题意，得$\begin{cases} 7+(2-1)× b=a-6, \\ 10+(3-1)× (b+4)=a+7, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=15, \\ b=2 \end{cases}$
(2) 由(1)，可知$a=15,b=2$,则$b+4=6$. 因为$7+(5-1)×2+10+(7-1)×6=61$(元),所以共需花61元运费
解得$\begin{cases} a=15, \\ b=2 \end{cases}$
(2) 由(1)，可知$a=15,b=2$,则$b+4=6$. 因为$7+(5-1)×2+10+(7-1)×6=61$(元),所以共需花61元运费
解析
【分析】
解决本题首先要明确快递分段计费的规则：1千克及以内收起步价，超过1千克的部分，超出重量按对应单价加收费用。(1)求a、b的值，需要分别根据上海、北京的寄件质量和收费列等量关系：寄往上海的快递质量为2千克，超出1千克的部分为1千克，总费用=上海起步价+1×上海超出部分单价，即可列第一个等式；寄往北京的快递质量为3千克，超出1千克的部分为2千克，总费用=北京起步价+2×北京超出部分单价，即可列第二个等式。联立两个等式得到二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值。(2)计算总运费时，分别按照分段计费规则算出5千克寄上海的费用、7千克寄北京的费用，再求和即可。
【解析】
(1) 根据题意，可列方程组：
$\begin{cases} 7+(2-1)b=a-6 \\ 10+(3-1)(b+4)=a+7 \end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases} a - b = 13 ① \\ a - 2b = 11 ② \end{cases}$
用①-②得：$b=2$
把$b=2$代入①得：$a - 2 =13$，解得$a=15$
(2) 由(1)得$b=2$，所以北京超出1千克部分的单价为$b+4=2+4=6$元/千克。
寄5千克到上海的运费：$7 + (5-1)×2 = 15$（元）
寄7千克到北京的运费：$10 + (7-1)×6 = 46$（元）
总运费：$15+46=61$（元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=15}$，$\boldsymbol{b=2}$；
(2) 共需花$\boldsymbol{61}$元运费。
【知识点】
分段计费问题，二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合生活中常见的快递收费场景命题，解题的核心是准确理解分段计费的规则，找准不同寄件情况对应的等量关系建立方程组，计算时注意区分不同目的地的收费标准，整体难度不高，能很好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确快递分段计费的规则：1千克及以内收起步价，超过1千克的部分，超出重量按对应单价加收费用。(1)求a、b的值，需要分别根据上海、北京的寄件质量和收费列等量关系：寄往上海的快递质量为2千克，超出1千克的部分为1千克，总费用=上海起步价+1×上海超出部分单价，即可列第一个等式；寄往北京的快递质量为3千克，超出1千克的部分为2千克，总费用=北京起步价+2×北京超出部分单价，即可列第二个等式。联立两个等式得到二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值。(2)计算总运费时，分别按照分段计费规则算出5千克寄上海的费用、7千克寄北京的费用，再求和即可。
【解析】
(1) 根据题意，可列方程组：
$\begin{cases} 7+(2-1)b=a-6 \\ 10+(3-1)(b+4)=a+7 \end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases} a - b = 13 ① \\ a - 2b = 11 ② \end{cases}$
用①-②得：$b=2$
把$b=2$代入①得：$a - 2 =13$，解得$a=15$
(2) 由(1)得$b=2$，所以北京超出1千克部分的单价为$b+4=2+4=6$元/千克。
寄5千克到上海的运费：$7 + (5-1)×2 = 15$（元）
寄7千克到北京的运费：$10 + (7-1)×6 = 46$（元）
总运费：$15+46=61$（元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=15}$，$\boldsymbol{b=2}$；
(2) 共需花$\boldsymbol{61}$元运费。
【知识点】
分段计费问题，二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合生活中常见的快递收费场景命题，解题的核心是准确理解分段计费的规则，找准不同寄件情况对应的等量关系建立方程组，计算时注意区分不同目的地的收费标准，整体难度不高，能很好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6 某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量，各颜色的意义如表1所示。
表1
该茶饮店售卖的产品中有A,B两种类型含咖啡因饮料，表2为A,B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因0.5毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克。
表2
（1）A,B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？
（2）我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想喝第二杯，但是妈妈不同意。请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？
表1
该茶饮店售卖的产品中有A,B两种类型含咖啡因饮料，表2为A,B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因0.5毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克。
表2
（1）A,B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？
（2）我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想喝第二杯，但是妈妈不同意。请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？
答案
(1) 设A型饮料每毫升的咖啡因含量为$x$毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为$y$毫克. 根据题意，得
$\begin{cases} x+y=0.5, \\ 2×400x+400y=280, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=0.2, \\ y=0.3. \end{cases}$
所以A型饮料每毫升的咖啡因含量为0.2毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为0.3毫克
(2) $0.2×400×2=160$(毫克) $160＞100$ $160-100=60$(毫克) 所以小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克
$\begin{cases} x+y=0.5, \\ 2×400x+400y=280, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=0.2, \\ y=0.3. \end{cases}$
所以A型饮料每毫升的咖啡因含量为0.2毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为0.3毫克
(2) $0.2×400×2=160$(毫克) $160＞100$ $160-100=60$(毫克) 所以小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克
解析
【分析】
（1）本题是二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是找准两个等量关系：①1毫升A型饮料咖啡因含量+1毫升B型饮料咖啡因含量=0.5毫克；②2杯中杯A型饮料总咖啡因含量+1杯中杯B型饮料总咖啡因含量=280毫克。先设两种饮料每毫升咖啡因含量为未知数，结合中杯容量400毫升将等量关系转化为方程组，求解即可得到结果。
（2）判断摄取量是否符合要求，先计算两杯400毫升A型饮料的总咖啡因含量，再和建议上限100毫克比较，若大于100毫克则不符合，两者的差值即为超出的量。
【解析】
(1) 设A型饮料每毫升的咖啡因含量为$x$毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为$y$毫克. 根据题意，得
$\begin{cases} x+y=0.5, \\ 2×400x+400y=280, \end{cases}$
化简第二个方程得$2x+y=0.7$，用该式减去第一个方程得$x=0.2$，将$x=0.2$代入$x+y=0.5$，解得$y=0.3$。
所以A型饮料每毫升的咖啡因含量为0.2毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为0.3毫克。
(2) 2杯中杯A型饮料总咖啡因含量为：$0.2×400×2=160$(毫克)
因为$160＞100$，不符合建议摄取量，超出部分为：$160-100=60$(毫克)
所以小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克。
【答案】
(1) A型饮料每毫升咖啡因含量为0.2毫克，B型饮料每毫升咖啡因含量为0.3毫克；
(2) 不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克。
【知识点】
二元一次方程组的应用；有理数大小比较；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活场景命题，贴近学生日常，主要考查信息提取、方程建模解决实际问题的能力，解题关键是准确梳理等量关系，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.7
（1）本题是二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是找准两个等量关系：①1毫升A型饮料咖啡因含量+1毫升B型饮料咖啡因含量=0.5毫克；②2杯中杯A型饮料总咖啡因含量+1杯中杯B型饮料总咖啡因含量=280毫克。先设两种饮料每毫升咖啡因含量为未知数，结合中杯容量400毫升将等量关系转化为方程组，求解即可得到结果。
（2）判断摄取量是否符合要求，先计算两杯400毫升A型饮料的总咖啡因含量，再和建议上限100毫克比较，若大于100毫克则不符合，两者的差值即为超出的量。
【解析】
(1) 设A型饮料每毫升的咖啡因含量为$x$毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为$y$毫克. 根据题意，得
$\begin{cases} x+y=0.5, \\ 2×400x+400y=280, \end{cases}$
化简第二个方程得$2x+y=0.7$，用该式减去第一个方程得$x=0.2$，将$x=0.2$代入$x+y=0.5$，解得$y=0.3$。
所以A型饮料每毫升的咖啡因含量为0.2毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为0.3毫克。
(2) 2杯中杯A型饮料总咖啡因含量为：$0.2×400×2=160$(毫克)
因为$160＞100$，不符合建议摄取量，超出部分为：$160-100=60$(毫克)
所以小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克。
【答案】
(1) A型饮料每毫升咖啡因含量为0.2毫克，B型饮料每毫升咖啡因含量为0.3毫克；
(2) 不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克。
【知识点】
二元一次方程组的应用；有理数大小比较；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活场景命题，贴近学生日常，主要考查信息提取、方程建模解决实际问题的能力，解题关键是准确梳理等量关系，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.7
