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1 将抛物线$y=(x-1)^2+2$关于$x$轴作轴对称变换，所得的新抛物线对应的函数解析式为
（
A.$y=-(x-1)^2+2$
B.$y=-(x+1)^2+2$
C.$y=-(x-1)^2-2$
D.$y=-(x+1)^2-2$
（
C
）A.$y=-(x-1)^2+2$
B.$y=-(x+1)^2+2$
C.$y=-(x-1)^2-2$
D.$y=-(x+1)^2-2$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决抛物线关于x轴对称的解析式问题，有两种符合学段要求的常用思路：①坐标代换法：先明确关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变、纵坐标互为相反数，将对称后的坐标关系代入原解析式整理即可；②顶点变换法：先确定原抛物线的顶点坐标和开口方向，根据轴对称性质得到新抛物线的顶点坐标和开口方向，再直接写出顶点式解析式，两种方法计算量小，不易出错。
【解析】
方法一：坐标代换法
平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数。
设新抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，则它的对称点$(x,-y)$在原抛物线$y=(x-1)^2+2$上，代入得：
$-y=(x-1)^2+2$
等式两边同时乘$-1$，整理得：$y=-(x-1)^2-2$。
方法二：顶点变换法
原抛物线$y=(x-1)^2+2$是顶点式，顶点坐标为$(1,2)$，二次项系数$a=1$，开口向上。
抛物线关于x轴对称后，顶点也关于x轴对称，新顶点坐标为$(1,-2)$，开口方向变为向下，因此新的二次项系数$a=-1$，代入顶点式得新抛物线解析式为：$y=-(x-1)^2-2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数图象变换
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，解题核心是掌握轴对称变换下的坐标变化规律，既可以通过整体坐标代换求解，也可以通过顶点和开口方向的变化直接写解析式，能帮助学生理解二次函数图象变换的本质。
【难度系数】
0.8
要解决抛物线关于x轴对称的解析式问题，有两种符合学段要求的常用思路：①坐标代换法：先明确关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变、纵坐标互为相反数，将对称后的坐标关系代入原解析式整理即可；②顶点变换法：先确定原抛物线的顶点坐标和开口方向，根据轴对称性质得到新抛物线的顶点坐标和开口方向，再直接写出顶点式解析式，两种方法计算量小，不易出错。
【解析】
方法一：坐标代换法
平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数。
设新抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，则它的对称点$(x,-y)$在原抛物线$y=(x-1)^2+2$上，代入得：
$-y=(x-1)^2+2$
等式两边同时乘$-1$，整理得：$y=-(x-1)^2-2$。
方法二：顶点变换法
原抛物线$y=(x-1)^2+2$是顶点式，顶点坐标为$(1,2)$，二次项系数$a=1$，开口向上。
抛物线关于x轴对称后，顶点也关于x轴对称，新顶点坐标为$(1,-2)$，开口方向变为向下，因此新的二次项系数$a=-1$，代入顶点式得新抛物线解析式为：$y=-(x-1)^2-2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数图象变换
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，解题核心是掌握轴对称变换下的坐标变化规律，既可以通过整体坐标代换求解，也可以通过顶点和开口方向的变化直接写解析式，能帮助学生理解二次函数图象变换的本质。
【难度系数】
0.8
2 二次函数$y=a(x+1)^2 - k$的部分图象如图所示，则$a - k=$
（第2题）
4
。（第2题）答案
2. 4
解析
【分析】
要计算a-k的值，首先观察所给的二次函数解析式$y=a(x+1)^2 -k$，我们可以尝试代入特殊的x值，看能否直接得到a-k的形式。当x=0时，代入解析式后，右侧化简刚好为a-k，此时对应的y值就是二次函数图像与y轴交点的纵坐标，从图像中可以直接读取该纵坐标的值，即可求出结果。
【解析】
将$x=0$代入二次函数解析式$y=a(x+1)^2 -k$，得：
$y = a(0+1)^2 - k = a - k$
观察函数图像可知，二次函数图像与y轴的交点为$(0,4)$，即当$x=0$时，$y=4$。
因此$a - k = 4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的图像与性质，解题时不需要分别求出a、k的具体数值，只需代入x=0将待求式转化为x=0对应的函数值，结合图像信息直接求解即可，解题时要注意观察待求式和解析式的关联，巧用特殊点简化计算。
【难度系数】
0.7
要计算a-k的值，首先观察所给的二次函数解析式$y=a(x+1)^2 -k$，我们可以尝试代入特殊的x值，看能否直接得到a-k的形式。当x=0时，代入解析式后，右侧化简刚好为a-k，此时对应的y值就是二次函数图像与y轴交点的纵坐标，从图像中可以直接读取该纵坐标的值，即可求出结果。
【解析】
将$x=0$代入二次函数解析式$y=a(x+1)^2 -k$，得：
$y = a(0+1)^2 - k = a - k$
观察函数图像可知，二次函数图像与y轴的交点为$(0,4)$，即当$x=0$时，$y=4$。
因此$a - k = 4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的图像与性质，解题时不需要分别求出a、k的具体数值，只需代入x=0将待求式转化为x=0对应的函数值，结合图像信息直接求解即可，解题时要注意观察待求式和解析式的关联，巧用特殊点简化计算。
【难度系数】
0.7
3 教材变式题 写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) $y=3(x+4)^2 - 1$;
(2) $y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2 + 2$.
(1) $y=3(x+4)^2 - 1$;
(2) $y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2 + 2$.
答案
3. (1) 开口向上,对称轴为直线$x=-4$,顶点坐标为$(-4,-1)$
(2) 开口向下,对称轴为直线$x=5$,顶点坐标为$(5,2)$
(2) 开口向下,对称轴为直线$x=5$,顶点坐标为$(5,2)$
解析
【分析】
本题给出的两个二次函数均为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，解题时先明确顶点式中各参数的意义：$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。注意要将原式中的括号内部分转化为$x-h$的形式，避免符号判断错误，对应找到每个式子的$a、h、k$后直接套用性质即可得到结果。
【解析】
解：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
(1) 抛物线$y=3(x+4)^2 - 1$可变形为$y=3[x-(-4)]^2 + (-1)$，
其中$a=3＞0$，$h=-4$，$k=-1$，
因此开口向上，对称轴为直线$x=-4$，顶点坐标为$(-4,-1)$；
(2) 抛物线$y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2 + 2$符合顶点式形式，
其中$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，$h=5$，$k=2$，
因此开口向下，对称轴为直线$x=5$，顶点坐标为$(5,2)$。
【答案】
(1) 开口向上,对称轴为直线$x=-4$,顶点坐标为$(-4,-1)$
(2) 开口向下,对称轴为直线$x=5$,顶点坐标为$(5,2)$
【知识点】
二次函数顶点式性质、抛物线开口判断、对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点是掌握顶点式中各参数对应的几何意义，解题时需注意$h$的符号判断，避免因符号混淆出错，熟练掌握性质后可直接得出结果。
【难度系数】
0.9
本题给出的两个二次函数均为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，解题时先明确顶点式中各参数的意义：$a$的符号决定抛物线开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。注意要将原式中的括号内部分转化为$x-h$的形式，避免符号判断错误，对应找到每个式子的$a、h、k$后直接套用性质即可得到结果。
【解析】
解：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
(1) 抛物线$y=3(x+4)^2 - 1$可变形为$y=3[x-(-4)]^2 + (-1)$，
其中$a=3＞0$，$h=-4$，$k=-1$，
因此开口向上，对称轴为直线$x=-4$，顶点坐标为$(-4,-1)$；
(2) 抛物线$y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2 + 2$符合顶点式形式，
其中$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，$h=5$，$k=2$，
因此开口向下，对称轴为直线$x=5$，顶点坐标为$(5,2)$。
【答案】
(1) 开口向上,对称轴为直线$x=-4$,顶点坐标为$(-4,-1)$
(2) 开口向下,对称轴为直线$x=5$,顶点坐标为$(5,2)$
【知识点】
二次函数顶点式性质、抛物线开口判断、对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点是掌握顶点式中各参数对应的几何意义，解题时需注意$h$的符号判断，避免因符号混淆出错，熟练掌握性质后可直接得出结果。
【难度系数】
0.9
4 [2025 威海]已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2 +c$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
C
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
4. C
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先需明确给定二次函数的图象性质：该函数是顶点式，可直接确定开口方向和对称轴；由于二次函数开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离，通过距离大小即可判断函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-2)^2 +c$：
∵ $a=-1＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
开口向下的抛物线上的点，到对称轴$x=2$的水平距离越小，对应的函数值$y$越大。
分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到$x=2$的距离：$\left|-2-2\right|=4$，
点$(3,y_2)$到$x=2$的距离：$\left|3-2\right|=1$，
点$(7,y_3)$到$x=2$的距离：$\left|7-2\right|=5$，
∵ $1＜4＜5$，
∴ 对应的函数值大小为$y_2＞y_1＞y_3$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题型，无需代入计算具体函数值，利用“开口方向+点到对称轴的距离”判断函数值大小的方法，能大幅提升解题效率，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，首先需明确给定二次函数的图象性质：该函数是顶点式，可直接确定开口方向和对称轴；由于二次函数开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，因此只需计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离，通过距离大小即可判断函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-2)^2 +c$：
∵ $a=-1＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
开口向下的抛物线上的点，到对称轴$x=2$的水平距离越小，对应的函数值$y$越大。
分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到$x=2$的距离：$\left|-2-2\right|=4$，
点$(3,y_2)$到$x=2$的距离：$\left|3-2\right|=1$，
点$(7,y_3)$到$x=2$的距离：$\left|7-2\right|=5$，
∵ $1＜4＜5$，
∴ 对应的函数值大小为$y_2＞y_1＞y_3$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题型，无需代入计算具体函数值，利用“开口方向+点到对称轴的距离”判断函数值大小的方法，能大幅提升解题效率，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
5 点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2+n$的图象上，若$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围是________。
答案
5. $m＞\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
解题思路：首先明确二次函数$y=(x-1)^2+n$开口向上，对称轴为直线$x=1$，我们可以直接将A、B两点代入函数解析式，根据$y_1＜y_2$的不等关系列不等式求解，这种方法直观易懂，适合刚学习二次函数性质的同学掌握。具体步骤：第一步分别代入两点坐标表示出$y_1$和$y_2$，第二步根据$y_1＜y_2$列不等式，第三步化简不等式即可求出$m$的取值范围。
【解析】
将点$A(m-1,y_1)$、$B(m,y_2)$分别代入二次函数$y=(x-1)^2+n$，可得：
$y_1=(m-1-1)^2+n=(m-2)^2+n$
$y_2=(m-1)^2+n$
已知$y_1＜y_2$，代入得：
$(m-2)^2+n ＜ (m-1)^2+n$
两边同时消去$n$，得：
$(m-2)^2 ＜ (m-1)^2$
展开不等式左右两边：
$m^2-4m+4 ＜ m^2-2m+1$
移项、合并同类项后得：
$-2m ＜ -3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$m ＞ \dfrac{3}{2}$
【答案】
$m＞\dfrac{3}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；解一元一次不等式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数性质的基础应用，除了代入列不等式的方法外，也可以结合开口方向和点到对称轴的距离关系快速判断：开口向上时，函数值越大对应点到对称轴的距离越远，解题时要注意解含负系数的不等式时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确二次函数$y=(x-1)^2+n$开口向上，对称轴为直线$x=1$，我们可以直接将A、B两点代入函数解析式，根据$y_1＜y_2$的不等关系列不等式求解，这种方法直观易懂，适合刚学习二次函数性质的同学掌握。具体步骤：第一步分别代入两点坐标表示出$y_1$和$y_2$，第二步根据$y_1＜y_2$列不等式，第三步化简不等式即可求出$m$的取值范围。
【解析】
将点$A(m-1,y_1)$、$B(m,y_2)$分别代入二次函数$y=(x-1)^2+n$，可得：
$y_1=(m-1-1)^2+n=(m-2)^2+n$
$y_2=(m-1)^2+n$
已知$y_1＜y_2$，代入得：
$(m-2)^2+n ＜ (m-1)^2+n$
两边同时消去$n$，得：
$(m-2)^2 ＜ (m-1)^2$
展开不等式左右两边：
$m^2-4m+4 ＜ m^2-2m+1$
移项、合并同类项后得：
$-2m ＜ -3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$m ＞ \dfrac{3}{2}$
【答案】
$m＞\dfrac{3}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；解一元一次不等式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数性质的基础应用，除了代入列不等式的方法外，也可以结合开口方向和点到对称轴的距离关系快速判断：开口向上时，函数值越大对应点到对称轴的距离越远，解题时要注意解含负系数的不等式时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
6 已知抛物线 $y=a(x-3)^2 + 2$ 经过点 $(1,-2)$。
(1) 求 $a$ 的值；
(2) 若点 $A(m,y_1),B(n,y_2)(m＜n＜3)$ 都在该抛物线上，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小。
(1) 求 $a$ 的值；
(2) 若点 $A(m,y_1),B(n,y_2)(m＜n＜3)$ 都在该抛物线上，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小。
答案
6. (1) $\because$ 抛物线 $y=a(x-3)^2 + 2$ 经过点 $(1,-2),\therefore a · (1-3)^2+2=-2,$解得 $a=-1$
(2) 由(1),得抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x-3)^2+2,$抛物线开口向下,对称轴为直线 $x=3.\therefore$ 当 $x＜3$ 时.$y$ 随 $x$ 的增大而增大. $\because m＜n＜3.\therefore y_1＜y_2$
(2) 由(1),得抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x-3)^2+2,$抛物线开口向下,对称轴为直线 $x=3.\therefore$ 当 $x＜3$ 时.$y$ 随 $x$ 的增大而增大. $\because m＜n＜3.\therefore y_1＜y_2$
解析
【分析】
(1) 已知点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线的解析式，因此只需将点$(1,-2)$代入给定的顶点式解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
(2) 比较函数值大小，首先根据(1)的结果得到完整的抛物线解析式，判断抛物线的开口方向与对称轴，再结合A、B两点横坐标都小于3的条件，确定$x＜3$区间内函数的增减性，最后结合$m＜n$的大小关系，即可得出$y_1$与$y_2$的大小。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-3)^2 + 2$经过点$(1,-2)$，
$\therefore$ 将$x=1$，$y=-2$代入解析式得：
$a · (1-3)^2 + 2 = -2$
化简得$4a + 2 = -2$，
解得 $a=-1$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-(x-3)^2 + 2$，
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，且对称轴为直线$x=3$，
$\therefore$ 当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大，
又$\because m ＜ n ＜ 3$，
$\therefore y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) $a=-1$；(2) $y_1 ＜ y_2$
【知识点】
待定系数法求参数；二次函数的增减性；二次函数顶点式性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，第一问考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，难度较低；第二问结合开口方向、对称轴判断区间内的函数增减性，是二次函数性质的常规考法，熟练掌握二次函数的核心性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 已知点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线的解析式，因此只需将点$(1,-2)$代入给定的顶点式解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
(2) 比较函数值大小，首先根据(1)的结果得到完整的抛物线解析式，判断抛物线的开口方向与对称轴，再结合A、B两点横坐标都小于3的条件，确定$x＜3$区间内函数的增减性，最后结合$m＜n$的大小关系，即可得出$y_1$与$y_2$的大小。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-3)^2 + 2$经过点$(1,-2)$，
$\therefore$ 将$x=1$，$y=-2$代入解析式得：
$a · (1-3)^2 + 2 = -2$
化简得$4a + 2 = -2$，
解得 $a=-1$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-(x-3)^2 + 2$，
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，且对称轴为直线$x=3$，
$\therefore$ 当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大，
又$\because m ＜ n ＜ 3$，
$\therefore y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) $a=-1$；(2) $y_1 ＜ y_2$
【知识点】
待定系数法求参数；二次函数的增减性；二次函数顶点式性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，第一问考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，难度较低；第二问结合开口方向、对称轴判断区间内的函数增减性，是二次函数性质的常规考法，熟练掌握二次函数的核心性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7 教材变式题 将抛物线$y=x^2$先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=(x-3)^2+4$
B.$y=(x+3)^2+4$
C.$y=(x-3)^2-4$
D.$y=(x+3)^2-4$
A
）A.$y=(x-3)^2+4$
B.$y=(x+3)^2+4$
C.$y=(x-3)^2-4$
D.$y=(x+3)^2-4$
答案
7. A
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律：平移过程中二次项系数不变，针对自变量x的平移遵循“左加右减”，针对函数整体的上下平移遵循“上加下减”。解题时先处理向右平移的变换，再处理向上平移的变换，逐步推导平移后的解析式即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=x^2$：
1. 第一步，将抛物线向右平移3个单位长度，根据“左加右减”的平移规则，将自变量$x$替换为$x-3$，得到平移后的解析式为$y=(x-3)^2$；
2. 第二步，再将得到的抛物线向上平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规则，在解析式整体后加4，得到最终解析式为$y=(x-3)^2+4$。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题为基础类考题，主要考查二次函数平移规律的应用，解题时需注意左右平移是对自变量$x$进行加减变换，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律：平移过程中二次项系数不变，针对自变量x的平移遵循“左加右减”，针对函数整体的上下平移遵循“上加下减”。解题时先处理向右平移的变换，再处理向上平移的变换，逐步推导平移后的解析式即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=x^2$：
1. 第一步，将抛物线向右平移3个单位长度，根据“左加右减”的平移规则，将自变量$x$替换为$x-3$，得到平移后的解析式为$y=(x-3)^2$；
2. 第二步，再将得到的抛物线向上平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规则，在解析式整体后加4，得到最终解析式为$y=(x-3)^2+4$。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式的确定
【点评】
本题为基础类考题，主要考查二次函数平移规律的应用，解题时需注意左右平移是对自变量$x$进行加减变换，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
8 将抛物线 $ y=a(x-h)^2 +k $ 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到二次函数 $ y=-2x^2 $ 的图象.
（1）求 $ a,h,k $ 的值；
（2）写出二次函数 $ y=a(x-h)^2 +k $ 的增减性和最值.
（1）求 $ a,h,k $ 的值；
（2）写出二次函数 $ y=a(x-h)^2 +k $ 的增减性和最值.
答案
8. (1) 由题意,得 $ a=-2,-h+2=0,k-3=0. \therefore a=-2,h=2,k=3 $
(2) 由(1)知, $ y=-2(x-2)^2+3. \therefore $ 当 $ x＜2 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大;当 $ x＞2 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小;当 $ x=2 $ 时, $ y $ 取最大值,为 3
(2) 由(1)知, $ y=-2(x-2)^2+3. \therefore $ 当 $ x＜2 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大;当 $ x＞2 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小;当 $ x=2 $ 时, $ y $ 取最大值,为 3
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确：二次函数平移仅改变图象位置，不改变图象的形状、大小和开口方向，因此二次项系数$a$不变。再根据“左加右减，上加下减”的平移规则，写出原抛物线平移后的表达式，和已知平移后的解析式对比，即可求出$h$、$k$的值。
（2）解决第二问需要先掌握二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向就能判断函数的增减性和最值。
【解析】
（1）$\because$抛物线平移时不改变二次项系数，
$\therefore a=-2$。
将抛物线$y=a(x-h)^2+k$向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得解析式为：
$y=a[(x+2)-h]^2 + k - 3$，
将$a=-2$代入得$y=-2(x+2-h)^2 + k - 3$，
$\because$平移后得到的解析式为$y=-2x^2$，
$\therefore$可得$2-h=0$，$k-3=0$，
解得$h=2$，$k=3$。
（2）由（1）得二次函数解析式为$y=-2(x-2)^2+3$，
$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=2$时，$y$取得最大值，最大值为3。
【答案】
（1）$a=-2$，$h=2$，$k=3$；
（2）当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=2$时，$y$取最大值3。
【知识点】
二次函数图象的平移规律；二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查平移规则和顶点式的性质，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，以及结合开口方向、对称轴分析函数增减性与最值的方法，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先要明确：二次函数平移仅改变图象位置，不改变图象的形状、大小和开口方向，因此二次项系数$a$不变。再根据“左加右减，上加下减”的平移规则，写出原抛物线平移后的表达式，和已知平移后的解析式对比，即可求出$h$、$k$的值。
（2）解决第二问需要先掌握二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向就能判断函数的增减性和最值。
【解析】
（1）$\because$抛物线平移时不改变二次项系数，
$\therefore a=-2$。
将抛物线$y=a(x-h)^2+k$向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得解析式为：
$y=a[(x+2)-h]^2 + k - 3$，
将$a=-2$代入得$y=-2(x+2-h)^2 + k - 3$，
$\because$平移后得到的解析式为$y=-2x^2$，
$\therefore$可得$2-h=0$，$k-3=0$，
解得$h=2$，$k=3$。
（2）由（1）得二次函数解析式为$y=-2(x-2)^2+3$，
$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=2$时，$y$取得最大值，最大值为3。
【答案】
（1）$a=-2$，$h=2$，$k=3$；
（2）当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=2$时，$y$取最大值3。
【知识点】
二次函数图象的平移规律；二次函数$y=a(x-h)^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查平移规则和顶点式的性质，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，以及结合开口方向、对称轴分析函数增减性与最值的方法，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
