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【例1】如图，AD是$△ ABC$的边BC上的中线.若$AB=6,AC=4$,求AD的取值范围.
答案
$1＜AD＜5$
解析
【分析】
本题已知三角形两边及第三边上的中线，求中线的取值范围，可采用倍长中线法构造全等三角形，将已知的AB、AC和与AD相关的线段转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。具体思路为：延长AD到E使DE=AD，连接BE，先证△ADC与△EDB全等，得到BE=AC，再在△ABE中利用三边关系列不等式求解AD的范围。
【解析】
解：延长AD到点E，使$DE=AD$，连接$BE$。
∵AD是$△ ABC$的边BC上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中：
$\begin{cases}AD=ED \\∠ ADC=∠ EDB \\CD=BD\end{cases}$
∴$△ ADC ≌ △ EDB$（SAS），
∴$BE=AC=4$。
∵$AE=AD+DE=2AD$，在$△ ABE$中，由三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”可得：
$AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE$，
将$AB=6$、$BE=4$、$AE=2AD$代入得：
$6-4 ＜ 2AD ＜ 6+4$，
即$2 ＜ 2AD ＜ 10$，
解得：$1 ＜ AD ＜ 5$。
【答案】
$1＜AD＜5$
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是中线类几何题的典型考法，核心是通过倍长中线构造全等，将分散的边的条件集中到同一个三角形中，再结合三边关系求解，熟练掌握该构造方法能快速解决同类中线相关问题。
【难度系数】
0.6
本题已知三角形两边及第三边上的中线，求中线的取值范围，可采用倍长中线法构造全等三角形，将已知的AB、AC和与AD相关的线段转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。具体思路为：延长AD到E使DE=AD，连接BE，先证△ADC与△EDB全等，得到BE=AC，再在△ABE中利用三边关系列不等式求解AD的范围。
【解析】
解：延长AD到点E，使$DE=AD$，连接$BE$。
∵AD是$△ ABC$的边BC上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中：
$\begin{cases}AD=ED \\∠ ADC=∠ EDB \\CD=BD\end{cases}$
∴$△ ADC ≌ △ EDB$（SAS），
∴$BE=AC=4$。
∵$AE=AD+DE=2AD$，在$△ ABE$中，由三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”可得：
$AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE$，
将$AB=6$、$BE=4$、$AE=2AD$代入得：
$6-4 ＜ 2AD ＜ 6+4$，
即$2 ＜ 2AD ＜ 10$，
解得：$1 ＜ AD ＜ 5$。
【答案】
$1＜AD＜5$
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是中线类几何题的典型考法，核心是通过倍长中线构造全等，将分散的边的条件集中到同一个三角形中，再结合三边关系求解，熟练掌握该构造方法能快速解决同类中线相关问题。
【难度系数】
0.6
【例2】如图，E是BC的中点，点A在DE上，且$∠ BAE = ∠ CDE$.求证：$AB = CD$. 
答案
证明:如图,作$BF⊥DE$交DE的延长线于点F,作$CG⊥DE$于点G,则$∠F=∠CGE=90°$
.∵E是BC的中点,
∴BE=CE.
在$△BFE$和$△CGE$中,$\begin{cases} ∠BEF=∠CEG, \\ ∠F=∠CGE, \\ BE=CE, \end{cases}$
∴$△BFE≌△CGE(AAS)$,
∴$BF=CG$.
在$△ABF$和$△DCG$中,
$\begin{cases} ∠F=∠DGC=90°, \\ ∠BAF=∠CDG, \\ BF=CG, \end{cases}$
∴$△ABF≌△DCG(AAS)$,
∴$AB=CD$.
解析
【分析】
要证明AB=CD，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。本题中AB、CD不在可直接判定全等的三角形中，结合E是BC中点的已知条件，可采用作双垂线的方式构造全等三角形：分别过B、C作DE的垂线，先借助中点、对顶角、直角证明△BFE和△CGE全等，得到BF=CG，再结合已知的∠BAE=∠CDE，证明AB、CD所在的△ABF和△DCG全等，即可得到AB=CD的结论。
【解析】
证明：首先作辅助线，作$BF⊥DE$交DE的延长线于点F，作$CG⊥DE$于点G，可得$∠F=∠CGE=90°$。
∵E是BC的中点，
∴$BE=CE$。
在$△BFE$和$△CGE$中：
$\begin{cases} ∠BEF=∠CEG（对顶角相等）, \\ ∠F=∠CGE, \\ BE=CE, \end{cases}$
∴$△BFE≌△CGE（AAS）$，
∴$BF=CG$。
在$△ABF$和$△DCG$中：
$\begin{cases} ∠F=∠DGC=90°, \\ ∠BAF=∠CDG（已知∠BAE=∠CDE）, \\ BF=CG, \end{cases}$
∴$△ABF≌△DCG（AAS）$，
∴$AB=CD$。
【答案】
证明:如图,作$BF⊥DE$交DE的延长线于点F,作$CG⊥DE$于点G,则$∠F=∠CGE=90°$.
∵E是BC的中点,
∴BE=CE.
在$△BFE$和$△CGE$中,$\begin{cases} ∠BEF=∠CEG, \\ ∠F=∠CGE, \\ BE=CE, \end{cases}$
∴$△BFE≌△CGE(AAS)$,
∴$BF=CG$.
在$△ABF$和$△DCG$中,
$\begin{cases} ∠F=∠DGC=90°, \\ ∠BAF=∠CDG, \\ BF=CG, \end{cases}$
∴$△ABF≌△DCG(AAS)$,
∴$AB=CD$.
【知识点】
全等三角形判定，全等三角形性质，中点的性质
【点评】
本题是中点类全等证明的典型题型，解题关键是结合中点条件作双垂线构造全等三角形，将待证相等的线段转化到可证全等的三角形中，这种遇中点构造双垂的方法是解决中点相关全等问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明AB=CD，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。本题中AB、CD不在可直接判定全等的三角形中，结合E是BC中点的已知条件，可采用作双垂线的方式构造全等三角形：分别过B、C作DE的垂线，先借助中点、对顶角、直角证明△BFE和△CGE全等，得到BF=CG，再结合已知的∠BAE=∠CDE，证明AB、CD所在的△ABF和△DCG全等，即可得到AB=CD的结论。
【解析】
证明：首先作辅助线，作$BF⊥DE$交DE的延长线于点F，作$CG⊥DE$于点G，可得$∠F=∠CGE=90°$。
∵E是BC的中点，
∴$BE=CE$。
在$△BFE$和$△CGE$中：
$\begin{cases} ∠BEF=∠CEG（对顶角相等）, \\ ∠F=∠CGE, \\ BE=CE, \end{cases}$
∴$△BFE≌△CGE（AAS）$，
∴$BF=CG$。
在$△ABF$和$△DCG$中：
$\begin{cases} ∠F=∠DGC=90°, \\ ∠BAF=∠CDG（已知∠BAE=∠CDE）, \\ BF=CG, \end{cases}$
∴$△ABF≌△DCG（AAS）$，
∴$AB=CD$。
【答案】
证明:如图,作$BF⊥DE$交DE的延长线于点F,作$CG⊥DE$于点G,则$∠F=∠CGE=90°$
.∵E是BC的中点,
∴BE=CE.
在$△BFE$和$△CGE$中,$\begin{cases} ∠BEF=∠CEG, \\ ∠F=∠CGE, \\ BE=CE, \end{cases}$
∴$△BFE≌△CGE(AAS)$,
∴$BF=CG$.
在$△ABF$和$△DCG$中,
$\begin{cases} ∠F=∠DGC=90°, \\ ∠BAF=∠CDG, \\ BF=CG, \end{cases}$
∴$△ABF≌△DCG(AAS)$,
∴$AB=CD$.
【知识点】
全等三角形判定，全等三角形性质，中点的性质
【点评】
本题是中点类全等证明的典型题型，解题关键是结合中点条件作双垂线构造全等三角形，将待证相等的线段转化到可证全等的三角形中，这种遇中点构造双垂的方法是解决中点相关全等问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
1.如图，$AB=AE$，$AB ⊥ AE$，$AD=AC$，$AD ⊥ AC$，$M$为$BC$的中点.
(1)求证：$DE=2AM$；
(2)延长$MA$交$DE$于点$F$，若$AF=2$，$AM=4$，求$△ ABC$的面积.
(1)求证：$DE=2AM$；
(2)延长$MA$交$DE$于点$F$，若$AF=2$，$AM=4$，求$△ ABC$的面积.
答案
1.(1)略 (2)8
解析
【分析】
(1) 要证$DE=2AM$，已知$M$是$BC$中点，优先用倍长中线构造全等的思路：延长$AM$到$N$，使$MN=AM$，先证$△ AMC≌△ NMB$，得到$AC=BN$和角的关系推出$∠ ABN=∠ EAD$，再结合已知$AB=AE$、$AD=AC=BN$，证$△ ABN≌△ EAD$，即可得到$AN=DE$，结合$AN=2AM$就能证出结论。
(2) 先由(1)的全等关系推得$AF⊥ DE$，结合$DE=2AM$求出$△ ADE$的面积；再通过全等三角形面积相等、中线分三角形面积相等的关系，得到$△ ABC$和$△ ADE$面积相等，即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 证明：延长$AM$到点$N$，使$MN=AM$，连接$BN$。
$\because M$是$BC$中点，$\therefore BM=CM$。
在$△ AMC$和$△ NMB$中：
$\begin{cases} AM=NM \\ ∠ AMC=∠ NMB \\ CM=BM \end{cases}$
$\therefore △ AMC≌△ NMB(\mathrm{SAS})$
$\therefore AC=BN$，$∠ MAC=∠ N$，
$\therefore AC// BN$，$\therefore ∠ ABN+∠ BAC=180°$。
$\because AB⊥ AE$，$AD⊥ AC$，$\therefore ∠ EAB=∠ CAD=90°$，
$\therefore ∠ EAD+∠ BAC=360°-90°-90°=180°$，
$\therefore ∠ ABN=∠ EAD$。
又$\because AC=AD$，$\therefore BN=AD$。
在$△ ABN$和$△ EAD$中：
$\begin{cases} AB=EA \\ ∠ ABN=∠ EAD \\ BN=AD \end{cases}$
$\therefore △ ABN≌△ EAD(\mathrm{SAS})$
$\therefore AN=DE$，
$\because AN=AM+MN=2AM$，
$\therefore DE=2AM$。
(2) 解：由(1)知$△ ABN≌△ EAD$，$\therefore ∠ BAN=∠ AED$，$S_{△ ABN}=S_{△ ADE}$。
$\because AB⊥ AE$，$\therefore ∠ EAB=90°$，
$\therefore ∠ BAN+∠ EAF=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ AED+∠ EAF=90°$，$\therefore ∠ AFE=90°$，即$AF⊥ DE$。
已知$AM=4$，由(1)得$DE=2AM=8$，又$AF=2$，
$\therefore S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE× AF=\frac{1}{2}×8×2=8$。
由$△ AMC≌△ NMB$得$S_{△ AMC}=S_{△ NMB}$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ AMC}=S_{△ ABM}+S_{△ NMB}=S_{△ ABN}=S_{△ ADE}=8$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
倍长中线构造全等，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是中点类全等问题的典型题型，核心考查遇中点时倍长中线的构造策略，通过全等实现线段和角的转化，再结合垂直关系和面积相等的性质求解，对全等构造的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$DE=2AM$，已知$M$是$BC$中点，优先用倍长中线构造全等的思路：延长$AM$到$N$，使$MN=AM$，先证$△ AMC≌△ NMB$，得到$AC=BN$和角的关系推出$∠ ABN=∠ EAD$，再结合已知$AB=AE$、$AD=AC=BN$，证$△ ABN≌△ EAD$，即可得到$AN=DE$，结合$AN=2AM$就能证出结论。
(2) 先由(1)的全等关系推得$AF⊥ DE$，结合$DE=2AM$求出$△ ADE$的面积；再通过全等三角形面积相等、中线分三角形面积相等的关系，得到$△ ABC$和$△ ADE$面积相等，即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 证明：延长$AM$到点$N$，使$MN=AM$，连接$BN$。
$\because M$是$BC$中点，$\therefore BM=CM$。
在$△ AMC$和$△ NMB$中：
$\begin{cases} AM=NM \\ ∠ AMC=∠ NMB \\ CM=BM \end{cases}$
$\therefore △ AMC≌△ NMB(\mathrm{SAS})$
$\therefore AC=BN$，$∠ MAC=∠ N$，
$\therefore AC// BN$，$\therefore ∠ ABN+∠ BAC=180°$。
$\because AB⊥ AE$，$AD⊥ AC$，$\therefore ∠ EAB=∠ CAD=90°$，
$\therefore ∠ EAD+∠ BAC=360°-90°-90°=180°$，
$\therefore ∠ ABN=∠ EAD$。
又$\because AC=AD$，$\therefore BN=AD$。
在$△ ABN$和$△ EAD$中：
$\begin{cases} AB=EA \\ ∠ ABN=∠ EAD \\ BN=AD \end{cases}$
$\therefore △ ABN≌△ EAD(\mathrm{SAS})$
$\therefore AN=DE$，
$\because AN=AM+MN=2AM$，
$\therefore DE=2AM$。
(2) 解：由(1)知$△ ABN≌△ EAD$，$\therefore ∠ BAN=∠ AED$，$S_{△ ABN}=S_{△ ADE}$。
$\because AB⊥ AE$，$\therefore ∠ EAB=90°$，
$\therefore ∠ BAN+∠ EAF=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ AED+∠ EAF=90°$，$\therefore ∠ AFE=90°$，即$AF⊥ DE$。
已知$AM=4$，由(1)得$DE=2AM=8$，又$AF=2$，
$\therefore S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE× AF=\frac{1}{2}×8×2=8$。
由$△ AMC≌△ NMB$得$S_{△ AMC}=S_{△ NMB}$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ AMC}=S_{△ ABM}+S_{△ NMB}=S_{△ ABN}=S_{△ ADE}=8$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
倍长中线构造全等，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是中点类全等问题的典型题型，核心考查遇中点时倍长中线的构造策略，通过全等实现线段和角的转化，再结合垂直关系和面积相等的性质求解，对全等构造的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
