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11. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(a,0),B(b,0),且a,b满足$|a+2|+(b-4)^2=0$,点C的坐标为(0,3).
(1)求a,b的值及$S_{△ ABC}$.
(2)若点M在x轴上,且$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,试求点M的坐标.
(1)求a,b的值及$S_{△ ABC}$.
(2)若点M在x轴上,且$S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,试求点M的坐标.
答案
11.解:(1)$\because |a+2|+(b-4)^2=0$,
$\therefore a+2=0,b-4=0.$
$\therefore a=-2,b=4. \therefore A(-2,0),B(4,0).$
又$\because C(0,3),\therefore AB=|-2-4|=6,$
$CO=3.$
$\therefore S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}AB · CO=\frac{1}{2} × 6 × 3=9.$
(2)设点$ M $的坐标为$(x,0)$,
则$ AM=|x-(-2)|=|x+2|.$
又$\because S_{三角形ACM}=\frac{1}{3}S_{三角形ABC},$
$\therefore \frac{1}{2}AM · OC=\frac{1}{3} × 9,即\frac{1}{2} × |x+2| × 3=3.$
$\therefore |x+2|=2,即x+2=\pm 2,$
解得$ x=0 $或$ x=-4,$
故点$ M $的坐标为$(0,0)$或$(-4,0).$
$\therefore a+2=0,b-4=0.$
$\therefore a=-2,b=4. \therefore A(-2,0),B(4,0).$
又$\because C(0,3),\therefore AB=|-2-4|=6,$
$CO=3.$
$\therefore S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}AB · CO=\frac{1}{2} × 6 × 3=9.$
(2)设点$ M $的坐标为$(x,0)$,
则$ AM=|x-(-2)|=|x+2|.$
又$\because S_{三角形ACM}=\frac{1}{3}S_{三角形ABC},$
$\therefore \frac{1}{2}AM · OC=\frac{1}{3} × 9,即\frac{1}{2} × |x+2| × 3=3.$
$\therefore |x+2|=2,即x+2=\pm 2,$
解得$ x=0 $或$ x=-4,$
故点$ M $的坐标为$(0,0)$或$(-4,0).$
解析
【分析】
（1）首先根据非负数的性质：绝对值和偶次幂的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此列方程即可求出a、b的值；得到A、B坐标后，AB在x轴上，长度为两点横坐标差的绝对值，AB边上的高是点C到x轴的距离，也就是C点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式就能求出△ABC的面积。
（2）点M在x轴上，因此△ACM的高仍然是OC的长度，底为A、M两点的距离，即两点横坐标差的绝对值，结合两个三角形的面积关系列方程，解绝对值方程即可得到M的坐标，注意绝对值方程有两个解，需考虑M在A点左右两侧两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) $\because |a+2|+(b-4)^2=0$，且绝对值、平方数均为非负数，
$\therefore a+2=0,b-4=0$，
解得$a=-2,b=4$，即$A(-2,0),B(4,0)$。
又$\because C(0,3)$，$\therefore AB=|-2-4|=6$，AB边上的高$CO=3$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CO=\frac{1}{2} × 6 × 3=9$。
(2) 设点$ M $的坐标为$(x,0)$，则$ AM=|x-(-2)|=|x+2|$，
$\because S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，
$\therefore \frac{1}{2}AM · OC=\frac{1}{3} × 9$，
代入得$\frac{1}{2} × |x+2| × 3=3$，
化简得$|x+2|=2$，即$x+2=\pm 2$，
解得$ x=0 $或$ x=-4$，
故点$ M $的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=4$，$S_{△ ABC}=9$；
(2) 点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$
【知识点】
非负数的性质，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了非负性的应用、平面直角坐标系中三角形面积的求解以及绝对值方程的运算，解题时要注意结合点的位置特征分类讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据非负数的性质：绝对值和偶次幂的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此列方程即可求出a、b的值；得到A、B坐标后，AB在x轴上，长度为两点横坐标差的绝对值，AB边上的高是点C到x轴的距离，也就是C点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式就能求出△ABC的面积。
（2）点M在x轴上，因此△ACM的高仍然是OC的长度，底为A、M两点的距离，即两点横坐标差的绝对值，结合两个三角形的面积关系列方程，解绝对值方程即可得到M的坐标，注意绝对值方程有两个解，需考虑M在A点左右两侧两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) $\because |a+2|+(b-4)^2=0$，且绝对值、平方数均为非负数，
$\therefore a+2=0,b-4=0$，
解得$a=-2,b=4$，即$A(-2,0),B(4,0)$。
又$\because C(0,3)$，$\therefore AB=|-2-4|=6$，AB边上的高$CO=3$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CO=\frac{1}{2} × 6 × 3=9$。
(2) 设点$ M $的坐标为$(x,0)$，则$ AM=|x-(-2)|=|x+2|$，
$\because S_{△ ACM}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，
$\therefore \frac{1}{2}AM · OC=\frac{1}{3} × 9$，
代入得$\frac{1}{2} × |x+2| × 3=3$，
化简得$|x+2|=2$，即$x+2=\pm 2$，
解得$ x=0 $或$ x=-4$，
故点$ M $的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=4$，$S_{△ ABC}=9$；
(2) 点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$
【知识点】
非负数的性质，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了非负性的应用、平面直角坐标系中三角形面积的求解以及绝对值方程的运算，解题时要注意结合点的位置特征分类讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
12.数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如$a+bi$($a$，$b$为实数)的数叫作复数，用$z=a+bi$表示，任何一个复数$z=a+bi$在平面直角坐标系中都可以用有序数对$Z(a,b)$表示.如$z=1+2i$表示为$Z(1,2)$，则$z=2-i$可表示为 （
A.$Z(2,0)$
B.$Z(2,-1)$
C.$Z(2,1)$
D.$Z(-1,2)$
B
）A.$Z(2,0)$
B.$Z(2,-1)$
C.$Z(2,1)$
D.$Z(-1,2)$
答案
12.B
解析
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的新对应规则：形如$z=a+bi$的复数，对应有序数对$Z(a,b)$，其中第一个数是复数里不带$i$的实数部分$a$，第二个数是复数里$i$前面的系数$b$。接下来只需要把题干给出的$z=2-i$整理成$a+bi$的标准形式，找到对应的$a$和$b$，就能得出对应的有序数对。
【解析】
根据题目给出的对应规则：复数$z=a+bi$（$a$、$b$为实数）对应有序数对$Z(a,b)$。
先将$z=2-i$变形为标准的$a+bi$形式：$z=2+(-1)i$，
对比可得$a=2$，$b=-1$，
因此$z=2-i$对应的有序数对为$Z(2,-1)$。
【答案】
B
【知识点】
新定义理解、有序数对
【点评】
本题是基础的新定义类题目，解题核心是准确理解题目给出的对应规则，找准复数中对应的$a$、$b$的数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先要读懂题目给出的新对应规则：形如$z=a+bi$的复数，对应有序数对$Z(a,b)$，其中第一个数是复数里不带$i$的实数部分$a$，第二个数是复数里$i$前面的系数$b$。接下来只需要把题干给出的$z=2-i$整理成$a+bi$的标准形式，找到对应的$a$和$b$，就能得出对应的有序数对。
【解析】
根据题目给出的对应规则：复数$z=a+bi$（$a$、$b$为实数）对应有序数对$Z(a,b)$。
先将$z=2-i$变形为标准的$a+bi$形式：$z=2+(-1)i$，
对比可得$a=2$，$b=-1$，
因此$z=2-i$对应的有序数对为$Z(2,-1)$。
【答案】
B
【知识点】
新定义理解、有序数对
【点评】
本题是基础的新定义类题目，解题核心是准确理解题目给出的对应规则，找准复数中对应的$a$、$b$的数值即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2)$,把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处,并按$A→B→C→D→A→…$的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线的另一端所在位置的点的坐标是
(-1,-2)
.答案
13.$(-1,-2)$
解析
【分析】
要确定细线另一端的位置，首先需要计算四边形ABCD的周长，明确绕四边形一圈所需细线长度（即周期长度）；再用细线总长度除以周长，得到绕完整圈数和剩余细线长度；最后按A→B→C→D的顺序，根据剩余长度判断最终停留的点即可。
【解析】
第一步：计算四边形ABCD各边长度
∵ 点A(1,1)，B(-1,1)，两点纵坐标相同，
∴ AB的长度为：$1 - (-1) = 2$；
∵ 点B(-1,1)，C(-1,-2)，两点横坐标相同，
∴ BC的长度为：$1 - (-2) = 3$；
∵ 点C(-1,-2)，D(1,-2)，两点纵坐标相同，
∴ CD的长度为：$1 - (-1) = 2$；
∵ 点D(1,-2)，A(1,1)，两点横坐标相同，
∴ DA的长度为：$1 - (-2) = 3$；
∴ 四边形ABCD的周长为：$2 + 3 + 2 + 3 = 10$，即绕四边形一圈需要10个单位长度的细线。
第二步：计算绕圈的剩余长度
$2025 ÷ 10 = 202······5$，即细线绕完202整圈后，还剩余5个单位长度。
第三步：判断剩余长度对应的位置
从A点出发沿A→B→C→D走：走AB段用掉2个单位，剩余$5-2=3$个单位，刚好走完BC段（BC长度为3），此时到达点C，点C坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
$(-1,-2)$
【知识点】
平行于坐标轴的两点距离计算，周期规律探究，点的坐标确定
【点评】
本题将平面直角坐标系的基础计算和周期问题结合，解题核心是先确定绕四边形一周的长度作为周期，再通过余数定位最终位置，计算时要注意各边长度的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
要确定细线另一端的位置，首先需要计算四边形ABCD的周长，明确绕四边形一圈所需细线长度（即周期长度）；再用细线总长度除以周长，得到绕完整圈数和剩余细线长度；最后按A→B→C→D的顺序，根据剩余长度判断最终停留的点即可。
【解析】
第一步：计算四边形ABCD各边长度
∵ 点A(1,1)，B(-1,1)，两点纵坐标相同，
∴ AB的长度为：$1 - (-1) = 2$；
∵ 点B(-1,1)，C(-1,-2)，两点横坐标相同，
∴ BC的长度为：$1 - (-2) = 3$；
∵ 点C(-1,-2)，D(1,-2)，两点纵坐标相同，
∴ CD的长度为：$1 - (-1) = 2$；
∵ 点D(1,-2)，A(1,1)，两点横坐标相同，
∴ DA的长度为：$1 - (-2) = 3$；
∴ 四边形ABCD的周长为：$2 + 3 + 2 + 3 = 10$，即绕四边形一圈需要10个单位长度的细线。
第二步：计算绕圈的剩余长度
$2025 ÷ 10 = 202······5$，即细线绕完202整圈后，还剩余5个单位长度。
第三步：判断剩余长度对应的位置
从A点出发沿A→B→C→D走：走AB段用掉2个单位，剩余$5-2=3$个单位，刚好走完BC段（BC长度为3），此时到达点C，点C坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
$(-1,-2)$
【知识点】
平行于坐标轴的两点距离计算，周期规律探究，点的坐标确定
【点评】
本题将平面直角坐标系的基础计算和周期问题结合，解题核心是先确定绕四边形一周的长度作为周期，再通过余数定位最终位置，计算时要注意各边长度的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
14.如图,一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动,它从A处出发去看望B,C,D处的其他甲虫.规定:向上、向右走为正,向下、向左走为负.例如,从A到B记为A→B(+1,+4),从B到A记为B→A(-1,-4),其中第一个数的符号表示左右方向,第二个数的符号表示上下方向.
(1)图中B→C(
(2)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D,请计算该甲虫走过的路程.
(3)若图中另有两个格点M,N,且M→A(3−a,b−4),M→N(5−a,b−2),则从N→A应记作什么?
(1)图中B→C(
+2
,0
),C→D
(+1,-2
).(2)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D,请计算该甲虫走过的路程.
(3)若图中另有两个格点M,N,且M→A(3−a,b−4),M→N(5−a,b−2),则从N→A应记作什么?
答案
14.解:(1)因为向上向右走为正,向下向左走为负,
所以图中$ B→C(+2,0),C→D(+1,-2).$
(2)甲虫走过的路程为$ 1+4+2+1+2=10.$
(3)因为$ M→A(3-a,b-4),M→N(5-a,b-2),$
所以$ 5-a-(3-a)=2,$
$b-2-(b-4)=2,$
所以从点$ A $向右走 2 个格点,向上走 2 个格点到点$ N,$
所以从$ N→A $应记为$(-2,-2).$
所以图中$ B→C(+2,0),C→D(+1,-2).$
(2)甲虫走过的路程为$ 1+4+2+1+2=10.$
(3)因为$ M→A(3-a,b-4),M→N(5-a,b-2),$
所以$ 5-a-(3-a)=2,$
$b-2-(b-4)=2,$
所以从点$ A $向右走 2 个格点,向上走 2 个格点到点$ N,$
所以从$ N→A $应记为$(-2,-2).$
解析
【分析】
1. 解决第(1)问：先明确题目规则：第一个数对应左右方向，右正左负；第二个数对应上下方向，上正下负。观察B到C的移动：横向向右走2格，纵向无移动，即可写出对应数对；再根据给出的数对(+1,-2)，对应向右1格、向下2格，找到C移动后的终点即可。
2. 解决第(2)问：路程是所有移动的长度之和，与方向无关，把每一段移动的横向、纵向移动的绝对值相加即可。
3. 解决第(3)问：对比M→A和M→N的数对，用M→N的横、纵向数值分别减去M→A的横、纵向数值，就能得到A到N的移动规律，反过来就是N到A的移动，符号取反即可。
【解析】
(1) 根据规定，向右为正、向上为正，第一个数对应左右方向，第二个数对应上下方向。
B到C：向右走2格，上下方向没有移动，所以记作$\boldsymbol{(+2,0)}$；
数对$(+1,-2)$表示向右走1格、向下走2格，观察可知从C向右1格、向下2格到达D，所以是$\boldsymbol{C→D}$，第二个空填$\boldsymbol{-2}$。
(2) 路程为各段移动长度的和，不考虑方向：
A→B的移动长度：$1+4=5$
B→C的移动长度：$2+0=2$
C→D的移动长度：$1+2=3$
总路程：$5+2+3=10$
(3) 计算A和N的相对位置：
横向差值：$(5-a)-(3-a)=2$，说明从A向右走2格到达N的横向位置
纵向差值：$(b-2)-(b-4)=2$，说明从A向上走2格到达N的纵向位置
因此N到A需要向左走2格、向下走2格，记作$(-2,-2)$。
【答案】
(1) $+2$，$0$；$D$，$-2$
(2) $10$
(3) $(-2,-2)$
【知识点】
正负数的实际应用，坐标表示位置，路程计算
【点评】
本题属于新定义类应用题，解题的关键是准确理解题目中正负方向对应的移动规则，注意路程计算不需要考虑方向，仅计算移动的长度之和，第三问通过对比两个同起点的移动数对即可得出两点的相对位置，整体难度不大，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
1. 解决第(1)问：先明确题目规则：第一个数对应左右方向，右正左负；第二个数对应上下方向，上正下负。观察B到C的移动：横向向右走2格，纵向无移动，即可写出对应数对；再根据给出的数对(+1,-2)，对应向右1格、向下2格，找到C移动后的终点即可。
2. 解决第(2)问：路程是所有移动的长度之和，与方向无关，把每一段移动的横向、纵向移动的绝对值相加即可。
3. 解决第(3)问：对比M→A和M→N的数对，用M→N的横、纵向数值分别减去M→A的横、纵向数值，就能得到A到N的移动规律，反过来就是N到A的移动，符号取反即可。
【解析】
(1) 根据规定，向右为正、向上为正，第一个数对应左右方向，第二个数对应上下方向。
B到C：向右走2格，上下方向没有移动，所以记作$\boldsymbol{(+2,0)}$；
数对$(+1,-2)$表示向右走1格、向下走2格，观察可知从C向右1格、向下2格到达D，所以是$\boldsymbol{C→D}$，第二个空填$\boldsymbol{-2}$。
(2) 路程为各段移动长度的和，不考虑方向：
A→B的移动长度：$1+4=5$
B→C的移动长度：$2+0=2$
C→D的移动长度：$1+2=3$
总路程：$5+2+3=10$
(3) 计算A和N的相对位置：
横向差值：$(5-a)-(3-a)=2$，说明从A向右走2格到达N的横向位置
纵向差值：$(b-2)-(b-4)=2$，说明从A向上走2格到达N的纵向位置
因此N到A需要向左走2格、向下走2格，记作$(-2,-2)$。
【答案】
(1) $+2$，$0$；$D$，$-2$
(2) $10$
(3) $(-2,-2)$
【知识点】
正负数的实际应用，坐标表示位置，路程计算
【点评】
本题属于新定义类应用题，解题的关键是准确理解题目中正负方向对应的移动规则，注意路程计算不需要考虑方向，仅计算移动的长度之和，第三问通过对比两个同起点的移动数对即可得出两点的相对位置，整体难度不大，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
