登录
1.「2025河南中考」一元二次方程$x^2 -2x=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
由题意得Δ=(-2)²-4×1×0=4＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况，优先使用根的判别式$\Delta$求解。首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从题目给出的方程中提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算，最后根据$\Delta$的取值范围对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题方程已经是一般形式，直接提取系数计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -2x=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=0$。
代入根的判别式公式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4$
$\because 4＞0$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式应用，一元二次方程基本概念
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，核心考查根的判别式的使用方法，只要能准确提取方程各项系数、正确计算判别式即可快速得出答案，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
判断一元二次方程根的情况，优先使用根的判别式$\Delta$求解。首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先从题目给出的方程中提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算，最后根据$\Delta$的取值范围对应判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。本题方程已经是一般形式，直接提取系数计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -2x=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=0$。
代入根的判别式公式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4$
$\because 4＞0$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式应用，一元二次方程基本概念
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，核心考查根的判别式的使用方法，只要能准确提取方程各项系数、正确计算判别式即可快速得出答案，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
2.「2025安徽中考」下列方程中，有两个不相等的实数根的是（
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
D
）A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
答案
A.
∵Δ=0²-4×1×1＜0,
∴方程无实数根;B.
∵Δ=(-2)²-4×1×1=0,
∴方程有两个相等的实数根;C.
∵Δ=1²-4×1×1＜0,
∴方程无实数根;D.
∵Δ=1²-4×1×(-1)=5＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选D.
∵Δ=0²-4×1×1＜0,
∴方程无实数根;B.
∵Δ=(-2)²-4×1×1=0,
∴方程有两个相等的实数根;C.
∵Δ=1²-4×1×1＜0,
∴方程无实数根;D.
∵Δ=1²-4×1×(-1)=5＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选D.
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题时先确定每个选项对应方程的$a、b、c$的值，分别计算$\Delta$后筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：
A选项：方程$x^2+1=0$中，$a=1，b=0，c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合要求；
B选项：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1，b=-2，c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
C选项：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1，b=1，c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，不符合要求；
D选项：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1，b=1，c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.根的情况与判别式的关系
【点评】
本题属于基础考察题，核心考查根的判别式的应用，只要熟练掌握判别式的计算规则和不同取值对应的根的情况，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需用到一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题时先确定每个选项对应方程的$a、b、c$的值，分别计算$\Delta$后筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：
A选项：方程$x^2+1=0$中，$a=1，b=0，c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合要求；
B选项：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1，b=-2，c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
C选项：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1，b=1，c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，不符合要求；
D选项：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1，b=1，c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.根的情况与判别式的关系
【点评】
本题属于基础考察题，核心考查根的判别式的应用，只要熟练掌握判别式的计算规则和不同取值对应的根的情况，就能快速求解。
【难度系数】
0.85
3.「2025山东潍坊中考」若一元二次方程$x^2 -2x +c=0$有两个相等的实根，则$c$的值为（
A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
D
）A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
答案
∵一元二次方程$x^2-2x+c=0$有两个相等的实根,
∴Δ=(-2)²-4c=0,解得c=1.故选D.
解析
【分析】
题目给出一元二次方程有两个相等的实数根，我们可以利用一元二次方程根的判别式的性质解题：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。首先确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项的取值，代入Δ=0的公式即可得到关于c的一元一次方程，求解就能得到c的值。
【解析】
∵一元二次方程$x^2-2x+c=0$有两个相等的实根，
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，
在方程$x^2-2x+c=0$中，$a=1$，$b=-2$，常数项为$c$，代入得：
$\Delta=(-2)^2-4×1× c=0$，
化简得$4-4c=0$，解得$c=1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，牢记判别式的公式和不同取值对应的根的情况，代入系数计算即可快速解题。
【难度系数】
0.9
题目给出一元二次方程有两个相等的实数根，我们可以利用一元二次方程根的判别式的性质解题：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。首先确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项的取值，代入Δ=0的公式即可得到关于c的一元一次方程，求解就能得到c的值。
【解析】
∵一元二次方程$x^2-2x+c=0$有两个相等的实根，
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac=0$，
在方程$x^2-2x+c=0$中，$a=1$，$b=-2$，常数项为$c$，代入得：
$\Delta=(-2)^2-4×1× c=0$，
化简得$4-4c=0$，解得$c=1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，牢记判别式的公式和不同取值对应的根的情况，代入系数计算即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 「2026江苏无锡期末」若关于$x$的方程$kx^2 - 2x + 3 = 0$有实数根，则实数$k$的取值范围为（
A.$k ≤ \frac{1}{3}$
B.$0 ＜ k ≤ \frac{1}{3}$
C.$k ≤ \frac{1}{3}$且$k ≠ 0$
D.$k ≥ 3$
A
）A.$k ≤ \frac{1}{3}$
B.$0 ＜ k ≤ \frac{1}{3}$
C.$k ≤ \frac{1}{3}$且$k ≠ 0$
D.$k ≥ 3$
答案
①当k=0时,方程为-2x+3=0,解得$x=\frac{3}{2}$,符合题意;②当k≠0时,方程为一元二次方程,要使方程有实数根,则Δ=(-2)²-4k×3=4-12k≥0,解得$k≤\frac{1}{3}$.综上所述,$k≤\frac{1}{3}$.故选A.
易错警示 题目中没有明确指出原方程是一元二次方程,故进行分类讨论,k=0的情况也符合题意.
易错警示 题目中没有明确指出原方程是一元二次方程,故进行分类讨论,k=0的情况也符合题意.
解析
【分析】
首先，题目仅说明方程有实数根，未明确方程是一元二次方程，因此需要分类讨论方程的类型：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接求解判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，此时根据一元二次方程有实根的条件：判别式Δ≥0，计算k的取值范围，最后合并两种情况的结果即可得到最终k的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为$-2x+3=0$，这是一元一次方程，解得$x=\frac{3}{2}$，有实数根，符合题意；
2. 当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k$，$b=-2$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × k × 3 = 4 - 12k ≥ 0$
解得$k ≤ \frac{1}{3}$，此时$k≠0$。
综合两种情况，实数$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{3}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式、分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是注意题干未明确方程类型，不能默认方程为一元二次方程忽略k=0的情况，遇到含参数的方程有实根类问题，要先判断方程类型，分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先，题目仅说明方程有实数根，未明确方程是一元二次方程，因此需要分类讨论方程的类型：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接求解判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，此时根据一元二次方程有实根的条件：判别式Δ≥0，计算k的取值范围，最后合并两种情况的结果即可得到最终k的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为$-2x+3=0$，这是一元一次方程，解得$x=\frac{3}{2}$，有实数根，符合题意；
2. 当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k$，$b=-2$，$c=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × k × 3 = 4 - 12k ≥ 0$
解得$k ≤ \frac{1}{3}$，此时$k≠0$。
综合两种情况，实数$k$的取值范围是$k ≤ \frac{1}{3}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式、分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是注意题干未明确方程类型，不能默认方程为一元二次方程忽略k=0的情况，遇到含参数的方程有实根类问题，要先判断方程类型，分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
5.「2026吉林长春期末」已知关于x的方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$.
(1)若方程的一个根为0,则$m=$
(2)求证:无论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
(1)若方程的一个根为0,则$m=$
2
.(2)求证:无论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
答案
(1)将x=0代入$x^2+mx+m-2=0$,得m-2=0,解得m=2.故答案为2.
(2)证明:由$x^2+mx+m-2=0$可得Δ=$m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4$,
∵$(m-2)^2≥0$,
∴$(m-2)^2+4＞0$,即Δ＞0,
∴无论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
(2)证明:由$x^2+mx+m-2=0$可得Δ=$m^2-4(m-2)=(m-2)^2+4$,
∵$(m-2)^2≥0$,
∴$(m-2)^2+4＞0$,即Δ＞0,
∴无论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
(1)根据方程根的定义，若一个数是方程的根，将其代入方程可使等式成立，因此把x=0代入已知方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解就能得出m的值。
(2)要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式Δ恒大于0即可。先写出该方程判别式的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性判断Δ的正负，即可完成证明。
【解析】
(1)将x=0代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，得：
$0 + 0 + m - 2 = 0$
解得$m=2$。
(2)证明：对于一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m - 2)$
化简得$\Delta = m^2 - 4m + 8$
配方可得$\Delta = (m - 2)^2 + 4$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(m - 2)^2 ≥ 0$
∴ $(m - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$
∴ 无论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) 无论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根，证明如上。
【知识点】
方程根的定义；一元二次方程根的判别式；配方法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程基础知识点的应用，第一小问为基础送分题，直接利用根的定义代入即可求解；第二小问解题思路固定，只要掌握根的判别式的用法，结合平方的非负性就能完成证明，整体考查方向明确。
【难度系数】
0.85
(1)根据方程根的定义，若一个数是方程的根，将其代入方程可使等式成立，因此把x=0代入已知方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解就能得出m的值。
(2)要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式Δ恒大于0即可。先写出该方程判别式的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性判断Δ的正负，即可完成证明。
【解析】
(1)将x=0代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，得：
$0 + 0 + m - 2 = 0$
解得$m=2$。
(2)证明：对于一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m - 2)$
化简得$\Delta = m^2 - 4m + 8$
配方可得$\Delta = (m - 2)^2 + 4$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$(m - 2)^2 ≥ 0$
∴ $(m - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$
∴ 无论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) 无论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根，证明如上。
【知识点】
方程根的定义；一元二次方程根的判别式；配方法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程基础知识点的应用，第一小问为基础送分题，直接利用根的定义代入即可求解；第二小问解题思路固定，只要掌握根的判别式的用法，结合平方的非负性就能完成证明，整体考查方向明确。
【难度系数】
0.85
6.「2026河南新乡长垣期中」若一个一元二次方程的根为 
，则该一元二次方程为（
A.$-9x^2+6x+2=0$
B.$-6x^2+9x+4=0$
C.$6x^2-9x+2=0$
D.$6x^2-9x-2=0$
，则该一元二次方程为（C
）A.$-9x^2+6x+2=0$
B.$-6x^2+9x+4=0$
C.$6x^2-9x+2=0$
D.$6x^2-9x-2=0$
答案
由$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4×6×2}}{2×6}$可知a=6,b=-9,c=2,则该一元二次方程为$6x^2-9x+2=0$.故选C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求根公式结构：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需要将题干给出的根的表达式与求根公式逐一对应，确定系数$a、b、c$的取值，再代入一元二次方程的一般形式，即可匹配到正确选项。
【解析】
一元二次方程的求根公式为：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}（a≠0，b^2-4ac≥0）$
将题干给出的根的表达式$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4×6×2}}{2×6}$与求根公式对比：
1. 分母$2a=2×6$，可得$a=6$；
2. 分子的第一项$-b=-(-9)$，可得$b=-9$；
3. 根号下的$4ac=4×6×2$，代入$a=6$可得$c=2$。
将$a=6、b=-9、c=2$代入一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，得到方程：$6x^2-9x+2=0$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题，核心考查对一元二次方程求根公式的掌握，解题的关键是准确识别求根公式各部分对应的系数，注意符号不要混淆，熟练掌握公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求根公式结构：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需要将题干给出的根的表达式与求根公式逐一对应，确定系数$a、b、c$的取值，再代入一元二次方程的一般形式，即可匹配到正确选项。
【解析】
一元二次方程的求根公式为：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}（a≠0，b^2-4ac≥0）$
将题干给出的根的表达式$x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4×6×2}}{2×6}$与求根公式对比：
1. 分母$2a=2×6$，可得$a=6$；
2. 分子的第一项$-b=-(-9)$，可得$b=-9$；
3. 根号下的$4ac=4×6×2$，代入$a=6$可得$c=2$。
将$a=6、b=-9、c=2$代入一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，得到方程：$6x^2-9x+2=0$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题，核心考查对一元二次方程求根公式的掌握，解题的关键是准确识别求根公式各部分对应的系数，注意符号不要混淆，熟练掌握公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7.用公式法解方程$(x+1)(x-2)=1$，化为一般形式为
$x^2-x-3=0$
，其中$b^2-4ac=$13
，方程的解为$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
。答案
原方程整理可得$x^2-x-3=0$,
∵a=1,b=-1,c=-3,
∴Δ=$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=13$,
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1±\sqrt{13}}{2}$,
∴$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$.
∵a=1,b=-1,c=-3,
∴Δ=$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=13$,
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1±\sqrt{13}}{2}$,
∴$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$.
解析
【分析】
要解这道题，需按照公式法解一元二次方程的固定步骤思考：首先要把给定的方程整理为$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的一般形式，才能准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$；接着将$a、b、c$的值代入判别式$\Delta=b^2-4ac$计算判别式的结果；最后代入求根公式就能得到方程的解。注意展开括号、移项时要注意符号，确定$b、c$时要带上本身的正负号，避免计算出错。
【解析】
1. 化方程为一般形式：
先展开左侧乘积：$(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$，
原方程可写为$x^2-x-2=1$，移项合并同类项得：$x^2-x-3=0$。
2. 确定系数：对比一元二次方程一般形式，得$a=1，b=-1，c=-3$。
3. 计算判别式：
$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=1+12=13$。
4. 代入求根公式求解：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2×1}$，
即方程的解为$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}，x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x^2-x-3=0$；$13$；$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}，x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题的关键是先正确将方程整理为一般形式，确定系数时要格外注意符号，避免因符号错误导致后续判别式、求根的计算失误。
【难度系数】
0.75
要解这道题，需按照公式法解一元二次方程的固定步骤思考：首先要把给定的方程整理为$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的一般形式，才能准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$；接着将$a、b、c$的值代入判别式$\Delta=b^2-4ac$计算判别式的结果；最后代入求根公式就能得到方程的解。注意展开括号、移项时要注意符号，确定$b、c$时要带上本身的正负号，避免计算出错。
【解析】
1. 化方程为一般形式：
先展开左侧乘积：$(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$，
原方程可写为$x^2-x-2=1$，移项合并同类项得：$x^2-x-3=0$。
2. 确定系数：对比一元二次方程一般形式，得$a=1，b=-1，c=-3$。
3. 计算判别式：
$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-3)=1+12=13$。
4. 代入求根公式求解：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2×1}$，
即方程的解为$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}，x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x^2-x-3=0$；$13$；$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}，x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
一元二次方程一般式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题的关键是先正确将方程整理为一般形式，确定系数时要格外注意符号，避免因符号错误导致后续判别式、求根的计算失误。
【难度系数】
0.75
8.解方程$x^2=3x+2$时,有一位同学解答如下:
$\because a=1,b=3,c=2,\therefore b^2-4ac=3^2-4×1×2=1$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm1}{2}$,
$\therefore x_1=-1,x_2=-2$.
请你分析该同学的解答有无错误,若有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.
$\because a=1,b=3,c=2,\therefore b^2-4ac=3^2-4×1×2=1$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm1}{2}$,
$\therefore x_1=-1,x_2=-2$.
请你分析该同学的解答有无错误,若有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.
答案
有错误.错误之处:没有先把方程化成一般形式.
正确解法:方程可变形为$x^2-3x-2=0$,
∴a=1,b=-3,c=-2,
∴$b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=17＞0$,
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3±\sqrt{17}}{2}$,
∴$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.
正确解法:方程可变形为$x^2-3x-2=0$,
∴a=1,b=-3,c=-2,
∴$b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=17＞0$,
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3±\sqrt{17}}{2}$,
∴$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的前提是先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$。该同学的错误出在第一步，未将原方程移项化为一般形式，直接把方程右侧的$3x$、$2$当作一般式里的$b$、$c$，导致$b$、$c$符号错误，后续计算结果自然错误。解题时应先移项整理出一般形式，再正确提取系数，代入判别式、求根公式计算即可。
【解析】
该同学的解答有错误。
错误之处：没有先把原方程化成一元二次方程的一般形式，就直接确定$a$、$b$、$c$的取值，导致$b$、$c$符号错误。
正确解题过程：
1. 移项将方程化为一般形式：$x^2-3x-2=0$
2. 确定各项系数：$\because a=1,b=-3,c=-2$
3. 计算根的判别式：$\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=9+8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根
4. 代入求根公式计算：$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$
5. 写出方程的解：$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
【答案】
有错误，错误之处为没有先把方程化成一般形式。
方程的解为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础易错题，重点考查解题步骤的规范性，易错点是忽略先整理方程为一般形式的步骤，直接提取系数导致符号出错，解题时需严格遵循公式法的求解流程，先化一般式再确定各项系数。
【难度系数】
0.65
使用公式法解一元二次方程的前提是先把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$。该同学的错误出在第一步，未将原方程移项化为一般形式，直接把方程右侧的$3x$、$2$当作一般式里的$b$、$c$，导致$b$、$c$符号错误，后续计算结果自然错误。解题时应先移项整理出一般形式，再正确提取系数，代入判别式、求根公式计算即可。
【解析】
该同学的解答有错误。
错误之处：没有先把原方程化成一元二次方程的一般形式，就直接确定$a$、$b$、$c$的取值，导致$b$、$c$符号错误。
正确解题过程：
1. 移项将方程化为一般形式：$x^2-3x-2=0$
2. 确定各项系数：$\because a=1,b=-3,c=-2$
3. 计算根的判别式：$\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=9+8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根
4. 代入求根公式计算：$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$
5. 写出方程的解：$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
【答案】
有错误，错误之处为没有先把方程化成一般形式。
方程的解为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础易错题，重点考查解题步骤的规范性，易错点是忽略先整理方程为一般形式的步骤，直接提取系数导致符号出错，解题时需严格遵循公式法的求解流程，先化一般式再确定各项系数。
【难度系数】
0.65
9. 学科特色教材变式 用公式法解方程：
(1)$x^2 -7x -18 = 0$.
(2)$2x^2 -7x +7 =0$.
(3)$4x^2 +4x -1 = -10 -8x$.
(4)$2x(x+3)=x^2 +2$.
(1)$x^2 -7x -18 = 0$.
(2)$2x^2 -7x +7 =0$.
(3)$4x^2 +4x -1 = -10 -8x$.
(4)$2x(x+3)=x^2 +2$.
答案
(1)
∵a=1,b=-7,c=-18,
∴Δ=$(-7)^2-4×1×(-18)=121＞0$,
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)±\sqrt{121}}{2×1}=\frac{7±11}{2}$,即$x_1=9,x_2=-2$.
(2)
∵a=2,b=-7,c=7,
∴Δ=$(-7)^2-4×2×7=-7＜0$,
∴方程没有实数根.
(3)方程整理得$4x^2+12x+9=0$,
∴a=4,b=12,c=9,
∴Δ=$12^2-4×4×9=0$,
∴$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2×4}=-\frac{3}{2}$.
(4)方程整理得$x^2+6x-2=0$,
∴a=1,b=6,c=-2,
∴Δ=$6^2-4×1×(-2)=44＞0$,
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{44}}{2}=-3±\sqrt{11}$,
∴$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$.
∵a=1,b=-7,c=-18,
∴Δ=$(-7)^2-4×1×(-18)=121＞0$,
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)±\sqrt{121}}{2×1}=\frac{7±11}{2}$,即$x_1=9,x_2=-2$.
(2)
∵a=2,b=-7,c=7,
∴Δ=$(-7)^2-4×2×7=-7＜0$,
∴方程没有实数根.
(3)方程整理得$4x^2+12x+9=0$,
∴a=4,b=12,c=9,
∴Δ=$12^2-4×4×9=0$,
∴$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2×4}=-\frac{3}{2}$.
(4)方程整理得$x^2+6x-2=0$,
∴a=1,b=6,c=-2,
∴Δ=$6^2-4×1×(-2)=44＞0$,
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{44}}{2}=-3±\sqrt{11}$,
∴$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定解题步骤：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；②对应确定系数$a、b、c$的值，注意要保留系数本身的符号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；④若$\Delta≥0$，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，结果需化为最简形式。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -7x -18 = 0$，
∵$a=1,b=-7,c=-18$，
∴$\Delta=(-7)^2-4×1×(-18)=121＞0$，
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)±\sqrt{121}}{2×1}=\frac{7±11}{2}$，即$x_1=\frac{7+11}{2}=9,x_2=\frac{7-11}{2}=-2$。
(2) 对于方程$2x^2 -7x +7 =0$，
∵$a=2,b=-7,c=7$，
∴$\Delta=(-7)^2-4×2×7=-7＜0$，
∴方程没有实数根。
(3) 整理方程$4x^2 +4x -1 = -10 -8x$，移项合并同类项得$4x^2+12x+9=0$，
∴$a=4,b=12,c=9$，
∴$\Delta=12^2-4×4×9=0$，
∴$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2×4}=-\frac{3}{2}$。
(4) 整理方程$2x(x+3)=x^2 +2$，去括号、移项合并同类项得$x^2+6x-2=0$，
∴$a=1,b=6,c=-2$，
∴$\Delta=6^2-4×1×(-2)=44＞0$，
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{44}}{2}=-3±\sqrt{11}$，
∴$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$。
【答案】
(1)$x_1=9,x_2=-2$
(2)方程没有实数根
(3)$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
(4)$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了一元二次方程根的三种不同情况，解题时需注意先将非标准形式的方程化简为一般形式，确定系数时要留意符号，计算判别式和根时需细心，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定解题步骤：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；②对应确定系数$a、b、c$的值，注意要保留系数本身的符号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；④若$\Delta≥0$，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，结果需化为最简形式。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -7x -18 = 0$，
∵$a=1,b=-7,c=-18$，
∴$\Delta=(-7)^2-4×1×(-18)=121＞0$，
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)±\sqrt{121}}{2×1}=\frac{7±11}{2}$，即$x_1=\frac{7+11}{2}=9,x_2=\frac{7-11}{2}=-2$。
(2) 对于方程$2x^2 -7x +7 =0$，
∵$a=2,b=-7,c=7$，
∴$\Delta=(-7)^2-4×2×7=-7＜0$，
∴方程没有实数根。
(3) 整理方程$4x^2 +4x -1 = -10 -8x$，移项合并同类项得$4x^2+12x+9=0$，
∴$a=4,b=12,c=9$，
∴$\Delta=12^2-4×4×9=0$，
∴$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2×4}=-\frac{3}{2}$。
(4) 整理方程$2x(x+3)=x^2 +2$，去括号、移项合并同类项得$x^2+6x-2=0$，
∴$a=1,b=6,c=-2$，
∴$\Delta=6^2-4×1×(-2)=44＞0$，
∴$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{44}}{2}=-3±\sqrt{11}$，
∴$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$。
【答案】
(1)$x_1=9,x_2=-2$
(2)方程没有实数根
(3)$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
(4)$x_1=-3+\sqrt{11},x_2=-3-\sqrt{11}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了一元二次方程根的三种不同情况，解题时需注意先将非标准形式的方程化简为一般形式，确定系数时要留意符号，计算判别式和根时需细心，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
