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11.「2025江苏南京中考，★☆」设方程$x^2 + 2x -9=0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间，则$m=$
2
.答案
11.答案 2
解析 $\because x^2+2x-9=0$,$\therefore (x+1)^2=10$,$\therefore x+1=\pm\sqrt{10}$,解得$x_1=-1-\sqrt{10}$,$x_2=-1+\sqrt{10}$,$\because$ 方程$x^2 + 2x -9=0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间,$\therefore m＜-1+\sqrt{10}＜m+1$,$\because 9＜10＜16$,$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$,$\therefore 2＜-1+\sqrt{10}＜3$,$\therefore m=2$.
解析 $\because x^2+2x-9=0$,$\therefore (x+1)^2=10$,$\therefore x+1=\pm\sqrt{10}$,解得$x_1=-1-\sqrt{10}$,$x_2=-1+\sqrt{10}$,$\because$ 方程$x^2 + 2x -9=0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间,$\therefore m＜-1+\sqrt{10}＜m+1$,$\because 9＜10＜16$,$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$,$\therefore 2＜-1+\sqrt{10}＜3$,$\therefore m=2$.
解析
【分析】
要解决该问题，首先需用配方法求解给定的一元二次方程，筛选出方程的正根；再估算正根中无理数部分的取值范围，进而推导正根所在的整数区间，最终确定整数m的值。
【解析】
用配方法解方程$x^2 + 2x -9=0$：
移项得$x^2+2x=9$，
配方得$x^2+2x+1=9+1$，即$(x+1)^2=10$，
开平方得$x+1=\pm\sqrt{10}$，
解得$x_1=-1-\sqrt{10}$，$x_2=-1+\sqrt{10}$。
题目要求的是正根，因此取正根$x=-1+\sqrt{10}$。
接下来估算$\sqrt{10}$的范围：
$\because 9＜10＜16$，$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式各部分同时减1得：$3-1 ＜ -1+\sqrt{10} ＜4-1$，即$2 ＜ -1+\sqrt{10} ＜3$。
已知正根介于整数$m$与$m+1$之间，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程；无理数大小估算；一元二次方程的根
【点评】
本题是基础题型，结合了一元二次方程求解与无理数估算两个考点，既考查配方法解方程的运算能力，也考查无理数范围的估算能力，解题关键是准确求出正根并正确估算$\sqrt{10}$的取值范围。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，首先需用配方法求解给定的一元二次方程，筛选出方程的正根；再估算正根中无理数部分的取值范围，进而推导正根所在的整数区间，最终确定整数m的值。
【解析】
用配方法解方程$x^2 + 2x -9=0$：
移项得$x^2+2x=9$，
配方得$x^2+2x+1=9+1$，即$(x+1)^2=10$，
开平方得$x+1=\pm\sqrt{10}$，
解得$x_1=-1-\sqrt{10}$，$x_2=-1+\sqrt{10}$。
题目要求的是正根，因此取正根$x=-1+\sqrt{10}$。
接下来估算$\sqrt{10}$的范围：
$\because 9＜10＜16$，$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式各部分同时减1得：$3-1 ＜ -1+\sqrt{10} ＜4-1$，即$2 ＜ -1+\sqrt{10} ＜3$。
已知正根介于整数$m$与$m+1$之间，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
配方法解一元二次方程；无理数大小估算；一元二次方程的根
【点评】
本题是基础题型，结合了一元二次方程求解与无理数估算两个考点，既考查配方法解方程的运算能力，也考查无理数范围的估算能力，解题关键是准确求出正根并正确估算$\sqrt{10}$的取值范围。
【难度系数】
0.8
12.「2026广东广州期中，★☆」若方程$2x^2 -4x -10=0$能配方成$(x+p)^2 = q$的形式，则直线$y=px+q$不经过第
三
象限.答案
12.答案 三
解析 $\because 2x^2 -4x -10=0$,$\therefore x^2 -2x -5=0$,$\therefore (x-1)^2=6$,又$\because$ 方程$2x^2 -4x -10=0$能配方成$(x+p)^2 = q$的形式,$\therefore p=-1$,$q=6$,$\therefore$ 直线$y=px+q$即为直线$y=-x+6$,$\because$ 直线$y=-x+6$经过第一、二、四象限,不经过第三象限,$\therefore$ 答案为三.
解析 $\because 2x^2 -4x -10=0$,$\therefore x^2 -2x -5=0$,$\therefore (x-1)^2=6$,又$\because$ 方程$2x^2 -4x -10=0$能配方成$(x+p)^2 = q$的形式,$\therefore p=-1$,$q=6$,$\therefore$ 直线$y=px+q$即为直线$y=-x+6$,$\because$ 直线$y=-x+6$经过第一、二、四象限,不经过第三象限,$\therefore$ 答案为三.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先对给定的一元二次方程进行配方，将其转化为$(x+p)^2 = q$的形式，对应求出p、q的取值；第二步将p、q代入直线解析式$y=px+q$，根据一次函数的系数与图象的关系，判断直线不经过的象限。具体操作时，配方要先把二次项系数化为1，再通过加常数项凑完全平方式；判断一次函数象限时，需结合斜率k（即p）和截距b（即q）的符号共同分析。
【解析】
先对一元二次方程$2x^2 -4x -10=0$进行配方：
1. 方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得：$x^2 - 2x - 5 = 0$
2. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 2x = 5$
3. 方程两边同时加1，凑完全平方式：$x^2 - 2x +1 = 5 +1$，即$(x-1)^2 = 6$
对比$(x+p)^2 = q$的形式，可得$p=-1$，$q=6$。
将p、q代入直线解析式，得$y = -x +6$。
对于一次函数$y=kx+b$：$k=-1＜0$，图象呈下降趋势；$b=6＞0$，图象与y轴交于正半轴，因此该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
三
【知识点】
配方法解一元二次方程；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是配方法与一次函数性质的基础综合题，既考查了一元二次方程的配方步骤，也考查了一次函数图象与系数的对应关系，解题的核心是准确配方得到p、q的值，再结合一次函数性质判断象限。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先对给定的一元二次方程进行配方，将其转化为$(x+p)^2 = q$的形式，对应求出p、q的取值；第二步将p、q代入直线解析式$y=px+q$，根据一次函数的系数与图象的关系，判断直线不经过的象限。具体操作时，配方要先把二次项系数化为1，再通过加常数项凑完全平方式；判断一次函数象限时，需结合斜率k（即p）和截距b（即q）的符号共同分析。
【解析】
先对一元二次方程$2x^2 -4x -10=0$进行配方：
1. 方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得：$x^2 - 2x - 5 = 0$
2. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 - 2x = 5$
3. 方程两边同时加1，凑完全平方式：$x^2 - 2x +1 = 5 +1$，即$(x-1)^2 = 6$
对比$(x+p)^2 = q$的形式，可得$p=-1$，$q=6$。
将p、q代入直线解析式，得$y = -x +6$。
对于一次函数$y=kx+b$：$k=-1＜0$，图象呈下降趋势；$b=6＞0$，图象与y轴交于正半轴，因此该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
三
【知识点】
配方法解一元二次方程；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是配方法与一次函数性质的基础综合题，既考查了一元二次方程的配方步骤，也考查了一次函数图象与系数的对应关系，解题的核心是准确配方得到p、q的值，再结合一次函数性质判断象限。
【难度系数】
0.8
13.「2026江苏泰州海陵月考，★☆」用配方法解一元二次方程$ax^2+bx-c=0(a≠0,c＞0)$，得$(x-c)^2=4c^2$，从而解得方程的一个根为1，则$a-3b=$
3
.答案
13.答案 3
解析 由$(x-c)^2=4c^2$可得$x-c=\pm2c$,$\therefore x=c\pm2c$,即$x=-c$或$x=3c$,$\because$ 方程的一个根为1,且$c＞0$,$\therefore 3c=1$,$\therefore c=\frac{1}{3}$,$\therefore$ 原方程为$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$,整理得$x^2 -\frac{2}{3}x -\frac{1}{3}=0$,$\therefore a=1$,$b=-\frac{2}{3}$,$\therefore a-3b=1+2=3$.
解析 由$(x-c)^2=4c^2$可得$x-c=\pm2c$,$\therefore x=c\pm2c$,即$x=-c$或$x=3c$,$\because$ 方程的一个根为1,且$c＞0$,$\therefore 3c=1$,$\therefore c=\frac{1}{3}$,$\therefore$ 原方程为$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$,整理得$x^2 -\frac{2}{3}x -\frac{1}{3}=0$,$\therefore a=1$,$b=-\frac{2}{3}$,$\therefore a-3b=1+2=3$.
解析
【分析】
解题时先从已知的配方后的方程入手，用直接开平方法求出方程的两个根，结合题目给出的“一个根为1”和“c＞0”的条件，判断出正根等于1，从而求出c的值；再将c代回配方后的方程，展开整理为一元二次方程的一般形式，和已知的方程形式$ax^2+bx-c=0$对应得到a、b的取值，最后代入代数式$a-3b$计算即可得到结果。
【解析】
解：由$(x-c)^2=4c^2$开平方，得$x-c=\pm2c$，
$\therefore x=c+2c=3c$或$x=c-2c=-c$，
$\because$ 方程的一个根为1，且$c＞0$，$\therefore -c＜0$，故$3c=1$，
解得$c=\frac{1}{3}$，
将$c=\frac{1}{3}$代入$(x-c)^2=4c^2$，得$(x-\frac{1}{3})^2=4×(\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$，
展开并整理为一般形式：
$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$，
移项得$x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$，
与$ax^2+bx-c=0$对比系数，得$a=1$，$b=-\frac{2}{3}$，
$\therefore a-3b=1 - 3×(-\frac{2}{3})=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 一元二次方程根的定义 3. 配方法的应用
【点评】
本题属于基础题，考查配方法解一元二次方程的相关知识，解题的关键是结合已知条件求出c的值，再通过对应系数求出a、b的值，运算过程中要注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的配方后的方程入手，用直接开平方法求出方程的两个根，结合题目给出的“一个根为1”和“c＞0”的条件，判断出正根等于1，从而求出c的值；再将c代回配方后的方程，展开整理为一元二次方程的一般形式，和已知的方程形式$ax^2+bx-c=0$对应得到a、b的取值，最后代入代数式$a-3b$计算即可得到结果。
【解析】
解：由$(x-c)^2=4c^2$开平方，得$x-c=\pm2c$，
$\therefore x=c+2c=3c$或$x=c-2c=-c$，
$\because$ 方程的一个根为1，且$c＞0$，$\therefore -c＜0$，故$3c=1$，
解得$c=\frac{1}{3}$，
将$c=\frac{1}{3}$代入$(x-c)^2=4c^2$，得$(x-\frac{1}{3})^2=4×(\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$，
展开并整理为一般形式：
$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$，
移项得$x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$，
与$ax^2+bx-c=0$对比系数，得$a=1$，$b=-\frac{2}{3}$，
$\therefore a-3b=1 - 3×(-\frac{2}{3})=1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 一元二次方程根的定义 3. 配方法的应用
【点评】
本题属于基础题，考查配方法解一元二次方程的相关知识，解题的关键是结合已知条件求出c的值，再通过对应系数求出a、b的值，运算过程中要注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
14.核心 素养 创新意识 聚焦 中考 直接经验学习 「2026广东惠州崇雅中学月考」
课题探究
课题 “平均数法”解一元二次方程
示例
解方程:$x(x-4)=5$.
解:原方程可变形为$[(x-2)+2][(x-2)-2]=5$,
$\therefore (x-2)^2 - 2^2 =5$
移项,得$(x-2)^2=9$,
直接开平方,得$x-2=\pm3$,
解得$x_1=5,x_2=-1$.
我们把这种解法叫作“平均数法”
续表
应用
下面是用“平均数法”解方程$(x+4)(x+6)=15$的过程:
解:原方程可变形为$[(x+□)-◯][(x+□)+◯]=15$,
$\therefore (x+□)^2 - ◯^2=15$,
$\therefore (x+□)^2=15+◯^2$,
方程两边同时开平方,得
(1)上述解题过程中,$□=$
(2)用“平均数法”解下列方程:
①$(x+3)(x-1)=5$.
②$(50-x)(40-2x)=702$
课题探究
课题 “平均数法”解一元二次方程
示例
解方程:$x(x-4)=5$.
解:原方程可变形为$[(x-2)+2][(x-2)-2]=5$,
$\therefore (x-2)^2 - 2^2 =5$
移项,得$(x-2)^2=9$,
直接开平方,得$x-2=\pm3$,
解得$x_1=5,x_2=-1$.
我们把这种解法叫作“平均数法”
续表
应用
下面是用“平均数法”解方程$(x+4)(x+6)=15$的过程:
解:原方程可变形为$[(x+□)-◯][(x+□)+◯]=15$,
$\therefore (x+□)^2 - ◯^2=15$,
$\therefore (x+□)^2=15+◯^2$,
方程两边同时开平方,得
(1)上述解题过程中,$□=$
5
,$◯=$1
,方程的解为$x_1=-1,x_2=-9$
.(2)用“平均数法”解下列方程:
①$(x+3)(x-1)=5$.
②$(50-x)(40-2x)=702$
答案
14.解析 (1)$5;1;x_1=-1,x_2=-9$.
详解:根据题中方法解该方程可得,
$[(x+5)-1][(x+5)+1]=15$,$\therefore (x+5)^2 -1^2=15$,
移项,得$(x+5)^2=16$,解得$x_1=-1$,$x_2=-9$.
(2)①原方程可变形为$[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$,
$\therefore (x+1)^2 -2^2=5$,移项,得$(x+1)^2=9$,
解得$x_1=2$,$x_2=-4$.
②原方程可化简为$(x-50)(x-20)=351$,
整理,得$[(x-35)-15][(x-35)+15]=351$,
$\therefore (x-35)^2 -15^2=351$,移项,得$(x-35)^2=576$,
直接开平方,得$x-35=\pm24$,解得$x_1=59$,$x_2=11$.
详解:根据题中方法解该方程可得,
$[(x+5)-1][(x+5)+1]=15$,$\therefore (x+5)^2 -1^2=15$,
移项,得$(x+5)^2=16$,解得$x_1=-1$,$x_2=-9$.
(2)①原方程可变形为$[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$,
$\therefore (x+1)^2 -2^2=5$,移项,得$(x+1)^2=9$,
解得$x_1=2$,$x_2=-4$.
②原方程可化简为$(x-50)(x-20)=351$,
整理,得$[(x-35)-15][(x-35)+15]=351$,
$\therefore (x-35)^2 -15^2=351$,移项,得$(x-35)^2=576$,
直接开平方,得$x-35=\pm24$,解得$x_1=59$,$x_2=11$.
解析
【分析】
“平均数法”解一元二次方程的核心是构造平方差公式简化计算：对于形如$(x+a)(x+b)=c$的方程，先计算两个一次项常数项$a、b$的平均数$\frac{a+b}{2}$，就是$□$的数值，$◯$为常数项与平均数的差值，将原方程变形为$(m-n)(m+n)=c$的形式，利用平方差公式转化为$m^2 = c + n^2$，再用直接开平方法求解即可。解题时非标准形式的方程要先整理为$(x+a)(x+b)=c$的形式再套用方法。
【解析】
(1) 对于方程$(x+4)(x+6)=15$，两个常数项是4和6，平均数为$\frac{4+6}{2}=5$，因此$□=5$，常数项与平均数的差为$6-5=1$，即$◯=1$；
原方程变形为$(x+5)^2 - 1^2 =15$，移项得$(x+5)^2=16$，直接开平方得$x+5=\pm4$，
解得$x_1=-5+4=-1$，$x_2=-5-4=-9$。
(2) ① 解方程$(x+3)(x-1)=5$：
两个常数项为3和-1，平均数为$\frac{3+(-1)}{2}=1$，两数与平均数的差为$3-1=2$，
原方程变形为$[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$，
由平方差公式得$(x+1)^2 - 2^2 =5$，
移项得$(x+1)^2=9$，直接开平方得$x+1=\pm3$，
解得$x_1=3-1=2$，$x_2=-3-1=-4$。
② 解方程$(50-x)(40-2x)=702$：
先整理方程，左边提取公因式2得$2(50-x)(20-x)=702$，两边同除以2得$(x-50)(x-20)=351$，
两个常数项为-50和-20，平均数为$\frac{-50+(-20)}{2}=-35$，两数与平均数的差为$-20-(-35)=15$，
原方程变形为$[(x-35)-15][(x-35)+15]=351$，
由平方差公式得$(x-35)^2 - 15^2 =351$，
移项得$(x-35)^2=576$，直接开平方得$x-35=\pm24$，
解得$x_1=35+24=59$，$x_2=35-24=11$。
【答案】
(1) $5$；$1$；$x_1=-1,x_2=-9$
(2) ①$x_1=2,x_2=-4$ ②$x_1=59,x_2=11$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义类解方程题型，需要将陌生的新方法转化为已学的平方差公式和直接开平方法求解，能有效锻炼知识迁移和灵活应用能力，掌握方法后可简化一元二次方程的计算步骤。
【难度系数】
0.65
“平均数法”解一元二次方程的核心是构造平方差公式简化计算：对于形如$(x+a)(x+b)=c$的方程，先计算两个一次项常数项$a、b$的平均数$\frac{a+b}{2}$，就是$□$的数值，$◯$为常数项与平均数的差值，将原方程变形为$(m-n)(m+n)=c$的形式，利用平方差公式转化为$m^2 = c + n^2$，再用直接开平方法求解即可。解题时非标准形式的方程要先整理为$(x+a)(x+b)=c$的形式再套用方法。
【解析】
(1) 对于方程$(x+4)(x+6)=15$，两个常数项是4和6，平均数为$\frac{4+6}{2}=5$，因此$□=5$，常数项与平均数的差为$6-5=1$，即$◯=1$；
原方程变形为$(x+5)^2 - 1^2 =15$，移项得$(x+5)^2=16$，直接开平方得$x+5=\pm4$，
解得$x_1=-5+4=-1$，$x_2=-5-4=-9$。
(2) ① 解方程$(x+3)(x-1)=5$：
两个常数项为3和-1，平均数为$\frac{3+(-1)}{2}=1$，两数与平均数的差为$3-1=2$，
原方程变形为$[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$，
由平方差公式得$(x+1)^2 - 2^2 =5$，
移项得$(x+1)^2=9$，直接开平方得$x+1=\pm3$，
解得$x_1=3-1=2$，$x_2=-3-1=-4$。
② 解方程$(50-x)(40-2x)=702$：
先整理方程，左边提取公因式2得$2(50-x)(20-x)=702$，两边同除以2得$(x-50)(x-20)=351$，
两个常数项为-50和-20，平均数为$\frac{-50+(-20)}{2}=-35$，两数与平均数的差为$-20-(-35)=15$，
原方程变形为$[(x-35)-15][(x-35)+15]=351$，
由平方差公式得$(x-35)^2 - 15^2 =351$，
移项得$(x-35)^2=576$，直接开平方得$x-35=\pm24$，
解得$x_1=35+24=59$，$x_2=35-24=11$。
【答案】
(1) $5$；$1$；$x_1=-1,x_2=-9$
(2) ①$x_1=2,x_2=-4$ ②$x_1=59,x_2=11$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义类解方程题型，需要将陌生的新方法转化为已学的平方差公式和直接开平方法求解，能有效锻炼知识迁移和灵活应用能力，掌握方法后可简化一元二次方程的计算步骤。
【难度系数】
0.65
1.「2026辽宁葫芦岛月考」无论$a$为何实数，多项式$a^2 -4a+6$的值一定是（
A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
A
）A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
答案
1.A 原式=$(a^2 -4a +4)-4+6=(a-2)^2+2$,
$\because (a-2)^2\ge0$,$\therefore (a-2)^2+2＞0$,
$\therefore$ 多项式$a^2 -4a+6$的值一定是正数.故选A.
$\because (a-2)^2\ge0$,$\therefore (a-2)^2+2＞0$,
$\therefore$ 多项式$a^2 -4a+6$的值一定是正数.故选A.
解析
【分析】
要判断多项式$a^2 -4a+6$的取值正负，可利用配方法将含有参数$a$的项凑成完全平方式，再结合完全平方的非负性判断整体的取值范围。解题思路为：先对二次项和一次项配方，将原式改写为“完全平方式+常数”的形式，再根据平方数的非负性判断整体的符号。
【解析】
对多项式进行配方：
$\begin{aligned}a^2 -4a+6&=(a^2 -4a +4)-4+6\\&=(a-2)^2 +2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，无论$a$取何实数，都有$(a-2)^2\ge0$，因此$(a-2)^2 +2\ge 0+2=2＞0$，即多项式的值恒大于0，一定是正数。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，通过配方将含参数的多项式转化为完全平方式与常数的和，即可借助非负数的性质快速判断取值范围，解题的关键是掌握完全平方公式的结构，正确进行配方。
【难度系数】
0.8
要判断多项式$a^2 -4a+6$的取值正负，可利用配方法将含有参数$a$的项凑成完全平方式，再结合完全平方的非负性判断整体的取值范围。解题思路为：先对二次项和一次项配方，将原式改写为“完全平方式+常数”的形式，再根据平方数的非负性判断整体的符号。
【解析】
对多项式进行配方：
$\begin{aligned}a^2 -4a+6&=(a^2 -4a +4)-4+6\\&=(a-2)^2 +2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知，无论$a$取何实数，都有$(a-2)^2\ge0$，因此$(a-2)^2 +2\ge 0+2=2＞0$，即多项式的值恒大于0，一定是正数。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，通过配方将含参数的多项式转化为完全平方式与常数的和，即可借助非负数的性质快速判断取值范围，解题的关键是掌握完全平方公式的结构，正确进行配方。
【难度系数】
0.8
2.「2026江苏泰州期中」已知$M=12m-33$，$N=2m^2-4m$，则M
＜
N.(填“＞”“＜”或“=”)答案
2.答案 $＜$
解析 $N-M=(2m^2-4m)-(12m-33)$
$=2m^2-4m-12m+33=2m^2-16m+33=2(m-4)^2+1$,
$\because (m-4)^2\ge0$,$\therefore 2(m-4)^2+1＞0$,$\therefore M＜N$.
解析 $N-M=(2m^2-4m)-(12m-33)$
$=2m^2-4m-12m+33=2m^2-16m+33=2(m-4)^2+1$,
$\because (m-4)^2\ge0$,$\therefore 2(m-4)^2+1＞0$,$\therefore M＜N$.
解析
【分析】
比较两个代数式的大小，优先采用作差法：若两式的差大于0，则被减式更大；若差小于0，则减式更大；若差等于0，则两式相等。本题我们先计算N-M，得到二次三项式后用配方法将其变形为含完全平方的式子，再结合完全平方的非负性判断差的正负，即可得到M和N的大小关系。
【解析】
利用作差法比较大小，计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=(2m^2-4m)-(12m-33)\\&=2m^2-4m-12m+33\\&=2m^2-16m+33\\&=2(m^2-8m)+33\\&=2(m^2-8m+16-16)+33\\&=2[(m-4)^2-16]+33\\&=2(m-4)^2-32+33\\&=2(m-4)^2+1\end{aligned}$
$\because$ 完全平方具有非负性，即$(m-4)^2\ge0$
$\therefore 2(m-4)^2\ge0$，则$2(m-4)^2+1\ge1＞0$
即$N-M＞0$，$\therefore M＜N$
【答案】
$＜$
【知识点】
作差法比较大小，配方法的应用，完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握作差法比较大小的思路，熟练运用二次三项式的配方技巧，结合完全平方的非负性即可判断差的符号，进而得到两式的大小关系。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小，优先采用作差法：若两式的差大于0，则被减式更大；若差小于0，则减式更大；若差等于0，则两式相等。本题我们先计算N-M，得到二次三项式后用配方法将其变形为含完全平方的式子，再结合完全平方的非负性判断差的正负，即可得到M和N的大小关系。
【解析】
利用作差法比较大小，计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=(2m^2-4m)-(12m-33)\\&=2m^2-4m-12m+33\\&=2m^2-16m+33\\&=2(m^2-8m)+33\\&=2(m^2-8m+16-16)+33\\&=2[(m-4)^2-16]+33\\&=2(m-4)^2-32+33\\&=2(m-4)^2+1\end{aligned}$
$\because$ 完全平方具有非负性，即$(m-4)^2\ge0$
$\therefore 2(m-4)^2\ge0$，则$2(m-4)^2+1\ge1＞0$
即$N-M＞0$，$\therefore M＜N$
【答案】
$＜$
【知识点】
作差法比较大小，配方法的应用，完全平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是掌握作差法比较大小的思路，熟练运用二次三项式的配方技巧，结合完全平方的非负性即可判断差的符号，进而得到两式的大小关系。
【难度系数】
0.7
3.「2026吉林长春期中改编」我们通常用配方法来解决一些数学问题.比如求代数式$x^2 -4x +3$的最小值时,可以这样做:$x^2 -4x +3 = x^2 -4x +2^2 -2^2 +3 = (x-2)^2 -1$. $\because (x-2)^2 ≥0, \therefore (x-2)^2 -1 ≥ -1, \therefore x^2 -4x +3$的最小值是-1. 试利用“配方法”解决问题:
(1)代数式$x^2 +6x +13$的最小值是
(2)求代数式$x^2 + y^2 +2x +10y +37$的最小值.
(3)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数,且满足$a^2 +2b^2 -2ab =8b -16$,当$c=5$时,求$△ ABC$的周长.
(1)代数式$x^2 +6x +13$的最小值是
4
.(2)求代数式$x^2 + y^2 +2x +10y +37$的最小值.
(3)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数,且满足$a^2 +2b^2 -2ab =8b -16$,当$c=5$时,求$△ ABC$的周长.
答案
3.解析 (1)$x^2 +6x +13=(x+3)^2+4$,
$\because (x+3)^2\ge0$,$\therefore (x+3)^2+4\ge4$,
$\therefore$ 代数式$x^2 +6x +13$的最小值是4.故答案为4.
(2)$x^2 + y^2 +2x +10y +37=x^2 +2x +1 +y^2 +10y +25 -1 -25 +37=(x+1)^2+(y+5)^2+11$,
$\because (x+1)^2\ge0$,$(y+5)^2\ge0$,
$\therefore (x+1)^2+(y+5)^2+11\ge11$,
$\therefore x^2 + y^2 +2x +10y +37$的最小值为11.
(3)$\because a^2 +2b^2 -2ab =8b -16$,
$\therefore a^2 -2ab +b^2 +b^2 -8b +16=0$,即$(a-b)^2+(b-4)^2=0$,
$\because (a-b)^2\ge0$,$(b-4)^2\ge0$,
$\therefore a-b=0$,$b-4=0$,$\therefore a=b=4$,
$\because c=5$,$\therefore △ ABC$的周长为$4+4+5=13$.
$\because (x+3)^2\ge0$,$\therefore (x+3)^2+4\ge4$,
$\therefore$ 代数式$x^2 +6x +13$的最小值是4.故答案为4.
(2)$x^2 + y^2 +2x +10y +37=x^2 +2x +1 +y^2 +10y +25 -1 -25 +37=(x+1)^2+(y+5)^2+11$,
$\because (x+1)^2\ge0$,$(y+5)^2\ge0$,
$\therefore (x+1)^2+(y+5)^2+11\ge11$,
$\therefore x^2 + y^2 +2x +10y +37$的最小值为11.
(3)$\because a^2 +2b^2 -2ab =8b -16$,
$\therefore a^2 -2ab +b^2 +b^2 -8b +16=0$,即$(a-b)^2+(b-4)^2=0$,
$\because (a-b)^2\ge0$,$(b-4)^2\ge0$,
$\therefore a-b=0$,$b-4=0$,$\therefore a=b=4$,
$\because c=5$,$\therefore △ ABC$的周长为$4+4+5=13$.
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题核心是利用完全平方公式将代数式转化为“完全平方+常数”的形式，再结合平方的非负性求解：
(1) 对于仅含x的二次三项式，将一次项系数6拆为2×3，凑出$(x+3)^2$的完全平方形式，剩余的常数项就是代数式的最小值（因为平方项≥0）；
(2) 对于含x、y两个变量的代数式，分别对x的二次项、一次项和y的二次项、一次项分组，各自凑完全平方，两个平方项均非负，两者和最小为0，加上剩余常数即为代数式最小值；
(3) 先将等式右侧的项移到左侧，把$2b^2$拆为$b^2+b^2$，分别和$a^2-2ab$、$-8b+16$凑成两个完全平方的和，根据非负式的和为0时每个非负式都为0，求出a、b的值，再计算三角形三边之和得到周长。
【解析】
(1) 对$x^2 +6x +13$配方：
$x^2 +6x +13 = x^2 +6x + 3^2 - 3^2 +13 = (x+3)^2 + 4$
∵$(x+3)^2 ≥ 0$，
∴$(x+3)^2 +4 ≥ 4$
∴代数式$x^2 +6x +13$的最小值为4。
(2) 对$x^2 + y^2 +2x +10y +37$分组配方：
$x^2 + y^2 +2x +10y +37 = (x^2 +2x +1) + (y^2 +10y +25) -1 -25 +37 = (x+1)^2 + (y+5)^2 +11$
∵$(x+1)^2 ≥ 0$，$(y+5)^2 ≥ 0$
∴$(x+1)^2 + (y+5)^2 +11 ≥ 11$
∴代数式$x^2 + y^2 +2x +10y +37$的最小值为11。
(3) 先对等式变形配方：
∵$a^2 +2b^2 -2ab =8b -16$
移项得：$a^2 -2ab +b^2 + b^2 -8b +16 = 0$
即$(a-b)^2 + (b-4)^2 = 0$
∵$(a-b)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$
∴$a-b=0$，$b-4=0$，解得$a=b=4$
已知$c=5$，则△ABC的周长为$4+4+5=13$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) $\boxed{11}$
(3) $\boxed{13}$
【知识点】
配方法的应用，偶次方的非负性，三角形周长计算
【点评】
本题围绕配方法设置三类常见考法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活对常数项进行拆分、重组，将目标代数式转化为完全平方的和的形式，再结合非负数的性质求解。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法的应用，解题核心是利用完全平方公式将代数式转化为“完全平方+常数”的形式，再结合平方的非负性求解：
(1) 对于仅含x的二次三项式，将一次项系数6拆为2×3，凑出$(x+3)^2$的完全平方形式，剩余的常数项就是代数式的最小值（因为平方项≥0）；
(2) 对于含x、y两个变量的代数式，分别对x的二次项、一次项和y的二次项、一次项分组，各自凑完全平方，两个平方项均非负，两者和最小为0，加上剩余常数即为代数式最小值；
(3) 先将等式右侧的项移到左侧，把$2b^2$拆为$b^2+b^2$，分别和$a^2-2ab$、$-8b+16$凑成两个完全平方的和，根据非负式的和为0时每个非负式都为0，求出a、b的值，再计算三角形三边之和得到周长。
【解析】
(1) 对$x^2 +6x +13$配方：
$x^2 +6x +13 = x^2 +6x + 3^2 - 3^2 +13 = (x+3)^2 + 4$
∵$(x+3)^2 ≥ 0$，
∴$(x+3)^2 +4 ≥ 4$
∴代数式$x^2 +6x +13$的最小值为4。
(2) 对$x^2 + y^2 +2x +10y +37$分组配方：
$x^2 + y^2 +2x +10y +37 = (x^2 +2x +1) + (y^2 +10y +25) -1 -25 +37 = (x+1)^2 + (y+5)^2 +11$
∵$(x+1)^2 ≥ 0$，$(y+5)^2 ≥ 0$
∴$(x+1)^2 + (y+5)^2 +11 ≥ 11$
∴代数式$x^2 + y^2 +2x +10y +37$的最小值为11。
(3) 先对等式变形配方：
∵$a^2 +2b^2 -2ab =8b -16$
移项得：$a^2 -2ab +b^2 + b^2 -8b +16 = 0$
即$(a-b)^2 + (b-4)^2 = 0$
∵$(a-b)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$
∴$a-b=0$，$b-4=0$，解得$a=b=4$
已知$c=5$，则△ABC的周长为$4+4+5=13$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) $\boxed{11}$
(3) $\boxed{13}$
【知识点】
配方法的应用，偶次方的非负性，三角形周长计算
【点评】
本题围绕配方法设置三类常见考法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活对常数项进行拆分、重组，将目标代数式转化为完全平方的和的形式，再结合非负数的性质求解。
【难度系数】
0.7
