初中数学 七年级 上册 人教版
11. 聚焦 中考 过程性学习 「2026 陕西延安期中」阅读下面的文字，
并回答问题：对$(-7\dfrac{1}{2})+3\dfrac{5}{6}$进行计算，我们可以用下面的方法：$(-7\dfrac{1}{2})+3\dfrac{5}{6}=(-7)+(-\dfrac{1}{2})+3+\dfrac{5}{6}=(-7+3)+(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6})=(-4)+\dfrac{1}{3}=-3\dfrac{2}{3}$。这种方法称为分离带分数法。
请你运用上面的方法计算：
(1) $(-19\dfrac{3}{5})-(-7\dfrac{3}{5})$。
(2) $2024\dfrac{2}{9}+(-2025\dfrac{4}{9})-2026\dfrac{5}{9}+4048\dfrac{7}{9}$。

(1) $(-19\frac{3}{5})-(-7\frac{3}{5})$
$=(-19\frac{3}{5})+7\frac{3}{5}$
$=[-19+(-\frac{3}{5})]+(7+\frac{3}{5})=(-19+7)+(-\frac{3}{5}+\frac{3}{5})$
$=-12+0=-12.$
(2)$2\ 024\frac{2}{9}+(-2\ 025\frac{4}{9})-2\ 026\frac{5}{9}+4\ 048\frac{7}{9}$
$=2\ 024\frac{2}{9}+(-2\ 025\frac{4}{9})+(-2\ 026\frac{5}{9})+4\ 048\frac{7}{9}$
$=(2\ 024+\frac{2}{9})+[-2\ 025+(-\frac{4}{9})]+[-2\ 026+(-\frac{5}{9})]+(4\ 048+\frac{7}{9})$
$=(2\ 024-2\ 025-2\ 026+4\ 048)+(\frac{2}{9}-\frac{4}{9}-\frac{5}{9}+\frac{7}{9})$
$=2\ 021+0=2\ 021.$

【分析】
本题需运用题干给出的分离带分数法完成有理数加减运算，解题思路如下：1. 先根据有理数减法法则，把所有减法统一转化为加法运算，避免符号错误；2. 将每个带分数拆成“整数部分+分数部分”的形式，注意负带分数拆分时，整数部分和分数部分都需带负号，比如$-a\frac{b}{c}=(-a)+(-\frac{b}{c})$；3. 利用加法交换律和结合律，将所有整数部分、分数部分分别分组计算；4. 最后将两部分的计算结果相加，得到最终答案。
【解析】
(1) $(-19\dfrac{3}{5})-(-7\dfrac{3}{5})$
首先将减法转化为加法：
$=(-19\dfrac{3}{5})+7\dfrac{3}{5}$
拆分带分数：
$=[-19+(-\dfrac{3}{5})]+(7+\dfrac{3}{5})$
分组计算整数部分和分数部分：
$=(-19+7)+(-\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5})$
计算得：
$=-12+0=-12$
(2) $2024\dfrac{2}{9}+(-2025\dfrac{4}{9})-2026\dfrac{5}{9}+4048\dfrac{7}{9}$
先将所有减法转化为加法：
$=2024\dfrac{2}{9}+(-2025\dfrac{4}{9})+(-2026\dfrac{5}{9})+4048\dfrac{7}{9}$
拆分每个带分数：
$=(2024+\dfrac{2}{9})+[-2025+(-\dfrac{4}{9})]+[-2026+(-\dfrac{5}{9})]+(4048+\dfrac{7}{9})$
分组合并整数部分和分数部分：
$=(2024-2025-2026+4048)+(\dfrac{2}{9}-\dfrac{4}{9}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{9})$
分别计算两组：
$=2021+0=2021$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12}$；(2) $\boldsymbol{2021}$
【知识点】
有理数加减运算，分离带分数简便计算，加法运算律应用
【点评】
本题属于材料阅读类简便运算题，核心是掌握带分数的拆分规则，尤其要注意负带分数拆分、减法转加法的符号问题。通过整数、分数部分分别计算的方式，能大幅降低复杂带分数加减的计算出错率，是有理数简便运算中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.7

12.计算：$\left$|$ \frac{1}{101} - \frac{1}{100} \right$|$ + \left$|$ \frac{1}{102} - \frac{1}{101} \right$|$ + \left$|$ \frac{1}{103} - \frac{1}{102} \right$|$ + \dots + $

$原式=\frac{1}{100}-\frac{1}{101}+\frac{1}{101}-\frac{1}{102}+\frac{1}{102}-\frac{1}{103}+\dots+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}=\frac{1}{100}-\frac{1}{1000}=\frac{9}{1000}.$

【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。第一步需要先判断每个绝对值内两个分数的大小：分子相同的正分数，分母越大，分数值越小，因此每个绝对值里的减法运算结果都是负数，去绝对值后要将被减数和减数交换位置。第二步将所有绝对值化简后，会发现相邻的中间项互为相反数，可以相互抵消，最后仅剩下首尾两项，再通分计算结果即可。
【解析】
解：
∵分子相同的正分数，分母越大分数值越小
∴对每一项$\left|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right|$（n为100到999的整数），都有$\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{n}$，即$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}＜0$
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\left|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
因此原式可化简为：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{100}-\frac{1}{101}+\frac{1}{101}-\frac{1}{102}+\frac{1}{102}-\frac{1}{103}+\dots+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}\\&=\frac{1}{100}-\frac{1}{1000}\\&=\frac{10}{1000}-\frac{1}{1000}\\&=\frac{9}{1000}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{9}{1000}$
【知识点】
绝对值的性质；分数大小比较；有理数加减简便运算
【点评】
本题核心是利用绝对值的性质化简算式，解题的关键是先判断绝对值内式子的正负，正确去绝对值后可发现中间项两两抵消，大幅简化计算过程，避免了逐个通分的繁琐计算，需要熟练掌握去绝对值的规则，同时积累这类抵消型简便运算的解题经验。
【难度系数】
0.7

13.计算：
$1 - \frac{5}{6} + \frac{7}{12} - \frac{9}{20} + \frac{11}{30} - \frac{13}{42} + \frac{15}{56} - \frac{17}{72} + \frac{19}{90} - \frac{21}{110} + \frac{23}{132}.$

$原式=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}=\frac{7}{12}.$

【分析】
解题时先观察算式中每个分数的结构特征，可发现每个分数的分母都是两个连续正整数的乘积，分子恰好是这两个连续正整数的和，符合裂项特征：$\frac{n+(n+1)}{n(n+1)}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$。我们可以先把每个分数拆成两个分数单位的和，代入原式后中间互为相反数的项可以相互抵消，最后仅剩余少量项计算即可，不用逐个通分，能大幅简化运算量。
【解析】
先对每个分数进行裂项：
$\frac{5}{6}=\frac{2+3}{2×3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$，$\frac{7}{12}=\frac{3+4}{3×4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，$\frac{9}{20}=\frac{4+5}{4×5}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，以此类推，$\frac{23}{132}=\frac{11+12}{11×12}=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}$
将裂项结果代入原式：
$原式=1 - (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) - (\frac{1}{4}+\frac{1}{5}) + (\frac{1}{5}+\frac{1}{6}) - (\frac{1}{6}+\frac{1}{7}) + (\frac{1}{7}+\frac{1}{8}) - (\frac{1}{8}+\frac{1}{9}) + (\frac{1}{9}+\frac{1}{10}) - (\frac{1}{10}+\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}+\frac{1}{12})$
去括号后可得：
$=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}$
观察可知中间的相反项全部抵消，仅剩：
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}=\frac{6}{12}+\frac{1}{12}=\frac{7}{12}$
【答案】
$\frac{7}{12}$
【知识点】
有理数简便运算；裂项相消法；分数拆分
【点评】
本题是有理数加减简便运算的典型题型，核心是通过观察分数的分子、分母特征，灵活运用裂项相消法抵消中间项，大幅降低计算量，避免了逐个通分计算的繁琐，能有效锻炼学生的观察能力和运算灵活性。
【难度系数】
0.6

14.「2026江苏泰州月考改编」10袋小麦称重后记录如图所示(单位:kg).

(1)在这10袋小麦中,最重的一袋比最轻的一袋重kg.
(2)如果每袋小麦以90 kg为标准,请问这10袋小麦总计超过多少千克或者不足多少千克?
(3)这10袋小麦一共重多少千克?

(1)因为最重的一袋的质量为91.8 kg,最轻的一袋的质量为88.7 kg,所以在这10袋小麦中,最重的一袋比最轻的一袋重91.8-88.7=3.1(kg).故答案为3.1.
(2)把每袋小麦超过90 kg的千克数记为正数,不足90 kg的千克数记为负数,10袋小麦对应的数分别为+1,+1,+1.5,-1,+1.2,+1,-1.3,-1.2,+1.8,+1.
$(+1)+(+1)+(+1.5)+(-1)+(+1.2)+(+1)+(-1.3)+(-1.2)+(+1.8)+(+1)=[(+1)+(+1)+(+1.5)+(+1.2)+(+1)+(+1.8)+(+1)]+[(-1)+(-1.3)+(-1.2)]=8.5+(-3.5)=5(kg).$
答:这10袋小麦总计超过5 kg.
(3)这10袋小麦一共重90×10+5=905(kg).

【分析】
(1) 解决第一问时，先从10袋小麦的称重记录里找出最大重量和最小重量，再用最大重量减去最小重量即可得到所求差值；
(2) 第二问以90kg为标准量，我们可以把每袋重量和90kg作差，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，再把所有差值相加，若结果为正则代表总计超过标准重量，结果为负则代表总计不足标准重量；
(3) 第三问可以用标准总重量（90kg乘总袋数10）加上第二问算出的总差值，就能快速得到10袋小麦的总重量，比直接累加10袋重量更简便。
【解析】
(1) 观察10袋小麦的重量，最重的一袋为91.8kg，最轻的一袋为88.7kg，
则重量差为：$91.8-88.7=3.1$（kg）。
(2) 以90kg为标准，超出记为正，不足记为负，10袋小麦对应的差值分别为：+1、+1、+1.5、-1、+1.2、+1、-1.3、-1.2、+1.8、+1。
对差值求和：
$\begin{aligned}&(+1)+(+1)+(+1.5)+(-1)+(+1.2)+(+1)+(-1.3)+(-1.2)+(+1.8)+(+1)\\=&(1+1+1.5+1.2+1+1.8+1)+(-1-1.3-1.2)\\=&8.5+(-3.5)\\=&5\ (\mathrm{kg})\end{aligned}$
结果为正，说明总计超过标准重量。
(3) 10袋小麦的标准总重量为$90×10=900$（kg），加上超出的5kg，总重量为$900+5=905$（kg）。
【答案】
(1) $\boxed{3.1}$
(2) 这10袋小麦总计超过5 kg。
(3) 这10袋小麦一共重$\boxed{905}$ kg。
【知识点】
正负数的意义，有理数加减法，简便运算
【点评】
本题结合生活称重场景考查正负数的实际应用和有理数加减运算能力，解题时通过设定标准量简化数据，合理分组进行加减运算可以有效降低计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.75