11. 如图，$△ ABC$的三个顶点分别为$A(1,2)$，$B(4,2)$，$C(4,4)$.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$在第一象限内的图象与$△ ABC$有交点，则$k$的取值范围是（）

A.$1≤ k≤4$
B.$2≤ k≤8$
C.$2≤ k≤16$
D.$8≤ k≤16$

11.C 【点拨】由$△ ABC$各顶点的坐标可知,当反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A$时$k$最小,经过点$C$时$k$最大,$\therefore k_{最小}=1×2=2$,$k_{最大}=4×4=16$,$\therefore 2≤ k≤16$.故选C.

12. ★★ 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，点A的坐标是(2,0)，AB=$\sqrt{5}$，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点C，则k的值是。

12.6 【点拨】$\because$点$A$的坐标是$(2,0)$,$\therefore OA=2$.$\because ∠ BOA=90°$,$AB=\sqrt{5}$,$\therefore OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=1$.如图,过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$,则$∠ AOB=∠ CDA=90°$,由旋转可知$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,则$∠ BAO+∠ CAD=90°=∠ CAD+∠ ACD$,$\therefore ∠ BAO=∠ ACD$,$\therefore △ AOB ≌ △ CDA$.$\therefore AD=OB=1$,$CD=OA=2$,$\therefore OD=OA+AD=3$.$\therefore C(3,2)$.又$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$C$,$\therefore k=2×3=6$.

13. ★★★ [宁波一中自主招生] 如图,正方形ABCD的顶点A在第二象限$y=\frac{k}{x}$的图象上,点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上,点D在第一象限直线$y=x$的图象上,若$S_{阴影}=\frac{2}{3}$,则$k=$.

13.$-\frac{4}{3}$ 【点拨】过点$A$作$AG⊥ x$轴,过点$D$作$DE⊥ x$轴,作$DF⊥ AG$交$y$轴于点$H$.设$AD$交$y$轴于点$M$,$CD$交$x$轴于点$N$.易证$△ DHM≌ △ DEN$(ASA),$\therefore S_{△ DHM}=S_{△ DNE}$,$\therefore S_{阴影}=\frac{2}{3}=S_{四边形DHOE}=DH× DE$.$\therefore DH=DE=\frac{\sqrt{6}}{3}$.同理可证$△ AFD≌ △ BGA≌ △ COB≌ △ DHC$.$\therefore OC=HD=\frac{\sqrt{6}}{3}=AF=BG$,$\therefore$易得$CH=\frac{2\sqrt{6}}{3}$,$\therefore AG=\frac{2\sqrt{6}}{3}=BO$,$\therefore GO=\frac{\sqrt{6}}{3}$,$\therefore$点$A$的坐标为$(-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3})$,$\therefore k=-\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=-\frac{4}{3}$.

14. [2025潍坊] 如图①,点$A_1(x_1,y_1)$是函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$图象上任意一点,过$A_1$向$y$轴作垂线交$y$轴于点$B_1$,向$x$轴作垂线交$x$轴于点$C_1$,矩形$A_1B_1OC_1$的周长$L_1=2(A_1B_1+A_1C_1)=2(x_1+y_1)=2(x_1+\frac{1}{x_1})$,当$x_1=\frac{1}{x_1}$时,$L_1$有最小值4;如图②,点$A_2(x_2,y_2)$是函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$图象上任意一点,同样作矩形$A_2B_2OC_2$,它的周长$L_2=2(x_2+\frac{2}{x_2})$,同理得$L_2$的最小值为$4\sqrt{2}$;…;点$A_n(x_n,y_n)$是函数$y=\frac{n}{x}(x＞0,n$为正整数$)$图象上任意一点,作矩形$A_nB_nOC_n$,它的周长为$L_n$,则$L_n$的最小值为.

14.$4\sqrt{n}$ 【点拨】由题意得$L_1=2(x_1+\frac{1}{x_1})$,当$x_1=\frac{1}{x_1}$时,$L_1$有最小值$4=4\sqrt{1}$;$L_2=2(x_2+\frac{2}{x_2})$,当$x_2=\frac{2}{x_2}$时,$L_2$有最小值$4\sqrt{2}$;$L_3=2(x_3+\frac{3}{x_3})$,当$x_3=\frac{3}{x_3}$时,$L_3$有最小值$4\sqrt{3}$;$···$;$L_n=2(x_n+\frac{n}{x_n})$,当$x_n=\frac{n}{x_n}$时,$L_n$有最小值$4\sqrt{n}$.

15. 在平面直角坐标系中，对于点$M(x_1,y_1)$，给出如下定义：当点$N(x_2,y_2)$，满足$x_1+x_2=y_1+y_2$时，称点$N$是点$M$的等和点.
(1)已知点$M(1,3)$，在点$N_1(4,2),N_2(3,-1),N_3(0,-2)$中，是点$M$的等和点的有________；
(2)若点$M(3,-2)$的等和点$N$在直线$y=x+b$上，求$b$的值；
(3)已知双曲线$y_1=\frac{k}{x}$和直线$y_2=x-2$，满足当$y_1＜y_2$时$x$的取值范围是$x＞4$或$-2＜x＜0$.若点$P$在双曲线$y_1=\frac{k}{x}$上，点$P$的等和点$Q$在直线$y_2=x-2$上，求点$P$的坐标.

15.【解】(1)$N_1(4,2)$和$N_3(0,-2)$
(2)设点$N$的横坐标为$a$.$\because$点$N$在直线$y=x+b$上,
$\therefore$点$N$的纵坐标为$a+b$.
又$\because$点$N$是点$M(3,-2)$的等和点,
$\therefore a+3=a+b-2$.$\therefore b=5$.
(3)由题易得$k＞0$,设直线$y_2=x-2$与双曲线$y_1=\frac{k}{x}$在第一象限的交点为$A$,易知点$A$的横坐标为$4$,
把$x=4$代入$y_2=x-2$,得$y_2=4-2=2$,$\therefore A(4,2)$.
把点$A(4,2)$的坐标代入$y_1=\frac{k}{x}$,得$2=\frac{k}{4}$,$\therefore k=8$.
$\therefore$双曲线的表达式为$y_1=\frac{8}{x}$.
设$P(m,\frac{8}{m})$,点$Q$的横坐标为$n$,
$\because$点$Q$是点$P$的等和点,
$\therefore$点$Q$的纵坐标为$m+n-\frac{8}{m}$.$\therefore Q(n,m+n-\frac{8}{m})$.
又$\because$点$Q$在直线$y_2=x-2$上,
$\therefore m+n-\frac{8}{m}=n-2$,解得$m_1=-4$,$m_2=2$,
经检验,$m_1=-4$,$m_2=2$是原方程的解,
$\therefore$点$P$的坐标为$(-4,-2)$或$(2,4)$.