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1. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第$x$天($1≤x≤30$且$x$为整数)的售价$p$(元/千克)与$x$的函数关系式为 $p=\begin{cases} mx+n(1≤x＜20,且x为整数), \\ 30(20≤x≤30,且x为整数), \end{cases}$ 销量$q$(千克)与$x$的函数关系式为$q=x+10$，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第$x$天的销售额为$W$元.
(1)$m=$
(2)求第$x$天的销售额$W$(元)与$x$之间的函数关系式.
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
(1)$m=$
-2
，$n=$60
.(2)求第$x$天的销售额$W$(元)与$x$之间的函数关系式.
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
答案
(1) $m=-2$，$n=60$，点拨：把$(5,50),(10,40)$代入$p=mx+n$，得$\begin{cases} 5m+n=50, \\ 10m+n=40, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=-2, \\ n=60. \end{cases}$
(2) 当$1≤ x＜20$时，
$W=pq=(-2x+60)(x+10)=-2x^2+40x+600$；
当$20≤ x≤ 30$时，$W=pq=30(x+10)=30x+300$.
$\therefore W=\begin{cases} -2x^2+40x+600(1≤ x＜20,且x为整数), \\ 30x+300(20≤ x≤ 30,且x为整数). \end{cases}$
(3) 当$1≤ x＜20$时，在$W=-2x^2+40x+600$中，
令$W=1\ 000$，得$-2x^2+40x+600=1\ 000$，
整理，得$x^2-20x+200=0$.易知方程无实数解，故该情况不存在；
当$20≤ x≤ 30$时，令$30x+300＞1\ 000$，得$x＞23\ \frac{1}{3}$.
$\therefore 23\ \frac{1}{3}＜x≤ 30$.
又$\because x$为整数，$\therefore x$可取$24,25,26,27,28,29,30$.
$\therefore$ 在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有7天.
(2) 当$1≤ x＜20$时，
$W=pq=(-2x+60)(x+10)=-2x^2+40x+600$；
当$20≤ x≤ 30$时，$W=pq=30(x+10)=30x+300$.
$\therefore W=\begin{cases} -2x^2+40x+600(1≤ x＜20,且x为整数), \\ 30x+300(20≤ x≤ 30,且x为整数). \end{cases}$
(3) 当$1≤ x＜20$时，在$W=-2x^2+40x+600$中，
令$W=1\ 000$，得$-2x^2+40x+600=1\ 000$，
整理，得$x^2-20x+200=0$.易知方程无实数解，故该情况不存在；
当$20≤ x≤ 30$时，令$30x+300＞1\ 000$，得$x＞23\ \frac{1}{3}$.
$\therefore 23\ \frac{1}{3}＜x≤ 30$.
又$\because x$为整数，$\therefore x$可取$24,25,26,27,28,29,30$.
$\therefore$ 在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有7天.
2. 新考法 图表信息法 某菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点(
)，发现该蔬菜需求量$y_{需求}$(吨)关于售价$x$(元/千克)的函数图象可以看成抛物线，其表达式为$y_{需求}=ax^2 + c$，部分对应值如下表：
②该蔬菜供给量$y_{供给}$(吨)关于售价$x$(元/千克)的函数表达式为$y_{供给}=x-1$，函数图象见图①。
③1~7月份该蔬菜售价$x_{售价}$(元/千克)、成本$x_{成本}$(元/千克)关于月份$t$的函数表达式分别为$x_{售价}=\frac{1}{2}t + 2$，$x_{成本}=\frac{1}{4}t^2 - \frac{3}{2}t + 3$，函数图象见图②。
请解答下列问题：
(1)求$a,c$的值。
(2)根据图②，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由。
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润。
①统计售价与需求量的数据，通过描点(
)，发现该蔬菜需求量$y_{需求}$(吨)关于售价$x$(元/千克)的函数图象可以看成抛物线，其表达式为$y_{需求}=ax^2 + c$，部分对应值如下表：②该蔬菜供给量$y_{供给}$(吨)关于售价$x$(元/千克)的函数表达式为$y_{供给}=x-1$，函数图象见图①。
③1~7月份该蔬菜售价$x_{售价}$(元/千克)、成本$x_{成本}$(元/千克)关于月份$t$的函数表达式分别为$x_{售价}=\frac{1}{2}t + 2$，$x_{成本}=\frac{1}{4}t^2 - \frac{3}{2}t + 3$，函数图象见图②。
请解答下列问题：
(1)求$a,c$的值。
(2)根据图②，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由。
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润。
答案
(1)把$(3,7.2),(4,5.8)$的坐标分别代入$y_{需求}=ax^2 + c$，得$\begin{cases} 9a+c=7.2, \\ 16a+c=5.8, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{5}, \\ c=9. \end{cases}$
(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
理由:设这种蔬菜每千克获利$w$元.
根据题意,得$w=x_{售价}-x_{成本}=\dfrac{1}{2}t+2-(\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{3}{2}t+3)=-\dfrac{1}{4}(t-4)^2+3$.
$\because -\dfrac{1}{4}＜0$,且$1≤ t≤7$,$\therefore$ 当$t=4$时,$w$有最大值.
$\therefore$ 在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
(3)由(1)可知 $y_{需求}=-\dfrac{1}{5}x^2+9$,
当$y_{供给}=y_{需求}$时,$x-1=-\dfrac{1}{5}x^2+9$,
解得$x_1=5$,$x_2=-10$(舍去).
$\therefore$ 此时售价为5元/千克,
则供给量为$5-1=4$(吨)$=4\ 000$千克.
令$\dfrac{1}{2}t+2=5$,解得$t=6$,
$\therefore w=-\dfrac{1}{4}(t-4)^2+3=-\dfrac{1}{4}×(6-4)^2+3=2$.
$\therefore$ 总利润为$2×4\ 000=8\ 000$(元).
答:该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克,按此价格出售获得的总利润为8 000元.
点方法 (1)利用待定系数法求解即可；
(2)设这种蔬菜每千克获利$w$元,根据$w=x_{售价}-x_{成本}$列出函数表达式,化成顶点式求解；
(3)根据题意列出方程,求出$x$的值,再求总利润即可.
(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
理由:设这种蔬菜每千克获利$w$元.
根据题意,得$w=x_{售价}-x_{成本}=\dfrac{1}{2}t+2-(\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{3}{2}t+3)=-\dfrac{1}{4}(t-4)^2+3$.
$\because -\dfrac{1}{4}＜0$,且$1≤ t≤7$,$\therefore$ 当$t=4$时,$w$有最大值.
$\therefore$ 在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
(3)由(1)可知 $y_{需求}=-\dfrac{1}{5}x^2+9$,
当$y_{供给}=y_{需求}$时,$x-1=-\dfrac{1}{5}x^2+9$,
解得$x_1=5$,$x_2=-10$(舍去).
$\therefore$ 此时售价为5元/千克,
则供给量为$5-1=4$(吨)$=4\ 000$千克.
令$\dfrac{1}{2}t+2=5$,解得$t=6$,
$\therefore w=-\dfrac{1}{4}(t-4)^2+3=-\dfrac{1}{4}×(6-4)^2+3=2$.
$\therefore$ 总利润为$2×4\ 000=8\ 000$(元).
答:该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克,按此价格出售获得的总利润为8 000元.
点方法 (1)利用待定系数法求解即可；
(2)设这种蔬菜每千克获利$w$元,根据$w=x_{售价}-x_{成本}$列出函数表达式,化成顶点式求解；
(3)根据题意列出方程,求出$x$的值,再求总利润即可.
