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1. 真实情境题 航空航天 2024年10月30日凌晨4点27分，神舟十九号发射圆满成功.“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章.下列航天图标(不考虑字符与颜色)为轴对称图形的是 (
D
) 答案
1. D
2. 如图，△ACD和△ECB都是△ACB的轴对称图形，对称轴分别是直线AC，BC，若AD⊥BE，则∠DCE=
45
°答案
2. 45 【点拨】如图.
∵△ACD 和△ECB 都是△ACB 的轴对称图形，
∴∠BAC = 1/2 ∠BAD，∠ABC = 1/2 ∠ABE.
∵AD⊥BE,
∴∠AOB=90°. 在△ABO 中,∠AOB+∠BAD+∠ABE=180°,
∴∠BAD+∠ABE=90°,
∴∠BAC+∠ABC=45°.
∴∠ACB=180°−45°=135°. 由对称的性质可得∠ACD=∠BCE=∠ACB=135°,
∴∠DCE=135°×3−360°=45°.
3. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A$与点$A_1$关于$x$轴对称，点$A$与点$A_2$关于$y$轴对称. 已知$A_1(1,2)$，则点$A_2$的坐标是 （
A.$(-2,1)$
B.$(-2,-1)$
C.$(-1,2)$
D.$(-1,-2)$
D
）A.$(-2,1)$
B.$(-2,-1)$
C.$(-1,2)$
D.$(-1,-2)$
答案
3. D 【点拨】
∵点A与点A₁关于x轴对称，点A₁的坐标为(1,2),
∴点A的坐标为(1,−2).
∵点A与点A₂关于y轴对称,
∴点A₂的坐标为(−1,−2).
∵点A与点A₁关于x轴对称，点A₁的坐标为(1,2),
∴点A的坐标为(1,−2).
∵点A与点A₂关于y轴对称,
∴点A₂的坐标为(−1,−2).
4. [2025长沙开福区期中] 圆周率π是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值.如图,在平面直角坐标系中,对π进行循环往复的轴对称变换.若π第一笔画上有一点A,其坐标为(m,n),则经过第2025次变换后所得的点A的坐标是（
A.$(m,n)$
B.$(-m,n)$
C.$(m,-n)$
D.$(-m,-n)$
C
）A.$(m,n)$
B.$(-m,n)$
C.$(m,-n)$
D.$(-m,-n)$
答案
4. C 【点拨】
∵点A第1次变换后在第四象限，点A第2次变换后在第三象限，点A第3次变换后在第二象限，点A第4次变换后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每4次变换为一个循环组，依次循环.
∵2 025÷4=506……1,
∴经过第2 025次变换后所得的点A与第1次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为(m,−n).
∵点A第1次变换后在第四象限，点A第2次变换后在第三象限，点A第3次变换后在第二象限，点A第4次变换后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每4次变换为一个循环组，依次循环.
∵2 025÷4=506……1,
∴经过第2 025次变换后所得的点A与第1次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为(m,−n).
5. 母题 教材P70习题T4 如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线与AB交于点D，与AC交于点F，$BF=6$，$CF=2$，则AC的长度为（
A.9
B.8
C.7
D.6
B
）A.9
B.8
C.7
D.6
答案
5. B
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,尺规作图:(1)分别以$B,C$为圆心,$BC$长为半径作弧,两弧交于点$D$;(2)作射线$AD$,连接$BD,CD$.则下列结论中正确的有________.(填序号)
①$∠ BAD=∠ CAD$;
②$△ BCD$是等边三角形;
③$AD$垂直平分$BC$;
④$S_{四边形ABDC}=AD· BC$.
①$∠ BAD=∠ CAD$;
②$△ BCD$是等边三角形;
③$AD$垂直平分$BC$;
④$S_{四边形ABDC}=AD· BC$.
答案
6. ①②③ 【点拨】根据题中的作图方法可得BC=BD=CD,
∴点D在BC的垂直平分线上，△BCD是等边三角形，故结论②正确；
∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上.
∴AD垂直平分BC，故结论③正确；设AD与BC交于点O,
∴O为BC的中点.
∴AO是△BAC的中线. 又
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,故结论①正确；由题意得，四边形ABDC的面积=S△BCD+S△ABC=1/2 BC·DO+1/2 BC·AO=1/2 BC·AD,故结论④错误.
∴点D在BC的垂直平分线上，△BCD是等边三角形，故结论②正确；
∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上.
∴AD垂直平分BC，故结论③正确；设AD与BC交于点O,
∴O为BC的中点.
∴AO是△BAC的中线. 又
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,故结论①正确；由题意得，四边形ABDC的面积=S△BCD+S△ABC=1/2 BC·DO+1/2 BC·AO=1/2 BC·AD,故结论④错误.
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$.过点$A$作$AD// BC$交$∠ ACB$的平分线于点$D$,连接$BD$.
(1)求证:$△ ABD$为等腰三角形;
(2)若$∠ BDC=20°$,求$∠ ADC$的度数.
(1)求证:$△ ABD$为等腰三角形;
(2)若$∠ BDC=20°$,求$∠ ADC$的度数.
答案
7. (1)【证明】
∵AD//BC,
∴∠ADC=∠DCB.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB.
∴∠ADC=∠ACD.
∴AD=AC.
又
∵AB=AC,
∴AD=AB.
∴△ABD是等腰三角形.
(2)【解】设∠ADC=x°,
由(1)可得∠ACD=∠DCB=∠ADC=x°,
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=2x°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=2x°.
∵∠BDC=20°,
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=(x+20)°.
∵AD=AB,
∴∠ABD=∠ADB=(x+20)°.
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,
∴∠BDC+∠ABD+∠ABC+∠DCB=180°.
∴20+x+20+2x+x=180,解得x=35.
∴∠ADC=35°.
∵AD//BC,
∴∠ADC=∠DCB.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB.
∴∠ADC=∠ACD.
∴AD=AC.
又
∵AB=AC,
∴AD=AB.
∴△ABD是等腰三角形.
(2)【解】设∠ADC=x°,
由(1)可得∠ACD=∠DCB=∠ADC=x°,
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=2x°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=2x°.
∵∠BDC=20°,
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=(x+20)°.
∵AD=AB,
∴∠ABD=∠ADB=(x+20)°.
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,
∴∠BDC+∠ABD+∠ABC+∠DCB=180°.
∴20+x+20+2x+x=180,解得x=35.
∴∠ADC=35°.
