登录
8.[2025荆州期中] 如图,已知点B是线段AC上的动点(不与A,C重合),在AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,连接AE交BD于G,连接CD交BE于F,交AE于H,连接BH,GF,下列结论:①$AG=DF$;②$△ BFG$是等边三角形;③HB平分$∠ AHC$;④当B为AC的中点时,$BF⊥ CD$.其中正确的是(
A.①②③
B.①②③④
C.③④
D.①②④
B
)A.①②③
B.①②③④
C.③④
D.①②④
答案
8. B 【点拨】根据等边三角形的性质可证明△ABE≌△DBC(SAS),再证明△ABG≌△DBF(ASA),即可判断①；根据等边三角形的判定可判断②；过B作BM⊥AE于M,BN⊥CD于N,则∠AMB=∠DNB=90°,证明△AMB≌△DNB(AAS),可证BM=BN,再根据角平分线的判定，即可判断③，根据三线合一可判断④.
9.已知，$△ ABC$为等边三角形.
(1)如图①，$P,Q$是$BC$边上两点，$AP=AQ$，$∠ BAP=20°$，求$∠ AQB$的度数；
(2)点$P,Q$是$BC$边上的两个动点(不与$B,C$重合)，点$P$在点$Q$的左侧，且$AP=AQ$，点$Q$关于直线$AC$的对称点为$M$，连接$AM,PM$.
①依题意将图②补全；
②求证：$PA=PM$.
(1)如图①，$P,Q$是$BC$边上两点，$AP=AQ$，$∠ BAP=20°$，求$∠ AQB$的度数；
(2)点$P,Q$是$BC$边上的两个动点(不与$B,C$重合)，点$P$在点$Q$的左侧，且$AP=AQ$，点$Q$关于直线$AC$的对称点为$M$，连接$AM,PM$.
①依题意将图②补全；
②求证：$PA=PM$.
答案
9. (1)【解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°.
∴∠APC=∠BAP+∠B=80°.
又
∵AP=AQ,
∴∠AQB=∠APC=80°.
(2)①【解】补全图形如图所示.
②【证明】过点A作AH⊥BC于点H，如图.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°.
∵AP=AQ,
∴∠APQ=∠AQP.
∴∠APQ−∠B=∠AQP−∠C,即∠PAB=∠QAC.
∵点Q,M关于直线AC对称，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM.
∴∠MAC=∠PAB,AP=AM.
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=∠BAC=60°.
又
∵AP=AM,
∴△APM为等边三角形.
∴PA=PM.
10. 情境题 生活应用 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是
【思想方法整合】
4 m
.【思想方法整合】
答案
10. 4 m
11. [2025厦门湖里区期中] 如图,在$△ ABC$中,$AB=21\ \mathrm{cm},AC=12\ \mathrm{cm},∠ A=60°$,点$P$从点$B$出发以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动,点$Q$从点$A$同时出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,当$△ APQ$为直角三角形时,$t$的值为（
A.5
B.3
C.2.5或3
D.3或$\dfrac{21}{4}$
D
）A.5
B.3
C.2.5或3
D.3或$\dfrac{21}{4}$
答案
11. D 【点拨】根据题意，先表示出AP,AQ的长度，当△APQ为直角三角形时，则∠AQP=90°,∠APQ=30°或∠APQ=90°,∠AQP=30°,再根据30°角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可.
12. 母题 教材 P84 习题 T6 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,DE垂直平分AB,分别交AB,AC于点D,E,连接BE.若$BE=BC$,则$∠ C$的度数为 (
A.$78°$
B.$75°$
C.$72°$
D.$60°$
C
)A.$78°$
B.$75°$
C.$72°$
D.$60°$
答案
12. C 【点拨】设∠A=α.
∵DE垂直平分AB,
∴EA=EB.
∴∠EBA=∠A=α.
∴∠CEB=∠EBA+∠A=2α.
∵BE=BC,
∴∠C=∠CEB=2α. 又
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2α.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴α+2α+2α=180°.
∴α=36°.
∴∠C=2α=72°.
∵DE垂直平分AB,
∴EA=EB.
∴∠EBA=∠A=α.
∴∠CEB=∠EBA+∠A=2α.
∵BE=BC,
∴∠C=∠CEB=2α. 又
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2α.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴α+2α+2α=180°.
∴α=36°.
∴∠C=2α=72°.
13. [2025东莞期中] 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F。若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为
8
。答案
13. 8 【点拨】如图，连接AM,AD,AD交EF于点M'.
∵△ABC是等腰三角形，点D为底边BC的中点，
∴AD⊥BC,BD=1/2 BC=2.
∵S△ABC=1/2 BC·AD=1/2 ×4×AD=12,
∴AD=6.
∵腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E,F,
∴AM=BM.
∴BM+MD=AM+MD.
∴当点M与点M'重合时，BM+MD有最小值，最小值为6,
∴△BDM的周长的最小值为AD+BD=6+2=8.
